专题8-7+立体几何中的向量方法（Ⅰ）—证明平行与垂直（练）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测 12页

‎2018年高考数学讲练测【新课标版】【练】第八章 立体几何 第07节 立体几何中的向量方法(Ⅰ)—证明平行与垂直 A 基础巩固训练 ‎1．已知等差数列的前n项和为，且，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）‎ A． B．(2，4) C． D.（-1，-1）‎ ‎【答案】A ‎2．直线l的方向向量s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为(　　)‎ A．－2　　　　　　　　 B．－ C． D．± ‎【答案】D ‎【解析】线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故－1×2＋1×(x2＋x)＋1×(－x)＝0，解得x＝±.‎ ‎3．【河南省豫南九校第三次联考】已知直线的方向向量，平面的法向量，若， ，则直线与平面的位置关系是（ ）‎ A. 垂直 B. 平行 C. 相交但不垂直 D. 直线在平面内或直线与平面平行 ‎【答案】D ‎【解析】因为，即，所以直线在平面内或直线与平面平行，故选D．‎ ‎4.【2017届河北定州中学高三周练】已知点A（1，-2,0）和向量=(-3,4,12),若向量,且，则B点的坐标为（ ）‎ A．（-5,6,24） ‎ B．（-5,6,24）或（7，-10，-24）‎ C．（-5,16，-24） ‎ D．（-5,16，-24）或（7，-16,24）‎ ‎【答案】B ‎5．如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面ABCD，M、N、R分别是AB、PC、CD的中点．求证：‎ ‎(1)直线AR∥平面PMC；‎ ‎(2)直线MN⊥直线AB．‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】证法1：(1)连接CM，∵ABCD为矩形，R、M分别为AB、CD的中点，‎ ‎∴MA CR，∴AMCR为平行四边形，∴CM∥AR，‎ 又∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC．‎ ‎(2)连接MR、NR，在矩形ABCD中，AB⊥AD，PA⊥平面AC，∴PA⊥AB，AB⊥平面PAD，∵MR∥AD，NR∥PD，‎ ‎∴平面PDA∥平面NRM，‎ ‎∴AB⊥平面NRM，则AB⊥MN.‎ 证法2：(1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB＝a，AD＝b，AP＝c，则B(a,0,0)，D(0，b,0)，P(0,0，c)，C(a，b,0)，∵M、N、P 分别为AB、PC、CD的中点，∴M(，0,0)，N(，，)，R(，b,0)，∴＝(，b,0)，＝(，0，－c)，＝(，b,0)，设＝λ＋μ，‎ ∴∴＝，∴AR∥MC，‎ ‎∵AR⊄平面PMC，∴AR∥平面PMC．‎ ‎(2)＝(0，，)，＝(a,0,0)，‎ ‎∵·＝0，∴⊥，∴MN⊥AB．‎ ‎ B能力提升训练 ‎ ‎1.在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高（ ）‎ A．1 B．2 C．13 D．26 ‎ ‎【答案】B ‎2.已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)，则(　　)‎ A．α∥β B．α⊥β C．α、β相交但不垂直 D．以上都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】∵≠≠，∴μ与v不是共线向量，‎ 又∵μ·v＝－2×3＋3×(－1)＋(－5)×4＝－29≠0，‎ ‎∴μ与v不垂直，∴平面α与平面β相交但不垂直．‎ ‎3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)‎ A．(1,1,1) B. C. D. ‎【答案】　C ‎【解析】　∵M在EF上，设ME＝x，∴M，‎ ‎∵A(，，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，，0)，‎ ‎∴＝(，0，－1)，＝(0，，－1)，‎ ＝(x－，x－，1)．‎ 设平面BDE的法向量n＝(a，b，c)，‎ 由得a＝b＝c.‎ 故可取一个法向量n＝(1,1，)．‎ ‎∵n·＝0，∴x＝1，∴M.‎ ‎4. 如图所示，正方体ABCD-A1B‎1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝，则下列结论中错误的是(　　)．‎ A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱锥A-BEF的体积为定值 D．异面直线AE，BF所成的角为定值 ‎【答案】D ‎①当点E在D1处，点F为D1B1的中点时，E(1,0,1)，F （，，1），‎ ‎∴＝(0，－1,1)，＝（，－，1），‎ ‎∴·＝.又||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ ‎∴此时异面直线AE与BF成30°角．‎ ‎②当点E为D1B1的中点，F在B1处，此时E（，，1），F(0,1,1)，∴＝（－，－，1），＝(0,0,1)，‎ ‎∴·＝1，||＝，∴cos〈，〉＝＝，故选D.‎ ‎5. 如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎【答案】见解析.‎ ‎【解析】证法一：(1)‎ 取CE的中点P，连接FP、BP，‎ ‎∵F为CD的中点，‎ ‎∴FP∥DE，且FP＝DE.‎ 又AB∥DE，且AB＝DE，‎ ‎∴AB∥FP，且AB＝FP，‎ ‎∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.‎ 又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ ‎∵F为CD的中点，∴F(a，a,0)．‎ ‎(1)＝(a，a,0)，＝(a，a，a)，＝(‎2a,0，－a)，∴＝(＋)，‎ ‎∵AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)∵＝(a，a,0)，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－‎2a)，∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，∴AF⊥CD，AF⊥ED．‎ 又CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.‎ 又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.‎ C思维扩展训练 ‎1.如图，三棱柱的各棱长均为2，侧棱与底面所成的角为，为锐角，且侧面⊥底面，给出下列四个结论：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③直线与平面所成的角为；‎ ‎④.‎ 其中正确的结论是（ ）‎ A.①③ B.②④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎【答案】C.‎ ‎2.【2017浙江省嘉兴一中第一次联考】在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AD=AA‎1‎=1‎，AB=2‎，点E在棱AB上移动，则直线D‎1‎E与A‎1‎D所成角的大小是__________，若D‎1‎E⊥EC，则AE=‎__________．‎ ‎【答案】 ‎90‎‎∘‎ 1‎ ‎【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，又AD=AA‎1‎=1‎，AB=2‎，点E在棱AB上移动 则D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），‎ 设E（1，m，0），0≤m≤2，‎ 则D‎1‎E=（1，m，﹣1），A‎1‎D=（﹣1，0，﹣1），‎ ‎∴D‎1‎E•A‎1‎D=﹣1+0+1=0，‎ ‎∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°．‎ ‎∵D‎1‎E=（1，m，﹣1），EC=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，‎ ‎∴D‎1‎E‎∙‎EC=﹣1+m（2﹣m）+0=0，‎ 解得m=1，∴AE=1．‎ 故答案为：900，1．‎ ‎3.在空间坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），则平面ABC的单位法向量是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎4．【天津六校联考】如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点．‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)在平面内求一点，使平面，并证明你的结论；‎ ‎(3)求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；(3) .‎ ‎【解析】‎ 以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系(如图)，设，则，，，，，，．‎ ‎(1) 因为，所以. ‎ ‎(2)设，则平面，，‎ ‎，所以，‎ ‎，所以 ‎∴点坐标为，即点为的中点． ‎ ‎(3)设平面的法向量为．‎ 由得，即，‎ 取，则，，得．‎ ‎， ‎ 所以，与平面所成角的正弦值的大小为 ‎ ‎