数学文卷·2018届北京市海淀区北方交大附中高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x 13页

北方交大附中2016-2017学年度第一学期期中练习 高二数学（文科）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）‎ ‎1. 点到直线的距离为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由点到直线的距离公式可得 ‎．‎ 故选．‎ ‎2. 己知正方体棱长为，则它的内切球的表面积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为，‎ 球是正方体的内切球，，‎ 表面积．‎ 故选．‎ 点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点构成的三条线段两两互相垂直，且，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．‎ ‎3. 直线平面，直线平面，有下列四个命题 ‎（）；（）；（）；（）．其中正确的命题是（ ）．‎ A. （）与（） B. （）与（） C. （）与（） D. （）与（）‎ ‎【答案】C ‎【解析】（）∵直线平面，直线平面，且，∴，正确；‎ ‎（）若，则与可能平行，可能异面，错误；‎ ‎（）若，可推出，正确；‎ ‎（）若，则与平面可能相互垂直，错误．‎ 故正确的命题为（）（）．故选．‎ ‎4. 由点引圆的切线的长是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】到圆心的距离，‎ 圆的半径，‎ ‎∴由引的切线长．‎ 故选．‎ 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：‎ ‎（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．‎ ‎5. 直线和直线的位置关系是（ ）．‎ A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D重合．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴两条直线相互垂直．故选．‎ ‎6. 动点在圆上移动时，它与定点连接的中点的轨迹方程是（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：设圆上动点，它与定点连线的中点，由中点坐标公式得，所以， 因为在圆满足：，把代入方程得，选C．‎ 考点：1、中点坐标公式；2、相关点法求动点的轨迹方程．‎ ‎【方法点睛】动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点却随另一动点 的运动而有规律的运动，且动点的轨迹为给定或容易求得，则可先将表示为的式子，再代入的轨迹方程，然而整理得的轨迹方程，代入法也称相关点法．一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．‎ ‎7. 设长方体的三条棱长分别为，，，若其所有棱长之和为，一条对角线的长度为，体积为，则为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知，a+b+c=6…①，abc=2…②，a2+b2+c2=25…③，由①式平方-②可得ab+bc+ac=…④，④÷②得：=，故选A 考点：本题考查了长方体的有关知识 点评：此类问题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力、运算能力，是基础题．‎ ‎8. 已知两点，，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当，为直角时，，且一定存在，‎ 故至少存在一个点，使为直角，‎ 即直线与圆至少有一个交点，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴且．‎ 故选．‎ ‎ ‎ ‎①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．‎ ‎②定义法：根据圆、直线等定义列方程．‎ ‎③几何法：利用圆的几何性质列方程．‎ ‎④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共24分）‎ ‎9. 若圆经过点，，，则这个圆的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵该圆一定经过线段的中垂线，‎ 且，，‎ 则的中垂线为，‎ ‎∴两条中垂线的交点即为圆心，‎ 又∵半径，‎ ‎∴圆的方程．‎ ‎10. 若圆，圆的圆心坐标为__________，圆与圆的位置关系是__________．‎ ‎【答案】 (1). (2). 外切 ‎【解析】∵圆的一般方程为，‎ 化为标准方程，‎ ‎∴圆心，半径，‎ ‎∵圆心，半径，‎ 圆心距，‎ ‎∴圆心与圆外切．‎ ‎11. 过点，且被圆截得的线段长为的直线方程为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】∵圆心，半径，‎ 由题知，圆心到直线的距离．‎ ‎①当直线斜率不存在时，符合题意，‎ 直线为．‎ ‎②当直线斜率存在时，设直线为，‎ 圆心到直线的距离，‎ 解出，‎ 整理得直线为．‎ 综上，符合题意的直线有或．‎ 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：‎ ‎（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；‎ ‎（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；‎ ‎（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．‎ ‎12. 已知圆柱的侧面展开圆矩形面积为，底面周长为，它的体积是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆柱底面圆的半径为，高为，‎ ‎∴，，代入，，‎ 圆柱体积．‎ ‎13. 某三棱锥的三视图如图所示．‎ ‎（）该三棱锥的体积为__________．‎ ‎（）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是__________．‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). ‎ ‎【解析】三棱锥的底面积，‎ ‎，‎ 其四个面的面积分别为 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴面积最大为．‎ ‎14. 在棱长为的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】∵正方体的棱长为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴点是以为焦距，以为长半轴，‎ 以为短半轴的椭圆，‎ ‎∵在正方体的棱上，‎ ‎∴应是椭圆与正方体的棱的交点，‎ ‎∴满足条件的点应该在棱、、、、、‎ 上各有一点满足条件，‎ 共有个点．‎ 三、解答题（本大题共3小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎15. 如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（I）证明和即可；‎ ‎（II）由中位线定理可得，进而得线面平行；‎ ‎（III）利用计算即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：‎ ‎∵在正中，是边中点，∴，‎ ‎∵在正三棱柱中，平面，平面，‎ ‎∴，‎ ‎∵点，，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（II）连接、，设点，连接，‎ ‎∵在中，、分别是、中点，∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面，‎ ‎16. 如图，已知三角形的顶点为，，，求：‎ ‎（）边上的中线所在直线的方程．‎ ‎（）求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）11.‎ ‎【解析】试题分析：（1）AB中点M的坐标是 中线CM所在直线的方程是，‎ 即2x＋3y－5＝0； 6分 ‎（2）8分 直线AB的方程是 点C到直线AB的距离是12分 所以△ABC的面积是14分 考点：考查了求直线方程，两点间的距离，点到直线的距离公式．‎ 点评：解本题的关键是由A、B两点的坐标求出AB中点的坐标，利用两点式求出直线的方程，利用两点间的距离公式求出三角形的一条边长，再利用点到直线的距离公式求出这条边上的高，求出三角形的面积．‎ ‎17. 己知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切．‎ ‎（）求圆的方程．‎ ‎（）设直线与圆相交于，两点．求实数的取值范围．‎ ‎（）在（）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】本试题主要是考查了线与圆的位置关系的综合运用。‎ ‎（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点（1，3），与直线x+2y-7=0相切. 利用圆心到直线的距离等于圆的半径得到结论。‎ ‎（2）因为直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径得到参数a的范围。‎ ‎（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，从而得到。‎ 解：（1）因为圆C的圆心在直线y=x+1上，可设圆心坐标为，由题意可列方 程，解得，所以圆心坐标为（），半径 为，所以圆的方程为。-----------------5分 ‎(2)联立方程，消得，由于直线与圆交于两点，所以，解得，所以的取值范围是（）------8分（3）设符合条件的实数存在，由于，则直线的斜率为，的方程为，即，由于垂直平分弦，故圆心上，‎ 所以，解得，由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦.--------------13分 ‎ ‎