数学卷·2018届江西省抚州市乐安二中高二上学期第一次月考数学试卷（理科） （解析版） 15页

‎2016-2017学年江西省抚州市乐安二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（　　）‎ A．45° B．135°‎ C．45°或135° D．以上答案都不对 ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎3．在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案均有可能 ‎4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=4，B=，面积S=2，则b等于（　　）‎ A． B．5 C． D．25‎ ‎6．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且acosB+bcosA=csinC，则B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．在等差数列{an}中，若a4=13，a7=25，则公差d等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=6，则S7=（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎9．若等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，则这数列的通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣5 B．an=2n﹣3 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1‎ ‎10．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{an}的前n项和最大时n的值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（　　）‎ A．0 B．3 C．8 D．11‎ ‎12．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为m（如图所示），则旗杆的高度为（　　）‎ A．10m B．30m C．10m D．10m ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知数列{an}为等差数列，且a1+a6+a11=3，则a3+a9=　　．‎ ‎14．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于　　．‎ ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bcosC+ccosB=2b，则=　　．‎ ‎16．已知数列{an}是以﹣2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S7是数列{Sn}中的唯一最大项，则数列{an}的首项a1的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，已知∠A=30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a=4=b，解此三角形．‎ ‎18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．‎ ‎（Ⅰ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．‎ ‎（Ⅱ）若△ABC面积为，求a，b的值．‎ ‎19．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最小值及其相应的n的值．‎ ‎21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N+，且a3+a6=4，S5=﹣5．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求T5的值和Tn的表达式．‎ ‎22．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20mD．现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市乐安二中高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B=（　　）‎ A．45° B．135°‎ C．45°或135° D．以上答案都不对 ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】在△ABC中，由正弦定理求得sinB=，再由b＜a 以及大边对大角可得B＜A=60°，从而求得B的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，由正弦定理可得，即，求得sinB=．‎ 再由b＜a 以及大边对大角可得B＜A=60°，∴B=45°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【分析】利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．‎ ‎【解答】解：S△ABC===．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．在△ABC中，若sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC的形状是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案均有可能 ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简已知等式，再利用勾股定理的逆定理判断即可得到结果．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，‎ 利用正弦定理===2R，化简得：a2=b2+c2，‎ ‎∴∠A=90°，‎ 则△ABC为直角三角形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知A，B，C成等差数列，且b=，则=（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据等差中项的性质列出方程，结合内角和定理求出B，由正弦定理和分式的性质求出式子的值．‎ ‎【解答】解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，‎ 由A+B+C=π得B=，‎ ‎∵b=，∴由正弦定理得， ==2，‎ ‎∴==，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且c=4，B=，面积S=2，则b等于（　　）‎ A． B．5 C． D．25‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式可求a的值，进而利用余弦定理可求b的值．‎ ‎【解答】解：∵c=4，B=，面积S=acsinB=a×4×=2，‎ ‎∴解得：a=1，‎ ‎∴由余弦定理可得：b===5．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，若，且acosB+bcosA=csinC，则B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】由向量垂直可得数量积为0，可得A，再由正弦定理可得C，由三角形的内角和公式可得．‎ ‎【解答】解：∵，且，‎ ‎∴=cosA﹣sinA=0，解得tanA=，‎ ‎∵A为三角形的内角，∴A=，‎ 又∵acosB+bcosA=csinC，‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosB+cosAsinB=sin2C，‎ ‎∴sin（A+B）=sin2C，即sinC=sin2C，‎ 解得sinC=1，或sinC=0（舍去），∴C=‎ ‎∴B=π﹣A﹣C=‎ 故选：C ‎　‎ ‎7．在等差数列{an}中，若a4=13，a7=25，则公差d等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列的定义得a7=a4+3d，把已知条件代入后可求d的值．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，‎ 由等差数列的定义知，a7=a4+3d，‎ 又a4=13，a7=25，‎ ‎∴25=13+3d，3d=12，‎ 即d=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1+a4+a7=6，则S7=（　　）‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】a1+a4+a7=6，可得3a4=6，解得a4．利用S7==7a4即可得出．‎ ‎【解答】解：∵a1+a4+a7=6，∴3a4=6，解得a4=2．‎ 则S7==7a4=14．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．若等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，则这数列的通项公式为（　　）‎ A．an=2n﹣5 B．an=2n﹣3 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，知（x+1）﹣（x﹣1）=（2x+3）﹣（x+1），解得x=0．故a1=﹣1，d=2，由此能求出这数列的通项公式．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}的前三项为x﹣1，x+1，2x+3，‎ ‎∴（x+1）﹣（x﹣1）=（2x+3）﹣（x+1），‎ 解得x=0．‎ ‎∴a1=﹣1，d=2，‎ an=﹣1+（n﹣1）×2=2n﹣3．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{an}的前n项和最大时n的值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的性质可得{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，‎ ‎∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，‎ ‎∴a8＞0，a9＜0，‎ ‎∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，‎ ‎∴当{an}的前n项和最大时n的值为8，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（　　）‎ A．0 B．3 C．8 D．11‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．‎ ‎【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2‎ ‎∵bn=an+1﹣an，‎ ‎∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，‎ ‎∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为m（如图所示），则旗杆的高度为（　　）‎ A．10m B．30m C．10m D．10m ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】作图，分别求得∠ABC，∠ACB和∠BAC，然后利用正弦定理求得AC，最后在直角三角形ACD中求得AD．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°﹣60°﹣15°=105°，‎ ‎∴∠BAC=180°﹣45°﹣105°=30°，‎ 由正弦定理知AC=•sin∠ABC=20（m），‎ 在Rt△ACD中，AD=•AC=×20=30（m），‎ 即旗杆的高度为30m．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知数列{an}为等差数列，且a1+a6+a11=3，则a3+a9=　2　．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】根据等差数列的定义和性质，由a1+a6+a11=3，求出a6 =1，由此求得a3+a9=2a6 的值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}为等差数列，且a1+a6+a11=3，‎ ‎∴3a6 =3，得a6 =1．‎ ‎∴a3+a9=2a6 =2，‎ 故答案为 2．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于　　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由三角形内角和公式可得 A=75°，再根据大角对大边可得b为最小边，再根据正弦定理求得b的值．‎ ‎【解答】解：△ABC中，由三角形内角和公式可得 A=75°，‎ 再根据大角对大边可得b为最小边．‎ 再根据正弦定理可得，即 =，‎ 解得b=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知bcosC+ccosB=2b，则=　2　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，‎ 即sin（B+C）=2sinB，‎ ‎∵sin（B+C）=sinA，‎ ‎∴sinA=2sinB，‎ 利用正弦定理化简得：a=2b，‎ 则=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎16．已知数列{an}是以﹣2为公差的等差数列，Sn是其前n项和，若S7是数列{Sn}‎ 中的唯一最大项，则数列{an}的首项a1的取值范围是　（12，14）　．‎ ‎【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】因为S7是数列{Sn}中的唯一最大项 所以a7大于0 而a8小于0．由此可导出首项a1的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵S7是数列{Sn}中的唯一最大项 所以a7大于0，而a8小于0，‎ ‎ a1+6d＞0，a1+7d＜0，‎ 即 a1﹣12＞0，a1﹣14＜0‎ 得到a1的范围 12＜a1＜14．‎ 故答案：（12，14）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．在△ABC中，已知∠A=30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a=4=b，解此三角形．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由sinA，a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，进而求出B的度数，确定出C的度数，进而求出c的值，即可求出直角三角形的未知量．‎ ‎【解答】解：由正弦定理知=，即=，‎ ‎∴sinB=，b=4，‎ ‎∴∠B=60°或∠B=120°，‎ ‎∴∠C=90°或∠C=30°，即c=8或c=4．‎ 则b=4，c=8，∠C=90°，∠B=60°或b=4，c=4，∠C=30°，∠B=120°．‎ ‎　‎ ‎18．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．‎ ‎（Ⅰ）若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．‎ ‎（Ⅱ）若△ABC面积为，求a，b的值．‎ ‎【考点】三角形的形状判断．‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用正弦定理可将acosA=bcosB转化为sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦与三角形的性质计算即可．‎ ‎（Ⅱ）利用△ABC面积为，c=2，A=60°，直接求出b，通过余弦定理求出a的值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵acosA=bcosB，‎ ‎∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，‎ ‎∵0＜A，B＜π，‎ ‎∴2A=2B或2A=π﹣2B，即A=B或A+B=．‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ ‎（Ⅱ）∵△ABC面积为，‎ ‎∴=bcsinA=bcsin60°=b，‎ ‎∴b=1，‎ 由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣4×=3．‎ ‎∴a=．‎ ‎　‎ ‎19．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．‎ ‎（Ⅰ）求通项an；‎ ‎（Ⅱ）若Sn=242，求n．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．‎ ‎（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得 方程组 解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．‎ ‎（Ⅱ）由得 方程．‎ 解得n=11或n=﹣22（舍去）．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和为Sn，且 ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最小值及其相应的n的值．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【分析】（1）当n≥2时，易求an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣9，当n=1时，a1=﹣7=S1，满足题设，从而可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得数列{an}的通项公式an=2n﹣9，可得：数列{an}的前4项均为负值，从第5项开始全为正数，即可求得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣8n）﹣[（n﹣1）2﹣8（n﹣1）]=2n﹣9，‎ 当n=1时，a1=﹣7=S1，满足题设，‎ ‎∴an=2n﹣9；‎ ‎（2）由（1）可知数列{an}的通项公式an=2n﹣9，‎ 令an=2n﹣9≥0，解得n≥4.5，‎ 故数列{an}的前4项均为负值，从第5项开始全为正数，‎ 故当n=4时，Sn取得最小值，‎ 故S4=a1+a2+a3+a4=﹣7﹣5﹣3﹣1=﹣16．‎ ‎　‎ ‎21．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N+，且a3+a6=4，S5=﹣5．‎ ‎（Ⅰ）求an；‎ ‎（Ⅱ）若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|，求T5的值和Tn的表达式．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出；‎ ‎（Ⅱ）可得当n≥4时，an＞0，当n≤3时，an＜0，当n≤3时，Tn=Sn，当n≥6时，Tn=Sn﹣2S3，求解可得Tn的表达式．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）等差数列{an}的公差为d，‎ 则 解得，a1=﹣5，d=2，则an=2n﹣7，n∈N*．‎ ‎（Ⅱ）当n≥4时，an=2n﹣7＞0，当n≤3时，an=2n﹣7＜0．‎ 则T5=﹣（a1+a2+a3）+a4+a5=13‎ 当n≤3时，Tn=6n﹣n2；‎ 当n≥4时，．‎ 即，n∈N*．‎ ‎　‎ ‎22．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=20mD．现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为30°，求塔高AB．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】先根据三角形内角和为180°得∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°，再根据正弦定理求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求得AB．‎ ‎【解答】解：在△BCD中，∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°‎ 由正弦定理得BC==10，‎ 在Rt△ABC中，AB=BCtan∠ACB=10． ‎ ‎　‎ ‎2017年1月20日