2018-2019学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期期末考试数学（理）试题 Word版 6页

‎2018-2019学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期期末考试数学（理）试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求)‎ ‎1.如右图，一个空间几何体正视图与左视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为（ ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( 　)‎ A．-1 B．1 ‎ C．-2 D．2‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( ) ‎ A. B. C. D. ‎4.极坐标方程ρ＝1表示(　　)‎ A．直线 　B．射线 C．圆 D．椭圆 ‎5.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝cos 2x按伸缩变换后为(　　 )‎ A．y′＝cos x′B．y′＝3cosx′C．y′＝2cosx′D．y′＝cos 3x′‎ ‎6.定积分的值等于(   )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎7.由曲线围成的封闭图形的面积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则y=f(x)(　 　)‎ A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取得极小值 图一 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 ‎9.设函数,若,则等于(  )‎ A.2    B.-2     C.3     D.-3‎ ‎10.函数的图像在处的切线方程是,则等于(  )‎ A.1 B.0 C.2 D.‎ ‎11.如果函数在上单调递增,则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.对于函数,给出下列命题:(1)是增函数,无最值;(2)是减函数,无最值;(3)的递增区间为,递减区间为;(4)是最大值,是最小值.其中正确的有(  )‎ A.4个    B.3个     C.2个     D.1个 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.函数在处的切线方程是 . ‎ ‎14.在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________.‎ ‎15.曲线的直角坐标方程为,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线的极坐标方程为 .‎ ‎16.已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，给出以下说法：‎ ‎①函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；‎ ‎②函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性；‎ ‎③函数f(x)在x＝－处取得极大值；‎ ‎④函数f(x)在x＝1处取得极小值．其中正确的说法有________．‎ 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（本大题10分）已知函数f(x)＝x3－4x＋4.‎ ‎(1)求函数的单调区间；‎ ‎(2)求函数的极值.‎ ‎18.（本大题12分）设函数f(x)＝2x3－3 (a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．‎ ‎19.（本大题12分）如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点。 ‎ 求证：（1）PA∥平面BDE ；‎ ‎（2）平面PAC平面BDE.‎ ‎20.(本小题12分)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝，‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎21.(本大题12分)如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？‎ ‎22.（本大题12分）（理）如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC＝BC＝EB＝2DC＝2，∠ACB＝120°，P，Q分别为AE，AB的中点．‎ ‎(1)证明：PQ∥平面ACD；‎ ‎(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．‎ 数学（理）试题答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A A C A C A C C B B D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.‎ 13. ‎ ; 14. ;‎ ‎15. ; 16.①④ .‎ 三、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17（本小题10分）‎ 解析：（1） ‎ 令 当，即或，函数单调递增，‎ 当，即，函数单调递减，‎ 函数的单调增区间为和，单调递减区间为 ‎（2）由（1）可知，当时，函数有极大值，即 当时，函数有极小值，即 函数的极大值为，极小值为.‎ ‎18.(本大题12分) ‎ 解　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.‎ ‎∵f(x)在x＝3处取得极值，‎ ‎∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，‎ 解得a＝3.‎ ‎∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.‎ ‎(2)A点在f(x)上，‎ 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，‎ f′(1)＝6－24＋18＝0，‎ ‎∴切线方程为y＝16.‎ ‎19.(本大题12分)‎ O C A B D E P 证明：（Ⅰ）连结EO， ---------------------1分 在△PAC中，‎ ‎∵O是AC的中点，E是PC的中点， ‎ ‎∴OE∥AP．----------------------------2分 又∵OE平面BDE，------------- -------1分 PA平面BDE，-------------------------1分 ‎∴PA∥平面BDE．-----------------------1分 ‎（Ⅱ）∵PO底面ABCD ‎∴POBD．-------------------------------1分 又∵ACBD，且ACPO＝O，‎ ‎∴BD平面PAC．--------------------------2分 而BD平面BDE，------------------- ------1分 ‎∴平面PAC平面BDE．-------------------------1分 ‎20.(本大题12分)‎ 解析：　(1)由ρ＝cos θ＋sin θ，可得ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 又代入得⊙O：x2＋y2－x－y＝0，‎ 由l：ρsin＝，得：ρsin θ－ρcos θ＝，ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 又代入得：x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由解得 又得 又因为θ∈(0，π)，则θ＝，故为.‎ ‎21.(本大题12分)‎ 解析：设小正方形的边长为1cm,盒子的容积为 则 令，则 又 又 当小正方形的的边长为1cm时，盒子容积最大，为18.‎ ‎22.(本大题12分)‎ 解析：(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，‎ 所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，‎ 又PQ⊄平面ACD，‎ 从而PQ∥平面ACD.‎ ‎(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.‎ 因为DC⊥平面ABC，‎ EB∥DC，‎ 所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.‎ 故CQ⊥平面ABE.‎ 由(1)有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，‎ 所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ.‎ 因此DP⊥平面ABE，∠DAP为AD和平面ABE所成的角，‎ 在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，‎ sin∠DAP＝，‎ 因此AD和平面ABE所成角的正弦值为.‎