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  • 2021-06-15 发布

高中数学选修第3章3_2第2课时同步练习

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高中数学人教A版选2-1 同步练习 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(  )‎ A.120°           B.60°‎ C.30° D.以上均错 答案:C 在长方体ABCDA1B‎1C1D1中,AB=2,BC=2,DD1=3,则AC与BD1所成角的余弦值为(  )‎ A.0 B. C.- D. 解析:选A.建立如图所示的坐标系,‎ 则D1(0,0,3),B(2,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0),‎ ‎∴=(-2,-2,3),‎ =(-2,2,0).‎ ‎∴cos〈,〉==0.‎ ‎∴〈,〉=90°,其余弦值为0.‎ 已知直线l1的一个方向向量为a=(1,-2,1),直线l2的一个方向向量为b=(2,-2,0),则两直线所成角的余弦值为__________.‎ 解析:cos〈a,b〉= ‎===.‎ 答案: 平面α的法向量为(1,0,-1),平面β的法向量为(0,-1,1),则平面α与平面β所成二面角的大小为________.‎ 解析:设u=(1,0,-1),v=(0,-1,1),‎ 则cosθ=±|cos〈u,v〉|=±||=±.‎ ‎∴θ=或.‎ 答案:或 ‎[A级 基础达标]‎ 设ABCD,ABEF都是边长为1的正方形,FA⊥面ABCD,则异面直线AC与BF所成的角等于(  )‎ A.45° B.30°‎ C.90° D.60°‎ 解析:选D.以B为原点,BA所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略),‎ 则A(1,0,0),C(0,1,0),F(1,0,1),‎ ‎∴=(-1,1,0),=(1,0,1).‎ ‎∴cos〈,〉=.‎ ‎∴〈,〉=120°.‎ ‎∴AC与BF所成的角为60°.‎ 在正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,E是C‎1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(  )‎ A.- B. C.- D. 解析:选B.建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1).‎ ‎∴=(-2,-2,0),=(0,0,2),=(-2,0,1).‎ 设平面B1BD的法向量为n=(x,y,z).‎ ‎∵n⊥,n⊥,‎ ‎∴∴ 令y=1,则n=(-1,1,0).‎ ‎∴cos〈n,〉==,设直线BE与平面B1BD所成角为θ,则sin θ=|cos〈n,〉|=.‎ 在直角坐标系中,已知A(2,3),B(-2,-3),沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A-Ox-B,使∠AOB=90°,则cosθ为(  )‎ A.- B. C. D.- 解析:选C.过A、B分别作x轴垂线,垂足分别为A′、B′(图略).则AA′=3,BB′=3,A′B′=4,OA=OB=,折后,∠AOB=90°,‎ ‎∴AB==.‎ 由=++,得 ‎||2=||2+||2+||2+2||·||·cos(π-θ).‎ ‎∴26=9+42+9+2×3×3×cos(π-θ),‎ ‎∴cosθ=.‎ 直线l的方向向量a=(-2,3,2),平面α的一个法向量n=(4,0,1),则直线l与平面α所成角的正弦值为__________.‎ 解析:设直线l与平面α所成的角是θ,a,n所成的角为β,则sinθ=|cosβ|==.‎ 答案: 已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中,E是BC的中点.则直线A′C与DE所成角的余弦值为________.‎ 解析:如图所示建立空间直角坐标系,则A′(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E,=(a,a,-a),=,‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ 答案: 如图,在正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中,AB=2,AA1=4,E为BC的中点,F为CC1的中点.‎ ‎(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角FDEC的余弦值.‎ 解:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(1,2,0),F(0,2,2).‎ ‎(1)=(-1,0,2).‎ 易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),‎ 设与n的夹角为θ,则cosθ==,‎ ‎∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为 .‎ ‎(2)=(-1,0,2),=(0,2,2).‎ 设平面DEF的一个法向量为m,‎ 则m·=0,m·=0,‎ 可得m=(2,-1,1),∴cos〈m,n〉==,‎ ‎∴二面角FDEC的余弦值为.‎ ‎[B级 能力提升]‎ 已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为(  )‎ A.10 B.3‎ C. D. 解析:选D.=(1,2,-4),‎ ‎∴P到平面α的距离 d== ‎==.‎ 正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.不妨设正方体的棱长为1,如图建立空间直角坐标系,‎ 则D(0,0,0),B(1,1,0),B1(1,1,1),平面ACD1的法向量为=(1,1,1),‎ 又=(0,0,1),‎ ‎∴cos〈,〉= ‎==.‎ ‎∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 =.‎ 正△ABC与正△BCD所在平面垂直,则二面角ABDC的正弦值为________.‎ 解析:取BC中点O,连接AO,DO,‎ 建立如图所示的坐标系:‎ 设BC=1,‎ 则A,B,‎ D.‎ 所以=,‎ =,‎ =.‎ 由于=为平面BCD的法向量,‎ 设平面ABD的法向量n=(x,y,z), 则 所以 取x=1,则y=-,z=1,‎ 所以n=(1,-,1),‎ 所以cos〈n,〉=,‎ sin〈n,〉=.‎ 答案: (2011·高考课标全国卷)如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明:PA⊥BD;‎ ‎(2)若PD=AD,求二面角APBC的余弦值.‎ 解:(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=AD.‎ 从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD.‎ 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD.‎ 所以BD⊥平面PAD,故PA⊥BD.‎ ‎(2)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴,建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,,0),P(0,0,1).‎ =(-1,,0),=(0,,-1),=(-1,0,0).‎ 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),‎ 则即 因此可取n=(,1,).‎ 设平面PBC的法向量为m,则 可取m=(0,-1,-).cos〈m,n〉==-.‎ 故二面角APBC的余弦值为-.‎ (创新题)如图,四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是平行四边形,PG⊥平面ABCD,垂足为G,G在AD上,且AG=GD,BG⊥GC,GB=GC=2,E是BC的中点,四面体P-BCG的体积为.‎ ‎(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值;‎ ‎(2)求点D到平面PBG的距离.‎ 解:(1)由已知 VP-BGC=S△BGC·PG ‎=·BG·GC·PG=,‎ ‎∴PG=4.‎ 如图所示,以G点为原点建立空间直角坐标系,‎ 则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,4).‎ 故E(1,1,0),=(1,1,0),‎ =(0,2,-4),‎ ‎∴cos〈,〉= ‎==,‎ ‎∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)平面PBG的单位法向量 n=(0,±1,0).‎ ‎∵||=||=,∠CGD=45°,‎ ‎∴=.‎ ‎∴点D到平面PBG的距离为 d==.‎

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