高中数学选修第3章3_2第2课时同步练习 8页

高中数学人教A版选2-1 同步练习 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　)‎ A．120°　　　　　　　　　　 B．60°‎ C．30° D．以上均错 答案：C 在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，BC＝2，DD1＝3，则AC与BD1所成角的余弦值为(　　)‎ A．0 B. C．－ D. 解析：选A.建立如图所示的坐标系，‎ 则D1(0，0，3)，B(2，2，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，‎ ‎∴＝(－2，－2，3)，‎ ＝(－2，2，0)．‎ ‎∴cos〈，〉＝＝0.‎ ‎∴〈，〉＝90°，其余弦值为0.‎ 已知直线l1的一个方向向量为a＝(1，－2，1)，直线l2的一个方向向量为b＝(2，－2，0)，则两直线所成角的余弦值为__________．‎ 解析：cos〈a，b〉＝ ‎＝＝＝.‎ 答案： 平面α的法向量为(1，0，－1)，平面β的法向量为(0，－1，1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________．‎ 解析：设u＝(1，0，－1)，v＝(0，－1，1)，‎ 则cosθ＝±|cos〈u，v〉|＝±||＝±.‎ ‎∴θ＝或.‎ 答案：或 ‎[A级　基础达标]‎ 设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成的角等于(　　)‎ A．45° B．30°‎ C．90° D．60°‎ 解析：选D.以B为原点，BA所在直线为x轴，BC所在直线为y轴，BE所在直线为z轴建立空间直角坐标系(图略)，‎ 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，F(1，0，1)，‎ ‎∴＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)．‎ ‎∴cos〈，〉＝.‎ ‎∴〈，〉＝120°.‎ ‎∴AC与BF所成的角为60°.‎ 在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E是C‎1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：选B.建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，E(0，2，1)．‎ ‎∴＝(－2，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(－2，0，1)．‎ 设平面B1BD的法向量为n＝(x，y，z)．‎ ‎∵n⊥，n⊥，‎ ‎∴∴ 令y＝1，则n＝(－1，1，0)．‎ ‎∴cos〈n，〉＝＝，设直线BE与平面B1BD所成角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝.‎ 在直角坐标系中，已知A(2，3)，B(－2，－3)，沿x轴把直角坐标系折成平面角为θ的二面角A－Ox－B，使∠AOB＝90°，则cosθ为(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 解析：选C.过A、B分别作x轴垂线，垂足分别为A′、B′(图略)．则AA′＝3，BB′＝3，A′B′＝4，OA＝OB＝，折后，∠AOB＝90°，‎ ‎∴AB＝＝.‎ 由＝＋＋，得 ‎||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos(π－θ)．‎ ‎∴26＝9＋42＋9＋2×3×3×cos(π－θ)，‎ ‎∴cosθ＝.‎ 直线l的方向向量a＝(－2，3，2)，平面α的一个法向量n＝(4，0，1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为__________．‎ 解析：设直线l与平面α所成的角是θ，a，n所成的角为β，则sinθ＝|cosβ|＝＝.‎ 答案： 已知在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E是BC的中点．则直线A′C与DE所成角的余弦值为________．‎ 解析：如图所示建立空间直角坐标系，则A′(0，0，a)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，E，＝(a，a，－a)，＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ 答案： 如图，在正四棱柱ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．‎ ‎(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；‎ ‎(2)求二面角FDEC的余弦值．‎ 解：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(0，2，2)．‎ ‎(1)＝(－1，0，2)．‎ 易得平面ABCD的一个法向量为n＝(0，0，1)，‎ 设与n的夹角为θ，则cosθ＝＝，‎ ‎∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为 .‎ ‎(2)＝(－1，0，2)，＝(0，2，2)．‎ 设平面DEF的一个法向量为m，‎ 则m·＝0，m·＝0，‎ 可得m＝(2，－1，1)，∴cos〈m，n〉＝＝，‎ ‎∴二面角FDEC的余弦值为.‎ ‎[B级　能力提升]‎ 已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为(　　)‎ A．10 B．3‎ C. D. 解析：选D.＝(1，2，－4)，‎ ‎∴P到平面α的距离 d＝＝ ‎＝＝.‎ 正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.不妨设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，‎ 则D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，平面ACD1的法向量为＝(1，1，1)，‎ 又＝(0，0，1)，‎ ‎∴cos〈，〉＝ ‎＝＝.‎ ‎∴BB1与平面ACD1所成角的余弦值为 ＝.‎ 正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角ABDC的正弦值为________．‎ 解析：取BC中点O，连接AO，DO，‎ 建立如图所示的坐标系：‎ 设BC＝1，‎ 则A，B，‎ D.‎ 所以＝，‎ ＝，‎ ＝.‎ 由于＝为平面BCD的法向量，‎ 设平面ABD的法向量n＝(x，y，z), 则 所以 取x＝1，则y＝－，z＝1，‎ 所以n＝(1，－，1)，‎ 所以cos〈n，〉＝，‎ sin〈n，〉＝.‎ 答案： (2011·高考课标全国卷)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.‎ ‎(1)证明：PA⊥BD；‎ ‎(2)若PD＝AD，求二面角APBC的余弦值．‎ 解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.‎ 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.‎ 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.‎ 所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.‎ ‎(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．‎ ＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．‎ 设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则即 因此可取n＝(，1，)．‎ 设平面PBC的法向量为m，则 可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－.‎ 故二面角APBC的余弦值为－.‎ (创新题)如图，四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点，四面体P－BCG的体积为.‎ ‎(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；‎ ‎(2)求点D到平面PBG的距离．‎ 解：(1)由已知 VP－BGC＝S△BGC·PG ‎＝·BG·GC·PG＝，‎ ‎∴PG＝4.‎ 如图所示，以G点为原点建立空间直角坐标系，‎ 则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)．‎ 故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，‎ ＝(0，2，－4)，‎ ‎∴cos〈，〉＝ ‎＝＝，‎ ‎∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)平面PBG的单位法向量 n＝(0，±1，0)．‎ ‎∵||＝||＝，∠CGD＝45°，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴点D到平面PBG的距离为 d＝＝.‎