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- 2021-06-15 发布
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牛栏山一中西校区4月月考试卷
高三数学
第一部分(选择题,共40分)
一、选择题(每个小题只有一个选项符合题意,每题4分,共计40分)
1.在复平面内,复数,下列说法正确的是( )
A. 的实部为1 B. C. D. 在第一象限
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的除法运算先求得,再根据复数有关概念一一判断即可.
【详解】解:,
位于第四象限,的实部为,,故选A、C、D错误;
,B正确,
故选:B.
【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算,考查共轭复数、复数的模、实部、复数的几何意义等有关内容,属于基础题.
2.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该三棱锥的侧视图可能为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】由几何体的正视图和俯视图可知,三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上,则原几何体如图所示,从而侧视图为D.故选D.
3.已知定义在上的偶函数的最小值为2,则( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意,函数为偶函数,求得,再利用指数函数的性质,求得,得到函数的解析式,进而求得的值,得到答案.
【详解】由题意,函数为偶函数,
即,解得,所以函数,
又由指数函数的性质,可得,
所以函数的最小值为,解得,即,
所以.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,以及函数值的求解,其中解答中熟记函数的奇偶性,求得函数的解析式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
4.已知实数,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过举反例得到“”推不出“”;再由“”“”能求出结果.
【详解】解:实数,,当,时,,
“”推不出“”;
反之,实数,,由基本不等式可得,
由不等式的基本性质得,整理得,,
由基本不等式得,即“”“”.
实数,,则“”是“”必要不充分条件.
故选:B.
【点睛】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是中等题.
5.等差数列的前项和为,若,公差,则下列命题不正确的是( )
A. 若,则必有 B. 若,则必有是中最大的项
C. 若,则必有 D. 若,则必有
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意,结合等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式,以及等差数列的性质,逐项分析,即可求解.
【详解】对于A中,若,则,可得,
所以,所以是正确的;
对于B中,若,则,
又由,可得,所以必有是中最大的项,所以是正确的;
对于C中,若,则,又由,则必有,
可得,所以必有,所以是正确的;
对于D中,若,则,而的符号不能确定,所以不一定成立,所以是错误的.
故选:D.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式,以及等差数列的性质的应用,其中解答中熟记等差数列的通项公式和求和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.
6.若两个非零向量、满足,且,则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设平面向量与的夹角为,由已知条件得出,在等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律可求得的值,即为所求.
【详解】设平面向量与的夹角为,,可得,
在等式两边平方得,化简得.
故选:A.
【点睛】
本题考查利用平面向量的模求夹角的余弦值,考查平面向量数量积的运算性质的应用,考查计算能力,属于中等题.
7.已知双曲线的左,右焦点分别为,O为坐标原点,P为双曲线在第一象限上的点,直线PO,分别交双曲线C的左,右支于另一点,且,则双曲线的离心率为( )
A. B. 3 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本道题结合双曲线的性质以及余弦定理,建立关于a与c的等式,计算离心率,即可.
【详解】
结合题意,绘图,结合双曲线性质可以得到PO=MO,而,结合四边形对角线平分,可得四边形平行四边形,结合,故
对三角形运用余弦定理,得到,
而结合,可得,,代入上式子中,得到
,结合离心率满足,即可得出,故选D.
【点睛】本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质,难度偏难.
8.若函数在区间上存在最小值-2.则非零实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分和两种情况,结合三角函数的性质即可得出结论.
【详解】解:由已知可得:
①当时,
函数在区间上存在最小值-2,
,可得;
②当时,,
函数在区间上存在最小值-2,
,可得:;
综上所述,非零实数的取值范围;
故选:C.
【点睛】本题主要考查三角函数的性质,考查分类讨论的思想方法,属于中档题.
9.函数在上的最小值为,最大值为2,则的最大值为( )
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质,求出最大值和最小值对应的x的取值,然后利用数形结合即可得到结论.
【详解】当x≥0时,f(x)=x(|x|﹣1)=x2﹣x=(x﹣)2﹣,
当x<0时,f(x)=x(|x|﹣1)=﹣x2﹣x=﹣(x+)2+,
作出函数f(x)的图象如图:
当x≥0时,由f(x)=x2﹣x=2,解得x=2.
当x=时,f()=.
当x<0时,由f(x)=)=﹣x2﹣x=.
即4x2+4x﹣1=0,解得x==,
∴此时x=,
∵[m,n]上的最小值为,最大值为2,
∴n=2,,
∴n﹣m的最大值为2﹣=,
故选B.
【点睛】本题主要考查函数最值的应用,利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键,利用数形结合是解决本题的基本数学思想.
10.已知定义域为的函数满足:对任何,都有,且当时,.在下列结论:
(1)对任何,都有;(2)任意,都有;
(3)函数的值域是;
(4)“函数在区间上单调递减”的充要条件是“存在,使得”.
其中正确命题是( )
A. (1)(2) B. (1)(2)(3) C. (1)(3)(4) D. (2)(3)(4)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题设条件,结合函数的周期性和单调性,合理赋值,逐项判定,即可求解.
【详解】对于(1)中,对任何,都有,且当时,,
所以,所以是正确的;
对于(2)中,因为当时,,
可得,解得,
即当时,,所以不正确;
对于(3)中,取,则,
可得,
从而函数的值域为,所以是正确的;
对于(4)中,令,则,
所以
,
所以函数在区间上单调递减,而必要性显然成立,所以是正确的,
所以正确的命题为(1)(3)(4).
故选:C.
【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用,其中解答中涉及到函数的周期性,单调性,以及函数额基本性质的应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.
第二部分(非选择题,共110分)
二、填空题(每空5分,共25分)
11.已知,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两角差的正弦公式,化简得,再结合三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式,即可求解.
【详解】根据两角差的正弦公式,可得,
整理得,
平方可得,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式,以及正弦的倍角公式的化简求值,着重考查了推理与运算能力.
12.已知向量、满足,且与的夹角等于,则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
建立直角坐标系,设,得到,过点作倾斜角为或的直线,结合图象,即可求解向量的取值范围.
【详解】由题意,建立如图所示的直角坐标系,设,
因为向量满足,则,
过点作倾斜角为或的直线,如图所示,则,
在射线取点,设,则,所以与的夹角等于,
结合图象可得,向量的取值范围为.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,以及向量的夹角、向量的模的运算,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力.
13.五声音阶是中国古乐基本音阶,故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽,如果把这五个音阶全用上,排成一个五个音阶的音序,且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧,可排成______种不同的音序.
【答案】32
【解析】
【分析】
按照“角”的位置分类,分“角”在两端,在中间,以及在第二个或第四个位置上,即可求出.
【详解】①若“角”在两端,则宫、羽两音阶一定在角音阶同侧,此时有种;
②若“角”在中间,则不可能出现宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧;
③若“角”在第二个或第四个位置上,则有种;
综上,共有种.
故答案为:32.
【点睛】本题主要考查利用排列知识解决实际问题,涉及分步计数乘法原理和分类计数加法原理的应用,意在考查学生分类讨论思想的应用和综合运用知识的能力,属于基础题.
14.已知直线与轴交于点,与的终边(始边为轴正半轴)交于点,为坐标原,若点横坐标为,,则直线的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由直线方程和点横坐标为,求得,进而得到,再根据斜率公式,求得直线的斜率,利用直线的点斜式方程,即可求解.
【详解】由题意知,直线的终边,交于点,为坐标原,即,
又由点横坐标为,可得,所以,
又因为,则,所以,即,
又由,所以直线的斜率为,
所以直线的方程为,即,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了直线方程的求解,其中解答中涉及到直线的极坐标系的应用,以及直线的点斜式方程的应用,着重考查了推理与计算能力.
15.已知函数,集合,集合,若,则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意,求得,集合B化为,运用判别式,列出不等式组,即可求解.
【详解】由题意,函数,则集合,
又由,
由,令,
即,解得,
所以
要使得,则满足,解得,
所以,所以实数的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了集合的运算,以及一元二次不等式的解法等知识点的综合应用,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力.
三、解答题(共6小题,共85分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)
16.在①;②这两个条件中任选-一个,补充在下面问题中,然后解答补充完整的题.
在中,角的对边分别为,已知 ,.
(1)求;
(2)如图,为边上一点,,求的面积
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)结合正弦定理,条件选择①,则,再利用公式求;
若选择条件②,由正弦定理和诱导公式可得,再根据二倍角公式求得,再根据求解.
(2)解法1:设,在中由余弦定理,解得,再由(1),解得边长,最后求得到的面积;解法2:由 可知,,,再根据正弦定理和面积公式 .
【详解】解:若选择条件①,则答案为:
(1)在中,由正弦定理得,
因为,所以,
所以,因为,所以.
(2)解法1:设,易知
在中由余弦定理得:,解得.
所以
在中,
所以,所以,
所以
解法2:因为,所以,
因为所以,
所以
因为为锐角,所以
又
所以
所以
若选择条件②,则答案为:
(1)因为,所以,
由正弦定理得,
因为,所以,
因为,所以,
则,所以.
(2)同选择①
【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式解三角形,意在考查转化与化归的思想,和计算能力,属于中档题型,本题属于开放性试题,需先选择条件,再求解.
17.在四棱锥的底面中,∥,,平面,是的中点,且
(1)求证:∥平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在线段内是否存在点,使得?若存在指出点的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析; (2); (3)线段上存中点,使得.
【解析】
【分析】
(1)连接,证得四边形为平行四边形,得到,利用线面平行的判定定理,即可证得∥平面;
(2)建立空间直角坐标系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夹角公式,即可求解;
(3)假设存在,设出点E的坐标,通过时,向量的数量积为0,建立方程,即可求解.
【详解】(1)连接,因为是的中点,,
所以,且,
所以四边形为平行四边形,所以,
又因为平面,平面,
所以∥平面;
(2)由(1)可知,四边形也是平行四边形,
又由,所以四边形是正方形,所以,
又由平面,所以以O为原点,所在的直线分别为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,
可得,
设平面的一个法向量为,则,可取,
设平面的一个法向量为,则,可取,
设二面角的平面角为,
即二面角的余弦值为.
(3)假设线段上存在点E,且满足,
设,则,所以,即,
所以,
又由,可得,
所以,解得,
即线段上存在中点,使得.
【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明,以及空间角的求解及应用,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理,通过严密推理是线面位置关系判定的关键,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.
18.某歌手大赛进行电视直播,比赛现场有6
名特约嘉宾给每位参赛选手评分,场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后,现场嘉宾评分情况如下表;场内外共有数万名观众参与了评分,组织方将观众评分按照,,分组,绘成频率分布直方图如下:
嘉宾
评分
96
95
96
89
97
98
(1)从观众中任取三人,求这三人中恰有1人分数在另2人分数在的概率;
(2)从嘉宾中随机选3人,记3人中分数不低于96分的人数为,求的期望;
(3)嘉宾评分的平均数为,场内外的观众评分的平均数为,试写出与的大小关系(不需要证明).
【答案】(1); (2)2; (3)嘉宾的平均分高于观众的平均分.
【解析】
【分析】
(1)根据频率分布直方图,即可求解内的概率和在的概率;
(2)由题意,得到从嘉宾中随机去3人,分数不低于96分的人数为的可能取值为,求得相应的概率,得到随机变量的分布列,利用期望的公式,即可求解;
可得,
(3)利用平均数的计算公式和频率分布直方图的平均数的计算方法,分别求得的值,即可得到结论.
【详解】(1)由题意,根据频率分布直方图可得,在内的概率为,在
的概率为,所以概率.
(2)由题意,6名特约嘉宾中,其中4人的得分不低于96分,2人的得分低于96分,
所以从嘉宾中随机选3人,分数不低于96分的人数为的可能取值为,
可得,
所以随机变量的分布列为:
1
2
3
所以期望为.
(3)由表格中的数据可得,嘉宾的平均数为,
观众的平均得分为,
所以,即嘉宾的平均分高于观众的平均分.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,以及离散型随机变量的分布列与期望的求解,其中解答中认真审题,准确计算相应的概率是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.
19.已知椭圆经过点,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.
【答案】(1);(2)见解析.
【解析】
分析】
(1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆
的标准方程;
(2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可得出结论.
【详解】(1)由题意得,解得,.
所以椭圆的方程是;
(2)设直线的方程为,、、,
由,得.
,则有,,
由,得,由,可得,
,
,
综上,点在定直线上.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了点在定直线上的证明,考查计算能力与推理能力,属于中等题.
20.若函数为奇函数,且时有极小值.
(1)求实数的值;
(2)求实数的取值范围;
(3)若恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1); (2); (3).
【解析】
【分析】
(1)由题意,得到在定义域上恒成立,列出方程,即可求解;
(2)由(1)可得,求得导数,分和,两种情况讨论,即可求解;
(3)由代入,构造新函数,求得函数的单调性与最值,得到,即可求解实数的取值范围.
【详解】(1)由题意,函数为奇函数,
可得在定义域上恒成立,即,
化简整理得,所以.
(2)由(1)可得,则,
当时,又由恒成立,即恒成立,所以不存在极小值;
当时,令,则方程有两个不等的正根,
故可知函数在上单调递增,在上单调递减,
可得当时函数取得极小值,
所以实数的取值范围是.
(3)由(2)和函数为奇函数,当时有极小值,
可得,且,即,
代入,可得,
所以,
构造新函数,则,
当,则,所以当时,恒成立,
故函数在定义域上单调递减,其中,则,
可转化为,所以,
由,设,可得,
所以函数在上递增,故,
又由(2)可知,所以实数的取值范围是.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用,以及恒成立问题的求解,着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力,对于恒成立问题,通常要构造新函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造新函数,直接把问题转化为函数的最值问题.
21.数列的前项和为,若存在正整数,且,使得,同时成立,则称数列为“数列”.
(1)若首项为,公差为的等差数列是“数列”,求的值;
(2)已知数列为等比数列,公比为.
①若数列为“数列”,,求的值;
②若数列为“数列”,,求证:为奇数,为偶数.
【答案】(1);(2)①;②证明见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意,以及“数列”的概念,得到,求解,即可得出结果;
(2)①根据数列为“数列”,得到,再由,即可得出结果;
②根据数列为“数列”,得到,令,分别讨论:为偶数;为偶数,为奇数;为奇数三种情况,结合导数的方法进行处理,即可得出结果.
【详解】解:(1)若首项为,公差为的等差数列是“数列”,
由题意可得,,解得:;
(2)①若数列为“数列”,则,
又,
所以或;
②若数列为“数列”,则,
令,
若为偶数,则,不符合题意;
若为偶数,为奇数,不符题意;
若为奇数,,
则,
令,,则,
所以在上单调递减,在上单调递增;
∴
即单调增,与题意不符;
综上为奇数,为偶数.
【点睛】本题主要考查数列新定义与导数的综合,熟记等差与等比的求和公式,以及导数的方法求函数最值即可,难度较大.