四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二上学期期末适应性考试数学（理）试题 7页

三台中学实验学校 2018 级高二上期末适应性考试 数学试题(理科) 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，同 时用 2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干 净后再选涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共 48 分） 一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一个是符合题目要求的． 1．在 120 个零件中,用系统抽样法从中抽取容量为 20 的样本,则每个个体被抽取 的可能性为 A． 1 60 B． 1 36 C． 1 24 D． 1 6 2．在空间直角坐标系 xyzO  中， )2,0,1(A ， )1,3,1( B ， ),0,0( mM ，若 BMAM  ， 则 m A． 2 B． 2 C． 3 D．3 3．若直线 2x ay  与直线 1ax y a   平行，则 a 的值为 A．1 B． 1 C． 1 D．0 4．曲线 1925 22  yx 与曲线 )90(1925 22  mm y m x 有相同的 A.焦距 B.短轴长 C.长轴长 D.离心率 5．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的 各项能力指标（满分5分，分值高者为优）， 绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图 中甲的数学抽象指标值为 4 ，乙的数学抽象 指标值为5，则下列叙述正确的是 A．乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值 B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值 C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平 D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 6．总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选 取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右 依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为 7816 6572 0802 6314 0708 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B．07 C．02 D．01 7．若圆 2 2 1 : 1C x y  与圆 2 2 2 : 6 8 0C x y x y m     恰有三条公切线，则m  A． 11 B．9 C．19 D． 21 8．已知点 )4,4(A 在抛物线C ： pxy 22  上，O 为坐标原点，点 P 是抛物线C 准 线上一动点，则 POPA  的最小值为 A． 5 B． 52 C． 13 D． 132 9．在5张电话卡中，有3张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“ 2 张 全是移动卡”的概率是 10 3 ，那么概率是 10 7 的事件是 A．至多有一张移动卡 B．恰有一张移动卡 C．都不是移动卡 D．至少有一张移动卡 10．已知点 )0,5(A ， )3,1( B ，若圆C ： 222 ryx  )0( r 上恰有两点 M ， N 到直线 AB 的距离为 2 ，则 r 的取值范围为 A． )5,1( B． )5,2( C． )5,1( D． )5,2( 11．已知椭圆 )20(14 2 22  bb yx 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 1F 的直线l 交椭圆于 A ， B 两点，若 22 BFAF  的最大值为5，则b 的值为 A． 2 B． 3 C． 2 D．1 12．过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 的直线与抛物线交于 A B， 两点，且 3AF FB  ，抛物线的准线l 与 x 轴交于点C ， 1AA l 于点 1A ，若四边形 1AACF 的 面积为12 3 ，则准线l 的方程为 A． 22x B． 2x C． 2x D． 1x 第Ⅱ卷（非选择题，共 52 分） 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分．把答案直接填在答题卡 中的横线上． 13．直线 0633  yx 的倾斜角为_____； 14．某中学高三年级从甲、乙两个班级中各选出 7 名学生参 加数学竞赛，他们取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如图， 其中甲班学生的平均分是 85，乙班学生成绩的中位数是 83， 则 yx  的值为_____； 15．已知圆C ： 422  yx ，在圆C 内随机取一点 P ，并以 P 为中点作弦 AB ， 则弦长 32AB 的概率为_______； 16．已知 1F ， 2F 分别为双曲线C ： )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的左、右焦点，过 1F 的 直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于 A ，B 两点，若 5:4:3:: 22 AFBFAB ， 则双曲线C 的离心率为________． 三．解答题：本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分．解答应写出文字说明．证 明过程或演算步骤． 17．某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取 80 名学生， 得到男生身高情况的频率分布直方图(如图(1))和女生身高情况的频率分布直方 图(如图(2))．已知图(1)中身高在 170～175 cm 的男生有 16 名． (1)试问在抽取的学生中，男、女生各有多少名？ (2)根据频率分布直方图，完成下面的 2×2 列联表，并判断能有多大(百分数)的 把握认为身高与性别有关？ 附：参考公式和临界值表 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      18．一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据： （1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据中至少有一组 数据小于加工时间的均值的概率； （2）若加工时间 y 与零件数 x 具有相关关系，求 y 关于 x 的回归直线方程；若需 加工80个零件，根据回归直线预测其需要多长时间. ( ^ 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i x x y y b x x         ， ^^a y b x  ) 19．已知点 )4,4(A ， )3,0(B ，直线l ： 1 xy ，设圆C 的半径为1，圆心C 在直 线l 上． （1）若圆心C 也在直线 73  xy 上，过点 A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点 M ，使 MOMB 2 ，O 为坐标原点，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围． 20．已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的左右焦点分别为 1 2,F F ，M 是椭圆短轴的 一个顶点，且 21FMF 是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）已知直线l ： 0x my t   与椭圆 E 交于不同的 A， B 两点，若椭圆 E 上存 在点 P ，使得四边形OAPB恰好为平行四边形，求直线l 与坐标轴围成的三角形 面积的最小值. 身高≥170 cm 身高<170 cm 总计 男生 女生 总计 2( )P K k 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y（分钟） 62 68 75 82 88 三台中学实验学校 2018 级高二上适应性考试 数学答案 1—5：D C B A C 6—10：D B D A C 11—12：B C 13． 14． 15． 16． 17.解：(1)由题图(1)可知，身高在 170～175 cm 的男生的频率为 0.08×5＝0.4， 设抽取的学生中，男生有 n1 名，则 0.4＝16n1，解得 n1＝40. 所以女生有 80－40＝40(名)．................................................................4 分 (2)由(1)及频率分布直方图知，身高≥170 cm 的男生有(0.08＋0.04＋0.02＋0.01) ×5×40＝30(名)，身高≥170 cm 的女生有 0.02×5×40＝4(名)，所以可得下列列 联表： 身高≥170 cm 身高<170 cm 总计 男生 30 10 40 女生 4 36 40 总计 34 46 80 ..........................................7 分 由列联表中数据得 K2 的观测值为 k＝80×（30×36－10×4）240×40×34×46 ≈34.578>10.828. 所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关．................................................10 分 18．解：（1） 记：“加工的分钟数都小于加工时间的均值” 为事件 ， 基本事件：（略）共 10 种 ............................................................................................................5 分 （2）由题， , 所以回归方程为 ..........................................................................9 分 时， 即预测其加工 个零件需要 分钟.......10 分 19．(1)由 得： ，所以圆 ： ...............2 分 设切线方程为 ，由 ，解得： 当切线的斜率不存在时，即 也满足 所以切线方程为： 或 ..........................................................5 分 (2)由圆心 在直线 ： 上，设 设点 ，由 得： 化简得： ，所以点 在以 为圆心， 为半径的圆上....7 分 又点 在圆 上，所以圆 与圆 有交点，则 即 ，解得： 或 ..................10 分 20.（1）由已知得 ，设 是面积为 1 的等腰直角三角形， 椭圆 的方程为 .....................3 分 （2）由题意可设 ， . 联立 整理得 . . 根据韦达定理得 .....................5 分 因为四边形 恰好为平行四边形，所以 . 所以 ， 因为点 在椭圆 上，所以 ， 整理得 ，即 ......................8 分 在直线 ： 中，由于直线 与坐标轴围成三角形，则 ， . 令 ，得 ，令 ，得 . 所以三角形面积为 ， 当且仅当 ， 时，取等号，此时 . 所以直线 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为 . .....................10 分