2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题21 几何体与球切、接的问题（讲）（原卷版） 7页

专题21 几何体与球切、接的问题 ‎ 纵观近几年高考对于组合体的考查，与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显，要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 下面结合近几年高考题对球与几何体的切接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主，大题很少见. ‎ 首先明确定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。‎ 定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.‎ ‎1 球与柱体的切接 ‎ 规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.‎ 1.1 ‎ 球与正方体 ‎ 如图所示，正方体，设正方体的棱长为，为棱的中点，为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则 ‎.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.‎ ‎(1)正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合； ‎ 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有. ‎ ‎(2)正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合； ‎ 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.‎ ‎(3)正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合； 数据关系：设正方体的棱长为，球的半径为，这时有.‎ 例. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D.‎ 俯视图 正视图 侧视图 例、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为________．‎ 例、如图，在等腰梯形中， , 为中点.将与分别沿、折起，使、重合于点，则三棱锥的外接球的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ 1.1 球与长方体 例、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为(　　)‎ A．8π B．16π C．32π D．64π 例 、【广东省佛山市2020届高三月考】已知矩形，，，为的中点，现分别沿将，翻折，使点重合，记为点，则几何体的外接球表面积为______．‎ 例、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　　)‎ A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π 1.1 球与正三棱柱 例、直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的半径。‎ 例、已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在半径为1的球面上，当正三棱柱的体积最大时，该正三棱柱的高为________。‎ ‎2 球与锥体的切接 ‎ 规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.‎ ‎2.1正四面体与球的切接问题 ‎ ‎ (1) 正四面体的内切球，如图4. 位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合； ‎ ‎ 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；(可以利用体积桥证明) ‎ ‎ (2) 正四面体的外接球，如图5. 位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合； ‎ ‎ 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有；(可用正四面体高减去内切球的半径得到)‎ ‎ (3) 正四面体的棱切球，如图6. 位置关系：正四面体的六条棱与球面相切，正四面体的中心与球心重合； ‎ ‎ 数据关系：设正四面体的棱长为，高为；球的半径为，这时有 ‎ 例、若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则＝________.‎ 例、【吉林省长春外国语学校2020届高三上期末】在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为__________．‎ ‎2.2其它棱锥与球的切接问题 ‎ 球与正棱锥的组合，常见的有两类，一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.‎ ‎ 球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.‎ 例、【山东省临沂市第十九中学2020届高三调研】长方形中，,将沿折起，使二面角大小为，则四面体的外接球的表面积为________‎ 例、【甘肃省张掖市2020届高三考】三棱锥的每个顶点都在球的表面上，平面，，，，，则球的表面积为_____．‎ 例、【广东省深圳市高级中学2020届高三适应性考试】在三棱锥中，平面平面，‎ 是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎3 球与球相切问题 ‎ 对于球与球的相切组合成复杂的几何体问题，要根据丰富的空间想象力，通过准确确定各个小球的球心的位置，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.‎ 例、已知有半径分别为2、3的球各两个，且这四个球彼此相外切，现有一个球与此四个球都相外切，则此球 的半径为 .‎ 例、 把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与 前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．‎ 4 球与几何体的各条棱相切问题 ‎ 球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.‎ 例、 把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为( )‎ A.l0cm B．10 cm C．10cm D．30cm ‎5、球与旋转体切接问题 ‎ 首先画出球及其它旋转体的公共轴截面，然后寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．‎ 例、【山东省滨州市2020届高三期末】如图，圆柱的底直径与高都等于球的直径，记圆柱的表面积为，球的表面积为，则( )‎ A．1 B． C． D．‎ 例、在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．(1)求两球半径之和；(2)球的半径 为多少时，两球体积之和最小．‎ ‎【反思提升】综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，将问题转化成平面几何问题，应用三角形中的边角关系，建立与球半径的联系，将球的体积之和用或表示.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.高考题往往与三视图相结合，题目的难易不一，在复习中切忌好高骛远，应重视各种题型的备考演练，重视高考信息的搜集，不断充实题目的类型，升华解题的境界.‎