高中数学选修2-2教学课件第三章 2_2 (一) 42页

第三章　导数应用 §2 导数在实际问题中的应用 2.2 最大值、最小值问题 ( 一 ) 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 理解函数最值的概念，了解它与函数极值的区别与联系 . 2. 会求某闭区间上函数的最值 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的最值 如图，函数 f ( x ) 在闭区间 [ a ， b ] 上的图像 是 一 条连续不断的曲线，则该函数在 [ a ， b ] 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必 在 处或 处 取得 . 端点 极值点 2. 求函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ＝ f ( x ) 在 ( a ， b ) 内 的 ， (2) 将函数 y ＝ f ( x ) 的各极值 与 的 函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个 是 ， 最小的一个 是 . 极值 端点处 最大值 最小值 探要点 · 究 所然 探究点一　函数的最值 思考 1 　如图，观察区间 [ a ， b ] 上 函数 y ＝ f ( x ) 的图像，你能找出它 的 极大值 、极小值吗 ？ 答　 f ( x 1 ) ， f ( x 3 ) ， f ( x 5 ) 是函数 y ＝ f ( x ) 的极小值； f ( x 2 ) ， f ( x 4 ) ， f ( x 6 ) 是函数 y ＝ f ( x ) 的极大值 . 思考 2 　观察思考 1 的函数 y ＝ f ( x ) ，你能找出函数 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最大值、最小值吗？若将区间改为 ( a ， b ) ， f ( x ) 在 ( a ， b ) 上还有最值吗？由此你得到什么结论？ 答　 函数 y ＝ f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的最大值是 f ( a ) ，最小值是 f ( x 3 ). 若区间改为 ( a ， b ) ，则 f ( x ) 有最小值 f ( x 3 ) ，无最大值 . 小结　 一般地，如果在区间 [ a ， b ] 上函数 y ＝ f ( x ) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，且最值必在端点处或极值点处取得 . 思考 3 　函数的极值和最值有什么区别和联系？ 答　 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间 ( a ， b ) 上若存在最值，则必是极值 . 小结　 求一个函数在闭区间上的最值步骤： 1. 求导，确定函数在闭区间上的极值点 . 2. 求出函数的各个极值和端点处的函数值 . 3. 比较大小，确定结论 . 例 1 　 求下列函数的最值： (1) f ( x ) ＝ 2 x 3 － 12 x ， x ∈ [ － 2,3] ； 解　 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 12 x ， 当 x 变化时， f ′ ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： 当 x ＝ 3 时， f ( x ) 取得最大值 18. ∴ 当 x ＝ 0 时， f ( x ) 有最小值 f (0) ＝ 0 ； 当 x ＝ 2π 时， f ( x ) 有最大值 f (2π) ＝ π. 反思与感悟　 (1) 求函数的最值，显然求极值是关键的一环 . 若仅是求最值，则简化为： ① 求出导数为零的点 . ② 比较这些点与端点处函数值的大小，就可求出函数的最大值和最小值 . (2) 若函数在闭区间 [ a ， b ] 上连续且单调，则最大值、最小值在端点处取得 . 跟踪训练 1 　求下列函数的最值： ∴ f ′ ( x ) ＝ x 2 － 4. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x 1 ＝－ 2 ， x 2 ＝ 2. (2) f ( x ) ＝ e x (3 － x 2 ) ， x ∈ [2,5 ]. 解　 ∵ f ( x ) ＝ 3e x － e x x 2 ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3e x － (e x x 2 ＋ 2e x x ) ＝－ e x ( x 2 ＋ 2 x － 3) ＝－ e x ( x ＋ 3)( x － 1) ， ∵ 在区间 [2,5] 上， f ′ ( x ) ＝－ e x ( x ＋ 3)( x － 1)<0 ， 即函数 f ( x ) 在区间 [2,5] 上单调递减， ∴ x ＝ 2 时，函数 f ( x ) 取得最大值 f (2) ＝－ e 2 ； x ＝ 5 时，函数 f ( x ) 取得最小值 f (5) ＝－ 22e 5 . 探究点二　含参数的函数的最值问题 例 2 　 已知 a 是实数，函数 f ( x ) ＝ x 2 ( x － a ). (1) 若 f ′ (1) ＝ 3 ，求 a 的值及曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程； 解　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax . 因为 f ′ (1) ＝ 3 － 2 a ＝ 3 ， 所以 a ＝ 0. 又当 a ＝ 0 时， f (1) ＝ 1 ， f ′ (1) ＝ 3 ， 所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线方程为 3 x － y － 2 ＝ 0 . (2) 求 f ( x ) 在区间 [0,2] 上的最大值 . 从而 f ( x ) max ＝ f (2) ＝ 8 － 4 a . 从而 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 0. 当 0<<2 ，即 0< a <3 时， 反思与感悟　 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化 . 所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解 . 跟踪训练 2 　求函数 f ( x ) ＝ x 3 － 4 x ＋ 4 在 [0 ， a ] ( a >0) 上的最大值和最小值 . 解　 f ′ ( x ) ＝ x 2 － 4. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 2 或 x ＝－ 2( 舍去 ). 因为 0 ≤ x ≤ a ，所以当 0< a ≤ 2 时， f ′ ( x ) ≤ 0 ，所以 f ( x ) 在区间 [0 ， a ] 上是减函数 . 所以当 x ＝ a 时， f ( x ) 取最小值 f ( a ) ＝ a 3 － 4 a ＋ 4 ； 当 x ＝ 0 时， f ( x ) 取最大值 f (0) ＝ 4. 当 a >2 时，当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： 从上表可知：当 x ＝ 2 时， f ( x ) 取最小值 f (2) ＝－ ， f ( x ) 的最大值为 f (0) 与 f ( a ) 中较大的一个 . 所以当 2< a ≤ 2 时 ， f ( x ) 的最大值为 f (0) ＝ 4 ； 综上可得： 探究点三　函数最值的应用 思考 　函数最值和 “ 恒成立 ” 问题有什么联系？ 答　 解决 “ 恒成立 ” 问题，可将问题转化为函数的最值问题 . 如 f ( x )>0 恒成立，只要 f ( x ) 的最小值大于 0 即可 . 如 f ( x )<0 恒成立，只要 f ( x ) 的最大值小于 0 即可 . 以上两种情况特别要小心临界值的取舍，对含参不等式的恒成立问题，求参数范围时，可先分离参数 . 例 3 　 设函数 f ( x ) ＝ 2 x 3 － 9 x 2 ＋ 12 x ＋ 8 c ， (1) 若对任意的 x ∈ [0,3] ，都有 f ( x )< c 2 成立，求 c 的取值范围 ； 解　 ∵ f ′ ( x ) ＝ 6 x 2 － 18 x ＋ 12 ＝ 6( x － 1)( x － 2). ∴ 当 x ∈ (0,1) 时， f ′ ( x )>0 ； 当 x ∈ (1,2) 时， f ′ ( x )<0 ； 当 x ∈ (2,3) 时， f ′ ( x )>0 . ∴ 当 x ＝ 1 时， f ( x ) 取极大值 f (1) ＝ 5 ＋ 8 c . 又 f (3) ＝ 9 ＋ 8 c > f (1) ， ∴ x ∈ [0,3] 时， f ( x ) 的最大值为 f (3) ＝ 9 ＋ 8 c . ∵ 对任意的 x ∈ [0,3] ，有 f ( x )< c 2 恒成立， ∴ 9 ＋ 8 c < c 2 ， 即 c < － 1 或 c >9. ∴ c 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (9 ，＋ ∞ ). (2) 若对任意的 x ∈ (0,3) ，都有 f ( x )< c 2 成立，求 c 的取值范围 . 解　 由 (1) 知 f ( x )< f (3) ＝ 9 ＋ 8 c ， ∴ 9 ＋ 8 c ≤ c 2 即 c ≤ － 1 或 c ≥ 9 ， ∴ c 的取值范围为 ( － ∞ ，－ 1] ∪ [9 ，＋ ∞ ). 反思与感悟　 (1) “ 恒成立 ” 问题向最值问题转化是一种常见的题型，对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可 . (2) 此类问题特别要小心 “ 最值能否取得到 ” 和 “ 不等式中是否含等号 ” 的情况，以此来确定参数的范围能否取得 “ ＝ ”. 跟踪训练 3 　设函数 f ( x ) ＝ tx 2 ＋ 2 t 2 x ＋ t － 1( x ∈ R ， t ＞ 0). (1) 求 f ( x ) 的最小值 h ( t ) ； 解　 ∵ f ( x ) ＝ t ( x ＋ t ) 2 － t 3 ＋ t － 1( x ∈ R ， t ＞ 0) ， ∴ 当 x ＝－ t 时， f ( x ) 取最小值 f ( － t ) ＝－ t 3 ＋ t － 1 ， 即 h ( t ) ＝－ t 3 ＋ t － 1 . (2) 若 h ( t ) ＜－ 2 t ＋ m 对 t ∈ (0,2) 恒成立，求实数 m 的取值范围 . 解　 令 g ( t ) ＝ h ( t ) － ( － 2 t ＋ m ) ＝－ t 3 ＋ 3 t － 1 － m ， 由 g ′ ( t ) ＝－ 3 t 2 ＋ 3 ＝ 0 得 t ＝ 1 ， t ＝－ 1( 不合题意，舍去 ). 当 t 变化时 g ′ ( t ) 、 g ( t ) 的变化情况如下表 t (0,1) 1 (1,2) g ′ ( t ) ＋ 0 － g ( t ) 单调递增 1 － m 单调递减 ∴ 对 t ∈ (0,2) ，当 t ＝ 1 时， g ( t ) max ＝ 1 － m ， ∵ h ( t )< － 2 t ＋ m 对 t ∈ (0,2) 恒成立， 也就是 g ( t )<0 ，对 t ∈ (0,2) 恒成立， ∴ 只需 g ( t ) max ＝ 1 － m <0 ， ∴ m >1. 故实数 m 的取值范围是 (1 ，＋ ∞ ) 当堂测 · 查 疑缺 1. 函数 y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上 ( 　　 ) A. 极大值一定比极小值 大 B . 极大值一定是最大值 C. 最大值一定是 极大值 D . 最大值一定大于 极小值 解析　 由函数的最值与极值的概念可知， y ＝ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上的最大值一定大于极小值 . D 1 2 3 4 2. 函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x (| x |<1)( 　　 ) A. 有最大值，但无最小值 B. 有最大值，也有最小值 C. 无最大值，但有最小值 D. 既无最大值，也无最小值 1 2 3 4 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 3 ＝ 3( x ＋ 1)( x － 1) ， 当 x ∈ ( － 1,1) 时， f ′ ( x )<0 ， 所以 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上是单调递减函数，无最大值和最小值，故选 D. 答案　 D 1 2 3 4 3. 函数 y ＝ x － sin x ， x ∈ 的 最大值是 ( 　　 ) A.π － 1 B. － 1 C.π D.π ＋ 1 所以 y 的最大值为 y max ＝ π － sin π ＝ π ，故选 C. C 1 2 3 4 1 2 4. 函数 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 － 9 x ＋ k 在区间 [ － 4,4] 上的最大值为 10 ，则其最小值为 ________. 解析　 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 6 x － 9 ＝ 3( x － 3)( x ＋ 1). 由 f ′ ( x ) ＝ 0 得 x ＝ 3 或 x ＝－ 1. 又 f ( － 4) ＝ k － 76 ， f (3) ＝ k － 27 ， 3 4 f ( － 1) ＝ k ＋ 5 ， f (4) ＝ k － 20. 由 f ( x ) max ＝ k ＋ 5 ＝ 10 ，得 k ＝ 5 ， ∴ f ( x ) min ＝ k － 76 ＝－ 71 . 答案　 － 71 1 2 3 4 呈 重点、现 规律 1. 求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值 . 2. 求含参数的函数最值，可分类讨论求解 . 3. “ 恒成立 ” 问题可转化为函数最值问题 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看