专题34+基本不等式（押题专练）-2018年高考数学（理）一轮复习精品资料 7页

专题34+基本不等式 ‎1．设x>0，y>0，且2x＋y＝6，则9x＋3y有(　　)‎ A．最大值27 B．最小值27‎ C．最大值54 D．最小值54‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：因为x＞0，y＞0，且2x＋y＝6，‎ 所以9x＋3y≥2＝2＝2＝54，‎ 当且仅当x＝，y＝3时，9x＋3y有最小值54。‎ ‎2．已知a，b为正实数，函数y＝2aex＋b的图象过点(0,1)，则＋的最小值是(　　)‎ A．3＋2 B．3－2 C．4 D．2‎ ‎【答案】：A ‎ 3．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为(　　)‎ A．1 B．6‎ C．9 D．16‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：方法一：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，‎ 所以＋≥2＝2×3＝6。‎ 方法二：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，‎ 所以＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6。‎ 方法三：因为＋＝1，所以a－1＝，‎ 所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6。‎ ‎4．设a＞1，b＞0，若a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)‎ A．3＋2 B．6‎ C．4 D．2 ‎【答案】：A ‎【解析】：由a＋b＝2可得，(a－1)＋b＝1。‎ 因为a＞1，b＞0，所以＋＝(a－1＋b)＝＋＋3≥2＋3。‎ 当且仅当＝，即a＝，b＝2－时取等号。‎ ‎5．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】：A ‎ ‎ ‎6．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[3，＋∞) B．(－∞，3]‎ C．(－∞，6] D．[6，＋∞)‎ ‎【答案】：D ‎【解析】：因为a＞0，b＞0，＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝10＋＋≥10＋2＝16，‎ 由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，‎ 即x2－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，‎ 而x2－4x－2＝(x－2)2－6，‎ 所以x2－4x－2的最小值为－6，‎ 所以－6≥－m，即m≥6。‎ ‎7．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，＋的最大值为________。‎ ‎【答案】：2 ‎【解析】：由≤ 得＋≤ ‎＝ ＝2，‎ 当且仅当x＝，y＝时取等号。‎ ‎8．若不等式(x＋y)≥16对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________。‎ ‎【答案】：4‎ ‎ ‎ ‎9．下列命题中正确的是________(填序号)。‎ ‎①y＝2－3x－(x＞0)的最大值是2－4；‎ ‎②y＝sin2x＋的最小值是4；‎ ‎③y＝2－3x－(x＜0)的最小值是2－4。‎ ‎【答案】：①‎ ‎ ‎ ‎10．若a>0，b>0，且＋＝。‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值。‎ ‎(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由。‎ ‎【解析】：(1)因为a＞0，b＞0，且＋＝，‎ 所以＝＋≥2，‎ 所以ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号。‎ 因为a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，‎ 所以a3＋b3的最小值为4。‎ ‎(2)由(1)可知，2a＋3b≥2＝2≥4＞6，‎ 故不存在a，b，使得2a＋3b＝6成立。‎ ‎11．已知f(x)＝。‎ ‎(1)若f(x)＞k的解集为{x|x＜－3或x＞－2}，求k的值；‎ ‎(2)若对任意x＞0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围。‎ ‎【解析】：(1)f(x)＞k⇔kx2－2x＋6k＜0，‎ 由已知其解集为{x|x＜－3或x＞－2}，得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k ‎＝0的两根，所以－2－3＝，即k＝－。‎ ‎(2)∵x＞0，f(x)＝＝≤，‎ 由已知f(x)≤t对任意x＞0恒成立，故实数t的取值范围是。‎ ‎12．为了净化空气，某科研小组根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：天)变化的函数关系式近似为y＝若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和。由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用。‎ ‎(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？‎ ‎(2)若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值 (精确到0.1，参考数据：取1.4)。‎ ‎ ‎ ‎13．已知不等式>0(a∈R)．‎ ‎(1)解这个关于x的不等式；‎ ‎(2)若x＝－a时不等式成立，求a的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.‎ ‎①当a＝0时，由－(x＋1)>0，得x<－1；‎ ‎②当a>0时，不等式化为(x＋1)>0，解得x<－1或x>；‎ ‎③当a<0时，不等式化为(x＋1)<0；‎ 若<－1，即－1－1，即a<－1，则－10时，解集为.‎ ‎(2)∵x＝－a时不等式成立，∴>0，即－a＋1<0，‎ ‎∴a>1，即a的取值范围为a>1. ‎ ‎14．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关．把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ ‎ ‎