上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编-三角函数 Word版 14页

上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 三角函数 一、填空、选择题 1、（宝山区 2017 届高三上学期期末）若函数 的最小正周期为 ，则实 数 的值为 2、（崇明县 2017 届高三第一次模拟）已知 A，B 分别是函数 在 轴右 侧图像上的第一个最高点和第一个最低点，且 ，则该函数的最小正周期是 　 ． 3、（虹口区 2017 届高三一模）设函数 ，且 ，则 ． 4、（黄浦区 2017 届高三上学期期终调研）已知 ， ，则 的值 为 　 ． 5、（静安区 2017 届向三上学期期质量检测）函数 的最小正周期 为 ． 6、（闵行区 2017 届高三上学期质量调研） 曲线 : ，曲线 : ，它们交点的个数 ( ) (A) 恒为偶数 (B) 恒为奇数 (C) 不超过 (D) 可超过 7 、 （ 浦 东 新 区 2017 届 高 三 上 学 期 教 学 质 量 检 测 ） 函 数 的最小正周期为____________． 8、（普陀区 2017 届高三上学期质量调研） 若 ， ，则 . 9 、（ 青 浦 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 调 研 ） 已 知 ， 现从集合 中任取两个不同元素 、 ，则使得 的可 能情况为 …………………（ ）. A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 cos sin sin cos x xy x x = aπ a 2sin) ( 0( )f x xω ω >= y 2AOB π∠ = ( ) sin cosf x x x= − ( ) 1f α = sin2α = π 1sin( )2 3 α + = π( ,0)2 α ∈ − tanα    +−= 4sin31)( 2 π xxf 1C siny x= 2C ( )2 2 21 02x y r r r + + − = >   2017 2017 ( ) ( )( )3sin cos 3 cos sinf x x x x x= + − 22 παπ <<− 5 3sin =α =α2cot ( ) sin 3f x x π= {1,2,3,4,5,6,7,8}A = A s t ( ) ( ) 0f s f t⋅ = 12 13 14 15 10 、（松 江 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 质 量 监 控 ） 已 知 向 量 , ,则函数 的最小正周期为 ▲ ． 11、（杨浦区 2017 届高三上学期期末等级考质量调研）若 中， ， ， 则 面积的最大值是_________． 12、（长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研）函数 （ ）的 最小正周期是 ，则 ____________． 13、（虹口区 2017 届高三一模）已知函数 在区间 （其中 ） 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）． 14、（静安区 2017 届向三上学期期质量检测）已知 为锐角，且 ，则 ________ ． 15、（浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测）将 图像向左平移 个单位， 所得的函数为（ ）． A． B． C． D． 16、（奉贤区 2017 届高三上学期期末）已知函数 ， 若函数 在区间 内单调递增，且函数 的图像关于直线 对称，则 的值为____________. 17、（金山区 2017 届高三上学期期末）如果 ，且 为第四象限角，则 的 值是 α 3cos( )4 5 πα + = sinα = (sin ,cos )a x x= (sin ,sin )b x x= ( )f x a b= ⋅  ABC△ 4a b+ = 30C∠ = ° ABC△    −= 3sin πωxy 0>ω π =ω ( ) sin(2 )3f x x π= + [ ]0, a 0a > a .A 0 2a< ≤ π .B 0 12a π< ≤ .C ,12a k k N ππ ∗= + ∈ .D 2 2 ,12k a k k N< ≤ + ∈ππ π cos2y x= 6 π cos 2 3y x π = +   cos 2 6y x π = +   cos 2 3y x π = −   cos 2 6y x π = −   ( ) ( )sin cos 0 ,f x wx wx w x R= + > ∈ ( )f x ( ),ω ω− ( )f x x ω= ω 5sin 13 α = − α tanα 二、解答题 1、（崇明县 2017 届高三第一次模拟）　　在一个特定时段内，以点 D 为中心的 7 海里以内 海域被设为警戒水域．点 D 正北 55 海里处 有一个雷达观测站 A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 且与点 A 相 距 海里的位置 B 处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 （其中 ， ）且与点 A 相距 海里的位置 C 处． （1）求该船的行驶速度（单位：海里／小时）； （2）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由． 2、（虹口区 2017 届高三一模）如图，我海监船在 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 处，此时测得其北偏东 方向与它相距 海里的 处有一外国船只，且 岛 位于海监船正东 海里处． （1）求此时该外国船只与 岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时 海里的速度沿正南方航行．为了将该船拦 截在离 岛 海里的 处（ 在 的正南方向），不让其进入 岛 12 海里内的海 域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值(角度精确到 ，速度精确到 海里/小时)． 45° 40 2 45 θ° + 26sin 26 θ = 0 90θ° < < ° 10 13 D A 30° 20 B D 18 D 4 D 12 E E B D 0.1° 0.1 3、（黄浦区 2017 届高三上学期期终调研）现有半径为 、圆心角 为 的扇形材 料，要裁剪出一个五边形工件 ，如图所示．其中 分别在 上， 在 上，且 ， ， ．记 ，五边形 的 面积为 ． （1）试求 关于 的函数关系式； （2）求 的最大值． 4、（静安区 2017 届向三上学期期质量检测）在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当 前台风中心位于城市 A（看做一点）的东偏南 角方向 ，300 km 的海面 P 处， 并以 20km / h 的速度向西偏北 45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60 km，并以 10km / h 的速度不断增大． (1) 问 10 小时后，该台风是否开始侵袭城市 A，并说明理由； (2) 城市 A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？ R ( )AOB∠ 90° OECDF ,E F ,OA OB ,C D AB OE OF= EC FD= ECD∠ = 90CDF∠ = ° 2COD θ∠ = OECDF S S θ S θ 2cos 10 θ =    5、（浦东新区 2017 届高三上学期教学质量检测）已知 的内角 的对边分别为 . （1）若 的面积 ，求 值； （2）若 ，求角 . 6、（青浦区 2017 届高三上学期期末质量调研） 已知函数 . （1） 求函数 在区间 上的最大值； （2）在 中，若 ，且 ，求 的值. 7、（松江区 2017 届高三上学期期末质量监控）上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜 度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔” ．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的 倾斜度和塔高：如图，记 O 点为塔基、P 点为塔尖、点 P 在地面上的射影为点 H．在塔身 OP 射影所在直线上选点 A，使仰角 ，过 O 点与 OA 成 的地面上选 B 点，使 仰角 （点 A、B、O 都在同一水平面上），此时测得 ，A 与 B 之 间距离为 米．试求： （1）塔高（即线段 PH 的长，精确到 0.1 米）； （2）塔身的倾斜度（即 PO 与 PH 的夹角，精确到 ）. ABC∆ , ,A B C , ,a b c , 7,3B b ABC π= = ∆ 3 3 2S = a c+ ( ) 22cosC BA BC AB AC c+ =      C ( ) ( )2 2 1 33sin cos 4 2f x x x x π + = + − − ∈   R ( )f x 0, 2 π     ABC∆ A B< ( ) ( ) 1 2f A f B= = BC AB 45HAP °∠ = 120° 45HBP °∠ = 27OAB∠ =  33.6 0.1 8、（徐汇区 2017 届高三上学期学习能力诊断）已知函数 ． （1）当 时，求 的值域； （2）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， 求 的面积． 9、（长宁、嘉定区 2017 届高三上学期期末质量调研）在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， ，求 和 的值． 10、（奉贤区 2017 届高三上学期期末） 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 观测到灯 塔 在一直线上，并与航线成角 ．轮船沿航线前进 米到达 处，此 时 观 测 到 灯 塔 在 北 偏 西 方 向 ， 灯 塔 在 北 偏 东 方 向 ， ．求 ．（结果用 的表达式表示）． 参考答案： 一、填空、选择题 1、解析：y= ，T＝ ，所以，a＝1 P A B， C A 45° B CB 23 cos sin( ) cos 1 x xf x x −= 0, 2x π ∈   ( )f x ABC∆ , ,A B C , ,a b c ( ) 3, 4, 52 Af a b c= = + = ABC∆ ABC a b c A B C 72cos22sin8 2 =−+ ACB A 3=a 3=+ cb b c α ( )0900 << α b β ( )0900 << α 0 00 90α β< + < , ,bα β 2 2cos sin cos2x x x− = aπ π= 2、 　　3、0　　4、 　　5、 6、D　　　7、 　　 8、【解析】∵ ， ， ∴cosα= ，　　∴tanα= ， ∴cot2α= = ． 故答案是： ． 9、B　　10、 　　11、1　　 12、【解析】∵ （ ）， ∴T= =π，∴ω=2．故答案是：2． 13、B　　14、 　　15、A 16. 17. 二、解答题 1、解：(1)因为 ， ， 所以 ....................................2 分 由余弦定理，得 ，..........5 分 所以船的行驶速度为 （海里/小时）..................6 分 （2）如图所示，以 为原点建立平面直角坐标系，设点 的坐标分别是 ， 8 33 2 2− π π 22 παπ <<− 5 3sin =α 4 5 3 4 1 tan 2α 7 24 7 24 π    −= 3sin πωxy 0>ω 2 | π ω｜ 10 2 2 π 5 12 − 0 90θ° < < ° 26sin 26 θ = 2 5 26cos 1 sin 26 θ θ= − = 2 2 2 cos 10 5BC AB AC AB AC θ= + − ⋅ = 10 5 15 52 3 = A B C， 1 1 2 2B x y C x y（ ， ）， （ ， ） 由题意，得 ............................8 分 ..................................10 分 所以直线 的方程为 .........................12 分 因为点 到直线 的距离 所以船会进入警戒水域...............................14 分 2、解:（1）依题意，在 中， ，由余弦定理得 所以 即此时该外国船只与 岛的距离为 海里．…………………………5 分 （2）过点 作 于点 在 中， ,所以 …………………… 7 分 以 为圆心， 为半径的圆交 于点 ，连结 、 ， 在 中， ,所以 又 所 以 , 所 以 ……………… 11 分 外国船只到达点 的时间 （小时） 所以海监船的速度 （海里 小时） 又 ， 故海监船的航向为北偏东 ，速度的最小值为 海里 小时. ……………… 1 1 cos45 40 sin 45 40 x AB y AB = ⋅ ° =  = ⋅ ° = 2 2 cos(45 ) 30 sin(45 ) 20 x AC y AC θ θ = ⋅ °− =  = ⋅ °− = BC 2 40 0x y− − = 0 55E −（ ， ） BC 0 0 2 2 | | 3 5 7ax by cd a b + += = < + ABD∆ 60DAB∠ =  2 2 2 2 22 cos60 18 20 2 18 15 cos60 364DB AD AB AD AB= + − = + − × × × =   2 91DB = D 2 91 B BC AD⊥ C Rt ABC∆ 10AC = 8CD AD AC= − = D 12 BC E AE DE Rt DEC∆ 2 2 4 5CE ED CD= − = 10 3 4 5BE = − 2 2 6 5AE AC CE= + = 4 5 2sin 36 5 CEEAC AE ∠ = = = 2arcsin 41.813EAC∠ = ≈  E 5 3 2 5 2.094 2 BEt −= = ≈ 6 5 6.4 5 3 2 5 2 AEv t ≥ = ≈ − / 90 41.81 48.2− =   48.2 6.4 / 14 分 （2）另解：建立以点 为坐标原点， 为 轴，过点 往正北作垂直的 轴。 则 ， ， ，设经过 小时外国船到达点 ， 又 ，得 ，此时 （小时） 则 ，所以监测船的航向东偏北 所以海监船的速度 （海里 小时） 3 、 解 ： （ 1 ） 设 是 中 点 ， 连 ， 由 ， 可 知 , , ， ，又 , , ，可得△ ≌△ ， 故 ，可知 ， …………2 分 又 , ,所以 ,故 ，在△ 中，有 ， 可得 ………5 分 所以 ………8 分 （2） ……………10 分 A AD x A y (0,0)A (18,0)D (10,10 3)B t (10,10 3 4 )E t− 12ED = (10,4 5)E 10 3 4 5 2.094t −= ≈ 4 5 2 5tan 10 5 EHEAD AH ∠ = = = 2 5arctan 41.815EAD∠ = ≈  41.81 6 5 6.4 10 3 4 5 4 AEv t ≥ = ≈ − / M CD OM OC OD= OM CD⊥ COM DOM∠ = ∠ = 1 2 COD θ∠ = sinMD R θ= OE OF= EC FD= OC OD= CEO DFO EOC DOF∠ = ∠ 1 2 4AOM BOM AOB π∠ = ∠ = ∠ = DF CD⊥ OM CD⊥ / /MO DF DFO∠ 3 4 π= DFO sin sin DF DO DOF DFO =∠ ∠ sin( )4 (cos sin )3sin 4 R DF R π θ θ θπ − = = − 2COD ODF OCE COD ODFS S S S S S∆ ∆= + + = + 21 sin 2 sin ( cos sin )2 R R R Rθ θ θ θ= + − 2 2 2sin 2 sin (0 )4R R πθ θ θ= − < < 2 2 2 21 1 1sin 2 (1 cos2 ) (sin 2 cos2 )2 2 2S R R R Rθ θ θ θ= − − = + − (其中 ) ……………………12 分 当 ，即 时， 取最大值 1． 又 ，所以 的最大值为 ． ……………14 分 4、解：（1）如图建立直角坐标系， ……………………………1 分 则城市 ，当前台风中心 ， 设 t 小时后台风中心 P 的坐标为 ，则 ，此时台风的半径为 ， 10 小时后， km，台风的半径为 160km, , ……………………………5 分 故，10 小时后，该台风还没有开始侵袭城市 A. ………1 分 （2）因此，t 小时后台风侵袭的范围可视为以 为圆心， 为半径的圆， 若城市 A 受到台风侵袭，则 ，即 ，……………………………5 分 解得 ……………………………1 分 答：该城市受台风侵袭的持续时间为 12 小时. ……………………………1 分 5、解：（1）∵ ，∴ ……………………………2 分 由余弦定理得 ……………………………………4 分 ∴ ……………………………………….7 分 （2）∵ …………………10 分 又∵ ……………………………12 分 ∴ ， 2 25 1sin(2 )2 2R Rθ ϕ= + − 1arctan 2 ϕ = 2 2 πθ ϕ+ = 4 2 π ϕθ = − sin(2 )θ ϕ+ 4 2 π ϕ− π(0, )4 ∈ S 25 1 2 R − ( )0,0A ( )30 2, 210 2P − ( ),x y 30 2 10 2 210 2 10 2 x t y t  = − = − + 60 10t+ 4.184PA ≈ =r PA