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第5讲 椭 圆
一、知识梳理
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若ab>0)，则
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋<1.
(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔＋＝1.
(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔＋>1.
常用结论
(1)焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，分别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.
①＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；
②＋＝1(a>b>0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；
③焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．
(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a>b>0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(3)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
(4)AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－.
二、教材衍化
1．若F1(－3，0)，F2(3，0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是( )
A.＋＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1或＋＝1
解析：选A.设点P的坐标为(x，y)，因为|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故点P的轨迹方程为＋＝1.故选A.
2．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过点F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A. B．
C．2－ D．－1
解析：选D.设椭圆方程为＋＝1，依题意，显然有|PF2|＝|F1F2|，则＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又00，n>0，m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(5)＋＝1(a>b>0)与＋＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、易错纠偏
(1)忽视椭圆定义中的限制条件；
(2)忽视椭圆标准方程中焦点位置的讨论；
(3)忽视点P坐标的限制条件．
1．平面内一点M到两定点F1(0，－9)，F2(0，9)的距离之和等于18，则点M的轨迹是________．
解析：由题意知|MF1|＋|MF2|＝18，但|F1F2|＝18，即|MF1|＋|MF2|＝|F1F2|，所以点M的轨迹是一条线段．
答案：线段F1F2
2．椭圆＋＝1的焦距为4，则m＝________．
解析：当焦点在x轴上时，10－m>m－2>0，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.当焦点在y轴上时，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.
答案：4或8
3．已知点P是椭圆＋＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P点坐标为或.
答案：或
第1课时 椭圆及其性质
椭圆的定义及应用(多维探究)
角度一 利用定义求轨迹方程
(1)如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.－＝1 B．＋＝1
C.－＝1 D．＋＝1
【解析】 (1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.
所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.
又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.
(2)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且2a＝16，2c＝8，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
【答案】 (1)A (2)D
角度二 利用定义解决“焦点三角形”问题
已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且1⊥2，若△PF1F2的面积为9，则b＝________．
【解析】 通解：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
又因为S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
优解：由⊥，可得S△PF1F2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】 3
【迁移探究1】 (变条件)若本例中增加条件“△PF1F2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程．
解：由本例得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故椭圆的方程为＋＝1.
【迁移探究2】 (变条件)将本例中的条件“⊥”“△PF1F2的面积为9”分别改为“∠F1PF2＝60°”“S△PF1F2＝3”，结果如何？
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，
又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin 60°
＝×b2×＝b2＝3，
所以b＝3.
角度三 利用定义求最值
设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值和最大值分别为( )
A．9，12 B．8，11
C．8，12 D．10，12
【解析】 如图，
由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
【答案】 C
椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．
1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )
A.＋＝1 B．＋y2＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
解析：选A.由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，
所以C的方程为＋＝1，选A.
2．(2020·惠州调研)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选D.如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，可求得|PF2|＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝.故选D.
3．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：如图所示，
设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.
所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.
利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．
所以|PA|＋|PF|≤6＋，|PA|＋|PF|≥6－.
故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
答案：6＋ 6－
椭圆的标准方程(师生共研)
(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为( )
A.＋y2＝1 B．＋＝1
C.＋＝1 D．＋＝1
(2)(一题多解)过点(，－)，且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
【解析】 (1)由题意设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆的定义知，4m＝2a，得m＝，故|F2A|＝a＝|F1A|，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点．令∠OAF2＝θ(O为坐标原点)，则sin θ＝.在等腰三角形ABF1中，cos 2θ＝＝，所以＝1－2，得a2＝3.又c2＝1，所以b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
(2)法一(定义法)：椭圆＋＝1的焦点为(0，－4)，(0，4)，即c＝4.
由椭圆的定义知，2a＝＋，
解得a＝2.
由c2＝a2－b2可得b2＝4，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
法二(待定系数法)：因为所求椭圆与椭圆＋＝1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.
设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①
又点(，－)在所求椭圆上，
所以＋＝1，
即＋＝1.②
由①②得b2＝4，a2＝20，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
【答案】 (1)B (2)＋＝1
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法
根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a、b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
1.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1
B.＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1
解析：选C.由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，所以∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，所以∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′，在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，所以椭圆C的方程为＋＝1，故选C.
2．(2020·湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点，焦点在x轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为2－2，离心率为，则椭圆E的方程为________．
解析：因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a－c，
所以a－c＝2－2，因为离心率e＝，所以＝，
解得a＝2，c＝2，则b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
答案：＋＝1
椭圆的几何性质(多维探究)
角度一 椭圆的长轴、短轴、焦距
(2020·河南洛阳一模)已知椭圆＋＝1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )
A．5 B．6
C．9 D．10
【解析】 由椭圆＋＝1的长轴在y轴上，焦距为4，可得＝2，解得m＝9.故选C.
【答案】 C
角度二 求椭圆的离心率
过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．
【解析】 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c，0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝.又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤.又0b>c>0，a2＝b2＋c2)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a－c)，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
解析：因为|PT|＝(b>c)，
而|PF2|的最小值为a－c，
所以|PT|的最小值为.
依题意，有≥(a－c)，
所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，
所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，
所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①
又b>c，所以b2>c2，所以a2－c2>c2，
所以2e2<1.②
联立①②，得≤e＜.
答案：
[基础题组练]
1．(2020·河北衡水二模)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则＝( )
A. B．
C. D．
解析：选D.因为e＝＝＝，所以8a2＝9b2，所以＝.故选D.
2．已知椭圆的中心在坐标原点，长轴长是8，离心率是，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1或＋＝1
C.＋＝1
D.＋＝1或＋＝1
解析：选B.因为a＝4，e＝，
所以c＝3，所以b2＝a2－c2＝16－9＝7.
因为焦点的位置不确定，
所以椭圆的标准方程是＋＝1或＋＝1.
3．已知点F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，若点P在椭圆C上，且∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析：选A.由|PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，得3|PF1|·|PF2|＝12，所以|PF1|·|PF2|＝4，故选A.
4．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点，若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A.－1 B．
C. D．＋1
解析：选A.不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，如图所示，因为△PF1F2为直角三角形，所以PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝2c，所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，所以椭圆E的离心率e＝－1.故选A.
5．(2020·江西赣州模拟)已知A，B是椭圆E：＋＝1(a>b>0)上的两点，且A，B关于坐标原点对称，F是椭圆的一个焦点，若△ABF面积的最大值恰为2，则椭圆E的长轴长的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.如图所示，
设直线AB的方程为ty＝x，F(c，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立可得y2＝＝－y1y2，
所以△ABF的面积S＝c|y1－y2|＝
c＝c≤cb，当t＝0时取等号．
所以bc＝2.所以a2＝b2＋c2≥2bc＝4，a≥2.所以椭圆E的长轴长的最小值为4.故选D.
6．(2019·高考全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c＝＝4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|＝2c＝8，所以|F2M|＝2a－8＝4.
设M(x，y)，
则得
所以M的坐标为(3，)．
答案：(3，)
7．(2020·河北衡水三模)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想，我国探月工程的进展与实力举世瞩目．近期，“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，月球上“嫦娥四号”的着陆点，被命名为天河基地，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面100千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面15千米，则椭圆形轨道的焦距为________千米．
解析：设椭圆的长半轴长为a千米，半焦距为c千米，月球半径为r千米．
由题意知解得2c＝85.
即椭圆形轨道的焦距为85千米．
答案：85
8．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.
又d＝≥，所以1≤b<2.又e＝＝＝，所以0b>0)的右焦点为F2(3，0)，离心率为e.
(1)若e＝，求椭圆的方程；
(2)设直线y＝kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且b>0)的右顶点为A，右焦点为F，B为椭圆在第二象限内的点，直线BO交椭圆于点C，O为原点，若直线BF平分线段AC，则椭圆的离心率为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.
如图，设点M为AC的中点，连接OM，则OM为△ABC的中位线，于是△OFM∽△AFB，且＝＝，即＝，解得e＝＝.故选B.
2．(2020·福建福州一模)已知F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是椭圆上异于顶点的任意一点，K点是△F1PF2内切圆的圆心，过F1作F1M⊥PK于点M，O是坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．(0，1) B．(0，)
C．(0，) D．(0，2)
解析：选C.如图，延长PF2，F1M相交于N点，
因为K点是△F1PF2内切圆的圆心，所以PK平分∠F1PF2，
因为F1M⊥PK，
所以|PN|＝|PF1|，M为F1N的中点，
因为O为F1F2的中点，M为F1N的中点，
所以|OM|＝|F2N|＝||PN|－|PF2||＝||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝c＝，
所以|OM|的取值范围是(0，)．
故选C.
3．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，S△F1AF2＝2，则椭圆C的方程为________．
解析：因为点A在椭圆上，所以|AF1|＋|AF2|＝2a，对其平方，得|AF1|2＋|AF2|2＋2|AF1||AF2|＝4a2，又AF1⊥AF2，所以|AF1|2＋|AF2|2＝4c2，则2|AF1||AF2|＝4a2－4c2＝4b2，即|AF1||AF2|＝2b2，所以S△AF1F2＝|AF1||AF2|＝b2＝2.又△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2＝90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|＝|F1F2|＝c，由已知不妨设A在第一象限，则∠AOF2＝30°，所以A，则S△AF1F2＝|F1F2|·c＝c2＝2，c2＝4，故a2＝b2＋c2＝6，所以椭圆方程为＋＝1.
答案：＋＝1
4．正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：设正方形的边长为2m，因为椭圆的焦点在正方形的内部，所以m>c，又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆＋＝1(a>b>0)上，所以＋＝1>＋＝e2＋，整理得e4－3e2＋1>0，e2<＝，所以0b>0)，F1，F2为其左、右焦点，B1，B2为其上、下顶点，四边形F1B1F2B2的面积为2，点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P)总经过坐标原点O.
(1)求椭圆E的长轴A1A2的长的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆F1：(x＋1)2＋y2＝3，则圆P和圆F1的公共弦MN的长是不是定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由．
解：(1)依题意四边形F1B1F2B2的面积为2bc，
所以2bc＝2.
因为|A1A2|＝2a＝2≥2＝2，当且仅当b＝c＝1时取“＝”，此时a＝，
所以长轴A1A2的长的最小值为2，此时椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)是定值．设点P(x0，y0)，则＋y＝1⇒y＝1－.
圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋y，即x2＋y2－2x0x－2y0y＝0，①
圆F1的方程为(x＋1)2＋y2＝3，即x2＋y2＋2x－2＝0，②
①－②得公共弦MN所在直线的方程为(x0＋1)x＋y0y－1＝0，
所以点F1到公共弦MN所在直线的距离d＝＝＝＝，
则|MN|＝2＝2，所以圆P和圆F1的公共弦MN的长为定值2.
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