数学理卷·2018届东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第一次模拟考试（2018 12页

哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学 ‎2018年高三第一次联合模拟考试 理科数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数的模为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为( )‎ A. B.2 C. D.‎ ‎6.展开式中的常数项是( )‎ A. B. C.8 D.‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是( )‎ A. B. C.1 D.3 ‎ ‎8.已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离是，则该函数的一个单调增区间为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.辗转相除法是欧几里德算法的核心思想，如图所示的程序框图所描述的算法就是辗转相除法，若输入，，则输出的值为( )‎ A.148 B.37 C.333 D.0‎ ‎10.底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫做正棱锥.如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的侧面积为，则该半球的体积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，若以为直径的圆与轴相切，则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在，，，是边上的两个动点，且，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在中，，，，则______________.‎ ‎14.若满足约束条件，则的最大值为______________.‎ ‎15.甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的、、，已知：‎ ‎①甲不在哈尔滨工作，乙不在长春工作；②在哈尔滨工作的教师不教；‎ ‎③在长春工作的教师教；④乙不教.‎ 可以判断乙教的是______________.‎ ‎16.已知函数，是函数的极值点，给出以下几个命题：‎ ‎①；②；③；④；‎ 其中正确的命题是______________.(填出所有正确命题的序号)‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎18.某商场按月订购一种家用电暖气，每销售一台获利润200元，未销售的产品返回厂家，每台亏损50元，根据往年的经验，每天的需求量与当天的最低气温有关，如果最低气温位于区间，需求量为100台；最低气温位于区间，需求量为200台；最低气温位于区间，需求量为300台。公司销售部为了确定11月 份的订购计划，统计了前三年11月份各天的最低气温数据，得到下面的频数分布表：‎ 最低气温(℃)‎ 天数 ‎11‎ ‎25‎ ‎36‎ ‎16‎ ‎2‎ 以最低气温位于各区间的频率代替最低气温位于该区间的概率.‎ (1) 求11月份这种电暖气每日需求量(单位：台)的分布列；‎ (2) 若公司销售部以每日销售利润(单位：元)的数学期望为决策依据，计划11月份每日订购200台或250台，两者之中选其一，应选哪个？‎ ‎19.如图，四棱锥中，平面平面，且，底面为矩形，点、、分别为线段、、的中点，是上的一点，.直线与平面所成的角为.‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)设，求二面角的余弦值.‎ ‎20.已知椭圆过抛物线的焦点，，分别是椭圆的左、右焦点，且.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若直线与抛物线相切，且与椭圆交于，两点，求面积的最大值.‎ ‎21.已知函数，，.‎ ‎(1)当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；‎ ‎(2)设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中.‎ ‎①求证：；‎ ‎②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎22.已知曲线的极坐标方程为：，以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：(为参数)，点.‎ ‎(1)求出曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎(2)设曲线与曲线相交于，两点，求的值.‎ ‎23.已知不等式.‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若不等式的解集为，求的范围. ‎ ‎2018年三省三校一模考试（数学理科）答案 一．选择题：CABBA BDABD CA 二．填空题：‎ ‎13.1 14. 15.C 16. ①③‎ 三．解答题：‎ ‎17. （本题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）令，得，且，解得. ‎ 当时，，即， ‎ 整理得，，， ‎ 所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 故. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：， ‎ ‎. ‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 解：（1）由已知X的可能取值为100,200,300‎ ‎ X的分布列为 X ‎100‎ ‎200‎ ‎300‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎ ‎ ‎（2） 由已知 ‎①当订购200台时，‎ E((元)‎ ‎② 当订购250台时，‎ E(‎ ‎（元）‎ 综上所求，当订购台时，Y的数学期望最大，11月每日应订购250台。‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎.解：（Ⅰ）取中点，连接，交于点，连接，则.‎ 因为平面平面，所以平面，，.‎ 方法一：因为，，所以，所以.‎ 又，，所以，所以∽，‎ 所以，所以.且，所以平面.‎ 方法二：取中点，连接，交于点,连接，则.‎ 因为平面平面，所以平面，，.‎ 又因为，，所以，所以.‎ 以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.‎ 设，，则，，，，‎ 于是,.‎ 所以，所以，且，所以平面 ‎ ‎（Ⅱ）取中点，连接，交于点，连接，则.‎ 因为平面平面，所以平面，‎ ‎，.‎ 以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴的正方向，‎ 建立空间直角坐标系.‎ 设，则，，‎ ‎，，，‎ 于是，，.‎ 设平面的一个法向量为，则，‎ 从而，令,得.‎ 而平面的一个法向量为.‎ 所以 ‎ ‎20．（本题满分12分）‎ ‎.解: （Ⅰ），又，.又，‎ 椭圆的标准方程为. ‎ ‎（Ⅱ）设直线与抛物线相切于点，则，即，‎ 联立直线与椭圆，消去，整理得.‎ 由，得.‎ 设，则：. ‎ 则 原点到直线的距离.‎ 故面积，‎ 当且仅当，即取等号，‎ 故面积的最大值为1. ‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 解（Ⅰ）:当时：‎ 由知：‎ 依题意：对恒成立 设 当时；当时， ‎ 设 当时；当时，‎ 故：实数k的取值范围是 ‎ ‎（Ⅱ）由已知：，‎ ‎①：由得：‎ ‎ 由得：‎ ‎ 故 ‎，，，故：‎ ‎ ‎ ‎②：由①知：，且 由得：，‎ 设 在为减函数，‎ 由得：‎ ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 22.解：（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）‎ 的直角坐标方程为:‎ 的普通方程为 ‎（Ⅱ）将 得：‎ ‎ ‎ 由的几何意义可得：‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ ‎（Ⅰ）当时：不等式为:‎ 等价于：: ‎ 解得：:‎ 所以：不等式的解集为: ‎ ‎（Ⅱ）设函数=‎ 设函数过定点（0，-1）‎ 画出的图像， ‎ ‎（，6）‎ ‎（，6）‎ ‎ ‎ ‎（0，-1）‎ 由数形结合得的范围是 ‎ ‎