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- 2021-06-15 发布
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【试题研究】立体几何中的外接球问题的分析与解(原创)
湖北省罗田县第一中学 陈清华
1.问题呈现
题目 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,且平面,若,则球的表面积为 .
2.分析与解
分析:根据球的对称性,画出球和平面的截面圆,构建利用勾股定理求出球的半径.
图1
解:如图1所示,设 的外接圆的圆心为,由题可知,则,所以球心在的正上方,且,所以外接球的半径,所以球的表面积为
3.举一反三
题1 已知四棱锥的顶点都在球上,底面是矩形,平面平面,为正三角形,,则球的表面积为
A. B. C. D.
解 如图2,将四棱锥补为一个三棱柱,因为为正三角形,,所以的外接圆的半径为,所以球的半径为
,所以球的表面积为
图2
题2 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上,且该棱锥的高为4,底面边长为,则该球的体积为 .
解 如图3所示,正四棱锥的外接球的球心在它的高上,设球的半径为,底面边长为,所以,在中,,即,所以,所以球的体积
图3
题3 在半径为5的球面上有不同的四点,若,则平面被球所截得图形的面积为 .
解法1 如图4所示,过点作平面的垂线,连接,设
所在截面的半径为,因为,所以在中,由余弦定理知:,所以,所以,在中,,所求面积
图4
解法2 如图4所示,过点作平面的垂线,连接,设所在截面的半径为,.
在中,,则,解得,所求面积