数学理卷·2018届广东省深圳市高级中学高三10月月考（四校联考）（2017 13页

绝密★启用前 试卷类型：A 深圳市2018届高三年级四校联考 ‎ 理科数学 ‎ ‎ 本试卷共6页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.‎ ‎5．考生必须保持答题卡的整洁.‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项符合要求．‎ ‎1. 已知全集, 集合, , 则 ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2．函数的定义域为 ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎3．设则“”是“，且”的 ‎ ‎（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎4．根据下列条件,能确定有两解的是 ‎(A) (B) ‎ ‎(所C) (D)‎ ‎5．已知，则 ‎(A) (B) (C) 或 (D)‎ ‎6．把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎7．函数的图象可能是 ‎ ‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎8．若函数在区间上为减函数，则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎9．已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10．已知 ，,，则它们的大小关系是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎11．已知定义在上的函数对任意满足：，当时，‎ ‎，则方程的实根个数为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎12．已知函数，存在，使得函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.若定义在区间上的函数是奇函数，则 .‎ ‎14． .‎ ‎15． 设函数的最小值为，则实数的取值范围是_____．‎ ‎16．已知锐角三角形中，角所对的边分别为若，则的取值范围是____________．‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个集合：，，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）已知，求实数的取值范围.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，内角对边分别是，已知．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：‎ 方案代号 基本月租（元）‎ 免费时间（分钟）‎ 超过免费时间的话费（元/分钟）‎ ‎1‎ ‎30‎ ‎48‎ ‎0．60‎ ‎2‎ ‎98‎ ‎170‎ ‎0．60‎ ‎3‎ ‎168‎ ‎330‎ ‎0．50‎ ‎4‎ ‎268‎ ‎600‎ ‎0．45‎ ‎5‎ ‎388‎ ‎1000‎ ‎0．40‎ ‎6‎ ‎568‎ ‎1700‎ ‎0．35‎ ‎7‎ ‎788‎ ‎2588‎ ‎0．30‎ ‎ 原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：‎ ‎（I）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；‎ ‎（II）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围；‎ ‎（III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知,函数，.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）求取得最大值时的值.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）判断函数的零点个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知，，若曲线上有两点，且曲线在点、处的切线相交于点，证明：点一定在轴上方.‎ 深圳市直属学校四校联考理科数学参考答案 第Ⅰ卷(选择题共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一项符合要求．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C B D D B C A D C A B 第II卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13．； 14．； 15．； 16．．‎ ‎16.解：∵，，‎ ‎，∴，‎ ‎∵是锐角三角形，∴，且，‎ ‎∴.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知三个集合：，，‎ ‎.‎ ‎(I) 求；‎ ‎(II)已知，求实数的取值范围.‎ 解：(I), . …………………………………2分 ‎,. ……………………………………….4分 ‎. …………………………………………………..………..5分 ‎(II),‎ ‎ ……………………………………………..…….…..6分 ‎ ……………………………………………..…..7分 即解得 ……………………..……..9分 所以实数的取值范围是 ………………………………………..….10分 ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的值域.‎ 解：（I）‎ ‎，………………….......……3分 ‎，………………….................................................................……..4分 由得.‎ 函数的最小正周期为，对称轴方程为.………………6分 ‎（II）‎ 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，‎ 所以，当时，取最大值..………………….........................……..8分 又，.…………………..........................……..10分 当时，取最小值，.…………………....................……..11分 所以函数在区间上的值域为..……………………..12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 在中，内角对边分别是，已知．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ‎，‎ ‎∴，，，………………………………2分 ‎∵，‎ ‎∴， ……………………………4分 ‎∴，‎ 而 ‎∴.……………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）‎ ‎，………………………………8分 由（Ⅰ）知，‎ ‎∴， ………………………………10分 ‎∴当，即时，取得最大值.………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：‎ 方案代号 基本月租（元）‎ 免费时间（分钟）‎ 超过免费时间的话费（元/分钟）‎ ‎1‎ ‎30‎ ‎48‎ ‎0．60‎ ‎2‎ ‎98‎ ‎170‎ ‎0．60‎ ‎3‎ ‎168‎ ‎330‎ ‎0．50‎ ‎4‎ ‎268‎ ‎600‎ ‎0．45‎ ‎5‎ ‎388‎ ‎1000‎ ‎0．40‎ ‎6‎ ‎568‎ ‎1700‎ ‎0．35‎ ‎7‎ ‎788‎ ‎2588‎ ‎0．30‎ ‎ 原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：‎ ‎（I）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；‎ ‎（II）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围；‎ ‎（III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由.‎ 解：（I）易知 所以.……………………….......................…..4分 ‎（II）当时，解不等式且得，‎ 当时，解不等式，得，‎ 综上，当时，采用第种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.‎ ‎………………………………………………………..................................................8分 ‎（III）因为按照原来的收费方式，分钟收费元（即），‎ 所以，不会选择月租费多于元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.‎ 第一种方式的话费为：（元）；‎ 第二种方式的话费为：（元）；‎ 第三种方式的话费为：元.‎ 故选择第三种方式. ……………………………..................................................12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知,函数，.‎ ‎(I)求的单调区间；‎ ‎(II)求取得最大值时的的值.‎ 解：(I)由已知得到:, ‎ ‎(1)当时,,,恒成立；……..…………...1分 ‎(2)当时,,，恒成立; …….2分 ‎(3)当时，,,‎ ‎，，且,‎ 令解得：或.……………………………………………....3分 综上：当时,的单调减区间为；‎ 当时,的单调増区间为;‎ 当时，的单调増区间为和，‎ 单调减区间为.………………………………………………………5分 ‎(II)由(I)知(1)当时,在上递减,所以；……....6分 ‎ (2)当时,在上递增,所以;……………....…...7分 ‎(3)当时，，‎ ‎，‎ ‎,,，‎ ‎.…………………………………………………………..................................................…..9分 ①当，由，得，所以，且，此时，又 ，，即；‎ ‎.…………………………………………………………..................................................…..10分 ②当时，由，得，所以，且，此时，又，，即；‎ ‎.…………………………………………………………..................................................…..11分 综上，当时, 在处取得最大值；‎ 当时，在处取得最大值；‎ 当时，在处取得最大值. …..........................................................…..12分 ‎22．（本小题满分12分）已知.‎ ‎（Ⅰ）判断函数的零点个数，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）已知，，若曲线上有两点，且曲线在点、处的切线相交于点，证明：点一定在轴上方.‎ 解：（Ⅰ）函数定义域为， ‎ ‎， ‎ 函数在单调递增，‎ 因为， ……………………………………………………….……………..3分 所以，函数有唯一的零点……………………………………………………..5分 ‎（Ⅱ）.‎ 过点的切线方程为：‎ 和…………………………………8分 设两条切线交点的纵坐标为,‎ 可解得,…………………10分 法一：设,因为，所以,,且有.‎ 于是,‎ 因此,,………………………………………….11分 由（Ⅰ）知，当时，，所以，，‎ 故又,‎ ‎，所以点一定在轴上方. ……………………………………………….12分 法二：∵，，‎ ‎，下证，‎ 设，则，‎ 即证当时，不等式成立，……………………………..11分 令，则，且，‎ 显然当时，，所以，即，‎ ‎，所以点一定在轴上方. ……………………………………………..12分