四川省遂宁市第二中学2020届高三上学期第一次诊断性考试数学（理）试卷 (1) 12页

数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则 A. B. C. D. ‎ ‎2．已知向量.若，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若复数满足，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.设，，，则下列关系正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎5.函数的图像大致为 A. B. C. D. ‎ ‎6.若是两条不同直线，垂直于平面，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.实数满足，则下列关系正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.在中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知直线是圆的一条对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11.已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，则的最小值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12．设点为函数与的图像的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知，，则 .‎ ‎14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则角的大小为______.‎ ‎15. 已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为 .‎ ‎16.已知三棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心O在同一平面内，若此三棱锥的最大体积为，则球O的表面积等于_____．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列的前项和为．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎18.在中，角，，所对的边分别是，，，已知，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）的面积为，求的值.‎ ‎19．（12分）某社会机构为了调查对手机游戏的兴趣与年龄的关系，通过问卷调查，整理数据得如下列联表：‎ ‎（1）根据列联表，能否有的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关？‎ ‎（2）若已经从40岁以上的被调查者中用分层抽样的方式抽取了10名，现从这10名被调查者中随机选取3名，记这3名被选出的被调查者中对手机游戏很有兴趣的人数为，求的分布列及数学期望．‎ 附：．‎ 参考数据：‎ ‎21．（12分）设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数恰有两个零点，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4:坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于，两点.‎ ‎（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎23.已知定义在上的函数，，若存在实数使成立.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，，，求证：.‎ 数学（理科）参考解答 一、 选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B B A C D B A A B D A B ‎12．【答案】B【解析】设，由于点为切点，则，‎ 又点的切线相同，则，即，即，‎ 又，，∴，于是，‎ 设，则，‎ 所以在单调递增，在单调递减，的最大值为，故选B．‎ ‎13． 14. 15. 16. ‎ 三、解答题：‎ ‎17.【解析】（1）当时，.‎ 因为，所以，所以.………………………………………2分 因为，所以.‎ 两式相减，得，即 又因为，所以.‎ 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. ………………………………………5分 所以. ………………………………………6分 ‎（2）由（1）可知 ………………………………………7分 故当为偶数时，‎ ‎………………………………………9分 当为奇数时，‎ ‎ ………………………………………11分 所以 ………………………………………12分 ‎18.【解析】（1）由，则，且 ，……………………………1分 由正弦定理， ………………………………………3分 因为，所以，所以，………………………………………5分 ‎ ……………………………………………6分 ‎（2），∴，………………………………………8分 ‎ ，………………………………………9分 ‎∴， ，………………………………………11分 ‎∴. ………………………………………12分 ‎19．【答案】（1）没有的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关；（2）分布列见解析，．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎∴没有的把握认为对手机游戏的兴趣程度与年龄有关．‎ ‎（2）由题得40岁以上的被调查者中用分层抽样的方式抽取的10名人员中有3名对手机游戏很有兴趣，有7名无兴趣．‎ ‎∴的可能值为0，1，2，3，，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎．‎ ‎21．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）因为，其定义域为，‎ 所以．‎ ‎①当时，令，得；令，得，‎ 此时在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎②当时，令，得或；令，得，‎ 此时在，上单调递减，在上单调递增．‎ ‎③当时，，此时在上单调递减．‎ ‎④当时，令，得或；令，得，‎ 此时在，上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）由（1）可知：①当时，．‎ 易证，所以．‎ 因为，，‎ ‎．‎ 所以恰有两个不同的零点，只需，解得．‎ ‎②当时，，不符合题意．‎ ‎③当时，在上单调递减，不符合题意．‎ ‎④当时，由于在，上单调递减，在上单调递增，‎ 且，‎ 又，由于，，‎ 所以，函数最多只有1个零点，与题意不符．‎ 综上可知，，即的取值范围为．‎ ‎22.【解析】（1）由得，‎ 所以曲线的直角坐标方程，………………………………………2分 因为，所以，直线的普通方程为；………………………4分 ‎（2）直线的参数方程为（为参数），………………………………………5分 代入得：， ………………………………………6分 设，对应的参数分别为，，则，，， ……………7分 由参数，的几何意义得，，，‎ 由得，所以，………………………………………8分 所以，即，‎ 故，或（舍去），所以. ………………………………………10分 ‎23.【解析】（1）因为，………………………………………3分 因存在实数使成立，所以，………………………………………4分 解之得，因为，所以；………………………………………5分 ‎（2）因，，所以 ，‎ 因为，所以，所以，…………………………………8分 因为 ‎ ‎，且时等号成立，………………………………………10分 又，，所以等号不成立，.‎