数学理卷·2018届四川省遂宁市高中高二下学期期末教学水平监测（解析版） 11页

遂宁市高中2018级第四学期教学水平监测 数学（理科）试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题，满分60分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。‎ ‎2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。‎ ‎3．考试结束后，将答题卡收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 复数为纯虚数，则实数的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由题意得，所以，故选A.‎ ‎2. 已知则使得成立的一个必要不充分条件为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 ,所以去掉A,B,而,所以选C.‎ ‎3. 在的展开式中，常数项为 A. 135 B. 105 C. 30 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 即常数项为 ,选A.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎4. 已知的取值如图所示，若与线性相关，且线性回归方程为，，则的值为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ,选D.‎ ‎5. 设函数的图象上点处的切线斜率为， 则函数的大致图象为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 为奇函数,舍去A,C;因为 所以舍去D,选B.‎ ‎6. 运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道中的一位选手得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】若甲对,则乙也对,所以甲错;若甲错乙对,则丙也对,所以乙错,即3道的选手得第一名,此时只有丁对,因此选D.‎ ‎7. 函数的零点个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,所以当 时 ; 当 时 ;因此零点个数为2,选C.‎ ‎8. 甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加遂宁市劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次（无并列）.甲乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说“你当然不是最差的”.从这个人的回答中分析，5人的名次情况共有 A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 54种 ‎【答案】D ‎【解析】先排乙有3种方法,再排甲有3种方法,其余三人全排列,共有 ,‎ 选D.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.‎ ‎9. 已知圆(x＋3)2＋y2＝64的圆心为M，设A为圆上任一点，点N的坐标为(3，0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ,所以动点P的轨迹是椭圆,选B.‎ 点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.(2)注意数形结合，画出合理草图.‎ ‎10. 设为抛物线的焦点， A、B、C为该抛物线上不同的三点，且，为坐标原点，若的面积分别为，则 A. 36 B. 48 C. 54 D. 64‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由题意可知，设，则，由得，即，又在抛物线上，所以，，所以，故选B.‎ 考点：1.向量的坐标运算；2.抛物线的标准方程与性质；3.三角形面积公式.‎ ‎【名师点睛】本题考查向量的坐标运算、抛物线的标准方程与性质、三角形面积公式，中档题.向量与圆锥曲线的相关知识融合，是最近高考命题的热点，解题思路上由向量运算得到坐标之间的关系或几何元素之间的关系，然后再根据圆锥曲线相关的知识经过运算求解.‎ ‎11. 已知都是定义在R上的函数, ，在有穷数列 (n=1,2,…,10）中，任意取前k项相加，则前k项和不小于的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令 ,则 ‎ ,因此概率为 ,选C.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等 ‎12. 设为抛物线的准线上一点，F为C 的焦点，点P在C上且满足，若当m取得最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由点在抛物线的准线上，所以，所以抛物线的方程为，‎ ‎ 所以抛物线的焦点，准线方程为，‎ 过点作准线的垂线，垂直为，‎ 由抛物线的定义可知,‎ 因为，则，当直线与抛物线相切时，此时取得最小值，‎ 设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 联立方程组 ，整理，由，解得，‎ 此时直线的方程为，‎ 由与抛物线方程联立，解得点，‎ 此时双曲线的焦点坐标为，且过点 根据双曲线的定义可知，‎ 所以，所以双曲线的离心率为 ，故选A。‎ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）‎ 注意事项：‎ ‎1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。‎ ‎2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 若…，‎ 则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令 得 ‎14. 如图所示，机器人明明从A地移到B地，每次只移动一个单位长度，则明明从A移到B最近的走法共有____种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 有 种方法； 有 种方法； 有 种方法；共有 ‎ ‎15. 若“，使得”为假命题，则实数的取值范围为____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，恒成立，所以 ‎ ‎ ‎ ‎16. 已知函数，现给出下列结论：‎ ‎①有极小值，但无最小值 ‎②有极大值，但无最大值 ‎③若方程恰有一个实数根，则 ‎④若方程恰有三个不同实数根，则 ‎ 其中所有正确结论的序号为____‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】 ‎ 所以当 时， ；当 时， ；当 时， ；‎ 因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值；若方程恰有一个实数根，则或; 若方程恰有三个不同实数根，则,即正确结论的序号为②④‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ 三、解答题（17题10分，18~22题各12分，共70分，请写出必要的解答过程或文字说明）‎ ‎17. 已知命题函数在区间上单调递增；‎ 命题函数的定义域为；‎ 若命题“”为假，“”为真，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先根据二次函数单调性确定的取值范围；根据对数真数恒大于零得的取值范围；再根据命题“”为假，“”为真得，最后分两种情况分类求解集，并集为实数的取值范围.‎ 试题解析： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. 已知直线与抛物线交于两点.O为坐标原点 ‎ （1）求证：;‎ ‎（2）若的面积为2，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设A，B坐标，利用向量数量积表示，代入直线方程得关于横坐标和与积的关系式，联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理化简可得（2）利用点到直线距离公式可得三角形的高，利用弦长公式可得底边长度，根据三角形面积公式可得方程，解方程可得的值.‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. 已知函数 ‎（1）对任意实数恒成立，求的最大值；‎ ‎（2）若函数恰有一个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据二次函数性质求导函数最大值，最后根据恒成立含义得的取值范围，即得的最大值（2）先求导函数零点，列表分析函数单调性变化规律，结合函数图像确定函数恰有一个零点的条件，解不等式即得的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎20. 现在颈椎病患者越来越多，甚至大学生也出现了颈椎病，年轻人患颈椎病多与工作、生活方式有关，某调查机构为了了解大学生患有颈椎病是否与长期过度使用电子产品有关，在遂宁市中心医院随机的对入院的50名大学生进行了问卷调查，得到了如下的4×4列联表：‎ ‎ 未过度使用 ‎ 过度使用 ‎ 合计 ‎ 未患颈椎病 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ ‎ 患颈椎病 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（1）是否有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关？‎ ‎（2）已知在患有颈锥病的10名未过度使用电子产品的大学生中，有3名大学生又患有肠胃炎，现在从上述的10名大学生中，抽取3名大学生进行其他方面的排查，记选出患肠胃炎的学生人数为，求的分布列及数学期望．‎ 参考数据与公式：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据卡方公式求出，再根据参考数据确定是否有把握（2）先确定随机变量取法，再分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据熟悉期望公式求期望学。 ‎ 试题解析：解：（1）‎ 且P（k2≥7.879）=0.005=0.5%， ‎ ‎∴我们有99.5%的把握认为大学生患颈锥病与长期过度使用电子产品有关系；‎ ‎（2）根据题意，ɛ的所有可能取值为0，1，2，3； ‎ ‎∴P（=0）==，P（=1）==，‎ P（=2）==，P（=3）==； ‎ ‎∴的分布列如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P（）‎ ‎∴的数学期望为Eɛ=0×+1×+2×+3×==0.9.‎ ‎21. 已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆定义求a，再根据a,b,c勾股关系求b,代入椭圆方程即可（2）先设A，B坐标，利用向量数量积表示，利用斜率公式表示，再根据直线方程得关于横坐标和与积的关系式，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理化简，根据条件可解得代入化简可得，最后根据判别式求范围，代入即得的取值范围.‎ 试题解析：解：(1) ‎ ‎ ‎ ‎(2)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值；‎ ‎（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件 ‎.试比较与0的关系，并给出理由.‎ ‎【答案】（1）-1；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数，即可得出函数的单调性，从而得到函数的最大值.‎ ‎（2）由在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立，分离参数得出，即可求解实数的取值范围. ‎ ‎（3）由题意得有两个实根，化简可得，可得，只需证明 令，设即可得到．‎ 试题解析：‎ ‎（1） ‎ 函数在是增函数，在是减函数，‎ 所以． ‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立 ‎，有=，（） ‎ 综上： ‎ ‎（3）与0的关系为：理由如下：‎ ‎∵，又有两个实根，‎ ‎∴，两式相减，得， ‎ ‎∴, ‎ 于是 ‎． ‎ ‎．‎ 要证：，只需证：‎ 只需证：．(*) ‎ 令，∴(*)化为 ，只证即可．‎ 在（0，1）上单调递增，，‎ 即．∴． ‎ ‎（其他解法根据情况酌情给分）‎ 点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答的关键是认真梳理条件，合理转化，转化为利用导数研究函数的单调性与极值（最值），其中合理转化、构造新函数是解得难点.‎