【数学】2019届一轮复习人教A版圆锥曲线定点问题探究有趣的“母子圆锥曲线”学案 9页

‎ 圆锥曲线定点问题探究 ‎ ——有趣的“母子圆锥曲线”‎ ‎　　 ‎ 一、母子抛物线及其性质的探求过程：‎ 第一步：一个经典的例题 例1：已知抛物线，是坐标原点，作射线交抛物线于两点．求证：直线过定点．‎ 证明：如图1,显然直线斜率不是，设直线的方程为，联立得：，显然，，‎ 设，则，，又，∴，‎ 即，又，，‎ ‎∴，∴，‎ 解得，或．‎ 当时, 直线的方程为,直线过定点,不符合题意．‎ 当时,直线的方程为，显然直线过定点 ．‎ 综上, 直线过定点． ‎ 第二步：经典例题中的直角顶点换个位置 例2：已知抛物线，是上的一个定点，作射线交抛物线于，．求证：直线过定点．‎ 证明：如图2,显然直线斜率不是，设直线的方程为，联立得：，显然，，设，则，，又，∴，‎ 即，‎ 即，‎ 又，，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴，解得，或．‎ 当时,,即,即直线过定点,不符合题意．‎ 当时,,即,即直线过定点．‎ 综上, 直线过定点．‎ 第三步：例2中再改为其关于轴的对称点 例3：已知抛物线，是上的一个定点，作射线交抛物线于，．求直线所过定点．‎ 解：根据抛物线的对称性，不难猜想直线所过定点与例2中所过定点关于轴对称,即为．求解过程略．‎ 第四步： 提出一个问题，并对问题的答案作出猜想 当点在抛物线上运动时，直线所过的定点也在运动，那么点的轨迹是什么呢？如何求出轨迹方程呢？‎ 我们首先猜想的轨迹是抛物线，我们已经得到、、，于是进一步猜想的轨迹是以为顶点，开口向右的抛物线，于是我们设轨迹方程为，把代入可以求得，于是得到猜想的轨迹方程为．‎ 第五步：给出第四步中猜想的详细证明 注意:证明中涉及参数非常多，因此变换过程要参照例2中的思路方法，变换过程中分解因式比较复杂，注意按照某个字母的降幂排列．‎ 例4：设抛物线上一定点为，作射线交抛物线于，．求直线所过定点的坐标,并求出的轨迹方程．‎ 解:显然直线斜率不是，设直线的方程为，‎ 联立得：，显然，，‎ 设，则，，‎ 于是,,‎ 又，∴，‎ 即，‎ 即，‎ 即 ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，或．‎ 当时,,即,‎ 即直线过定点,不符合题意．‎ 当时,,即,‎ 即直线过定点．‎ 设,则消去得．‎ 即的轨迹方程为．‎ 第六步：母子抛物线性质及其逆命题 ‎1、母子抛物线及其性质:‎ 如图3,在抛物线上取点，作射线交抛物线于，．则直线过的定点为．的轨迹方程为．我们把与称为一对母子抛物线．‎ ‎2、母子抛物线性质的逆命题:‎ 在子抛物线上任取,过作母抛物线的弦,那么在母抛物线上一定存在异于一点,且点满足,在实际命题中经常叙述为,或者联系圆的性质, 叙述为“以弦为直径的圆过定点”．‎ 我们不难论证母子抛物线的性质的逆命题也是真命题，限于篇幅，在此从略．‎ 二、母子椭圆 我们用研究母子抛物线类似的方法研究母子椭圆．‎ ‎1、求特殊点:‎ 例5、已知椭圆，是的一个顶点，作射线交椭圆于，．求直线所过定点的坐标．‎ 解：显然直线有斜率，设直线的方程为，‎ 联立得：，‎ 当时，设，‎ 则 又，∴，‎ 即，‎ ‎，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ 把代入上式得：‎ ‎，注意到显然不合题意，‎ 于是上式化为：，‎ 整理得，∴．‎ 即直线的方程为，显然直线过定点．‎ 把的坐标改为顶点，类似可以求得直线过定点．‎ 把的坐标改为顶点，类似可以求得直线过定点．‎ 把的坐标改为顶点，类似可以求得直线过定点．‎ ‎2、猜想:‎ 由,,,可以猜想,当在椭圆上运动时,相应的轨迹为以、、、为四个顶点的椭圆，其轨迹方程为，即．‎ ‎3、检验: ‎ 一般的证明过程比较复杂,我们在此仅仅把改为椭圆上的非顶点来进行检验．‎ 例6、已知椭圆， 是椭圆上的一个定点，作射线交椭圆于，．求直线所过定点坐标．‎ 解：如图4,显然直线有斜率，设直线的方程为，‎ 联立得：，‎ 当时，设，‎ 则 又，∴，‎ 即，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ 把代入上式化简得，‎ ‎ 解关于的方程得：，或．‎ 当时, 即,由此得解得, 即直线过定点,不符合题意． ‎ 当时, 即,‎ 由此得解得, 即直线过定点．‎ 综上, 直线过定点． ‎ 把 的坐标代入,左右两边相等,可以知道在上．‎ ‎4、结论:‎ 在椭圆上取定点，作射线交椭圆于，．则直线过的定点为．当在上运动时，得到相应的轨迹方程为．我们把与称为一对母子椭圆． ‎ 显然,这个性质的逆命题也是真命题．‎ 三、母子双曲线 ‎1、双曲线的情况比较复杂，对于等轴双曲线满足类似条件的直线 是一组平行线，不再过定点：‎ 例7、已知等轴双曲线，是等轴双曲线的一个顶点，作射线交椭圆于，．证明直线平行于轴．‎ 证明：如图5,可以计算，当直线没有斜率时，，当直线有斜率时，设直线的方程为，‎ 联立得：，‎ 当，时，设，‎ 则 又，∴，‎ 即，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ 把代入上式化简得，‎ ‎ 解关于的方程得：，或．‎ 当时, 直线的方程为,直线平行于轴．‎ 当时,直线的方程为，显然直线过定点，不合题意．‎ 综上, 平行于轴．‎ 换个异于顶点的点，可以证明相应也是一组平行线．‎ ‎2、非等轴双曲线 ‎ 例8：已知双曲线，是双曲线的一个顶点，作射线交椭圆于，．试探求直线是否过定点．‎ 解：如图6, 当直线没有斜率时，，当直线有斜率时，设直线的方程为，联立得：，‎ 当，时，设，‎ 则 又，∴，‎ 即，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ 把代入上式化简得，‎ ‎ 解关于的方程得：，或．‎ 当时, 直线的方程为,直线过定点,不合题意．当时,直线的方程为，显然直线过定点．‎ 综上, 直线过定点． ‎ ‎3、有兴趣的同学自己探求母子双曲线：‎ 在双曲线上取定点，作射线交椭圆于，．则直线过的定点为．当在双曲线上运动时，得到相应的轨迹方程为．我们把与称为一对母子双曲线．‎ 四、母子圆: ‎ 显然,在圆上取定点，作射线交椭圆于，．则直线过的圆心．当圆上运动时，得到相应仍然是圆心．‎ 也就是本文中所谓的子圆已经退化为一个点——圆心．‎ 当然,把改为,则很容易求得的轨迹方程为 我们显然可以把与称为在时的一对母子圆．‎ 但是,如果我们把研究抛物线、椭圆、双曲线问题中的改为等非直角，则其情形怎样呢，这个问题显然十分复杂，期待着有兴趣的读者去研究、去探索．‎ 规律总结:‎ 在圆锥曲线(不包括等轴双曲线和圆)上取定点，作射线交椭圆于，．则直线过定点．当在上运动时，得到相应的轨迹 仍然是相应种类的圆锥曲线,我们把与叫做一对母子圆锥曲线．‎ 对于母子抛物线, 子抛物线由母抛物线平移得到(平移长度恰好等于抛物线的通径),开口大小方向不变;‎ 对于椭圆, 母子椭圆中心相同,离心率相同; ‎ 对于双曲线,母子双曲线中心相同,离心率相同,当然渐进线也相同．‎ 本文所探究的问题涉及高考中经常考查的定值与定点问题,其变化的题目是高考的热点．‎