【数学】2020届一轮复习人教A版简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词学案 5页

简单的逻辑联结词、全称量词与存在性量词 ‎【考纲要求】‎ ‎1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.‎ ‎2. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.‎ ‎【知识网络】‎ 简易逻辑 ‎ 逻辑联结词词 简单命题与复合命题 全称量词、存在量词 ‎ 或、且、非 ‎【考点梳理】‎ 一、复合命题的真假 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真。‎ 二、全称命题与特称命题 ‎1、全称量词：类似“所有”这样的量词，并用符号“”表示。‎ ‎2、全称命题：含有全称量词的命题。其结构一般为：‎ ‎3、存在量词：类似“有一个”或“有些”或“至少有一个”这样的量词，并用符号“”表示。‎ ‎4、特称命题：含有存在量词的命题。其结构一般为：‎ 三、全称命题与特称命题的否定 ‎1、命题的否定和命题的否命题的区别 命题的否定 ，即，指对命题的结论的否定。‎ 命题的否命题，指的是对命题的条件和结论的同时否定。‎ ‎2、全称命题的否定 全称命题： 全称命题的否定（）：‎ 特称命题 特称命题的否定 所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。‎ 四、常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有个 至多有（）个 小于 不小于 至多有个 至少有（）个 对所有，‎ 成立 存在某，‎ 不成立 或 且 对任何，‎ 不成立 存在某，‎ 成立 且 或 ‎【典型例题】‎ 类型一：判定复合命题的真假 逻辑 例2】例1. 分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．‎ ‎(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；‎ ‎(2)若ab＝0，则a＝0或b＝0；‎ ‎(3)若实数x、y满足x2＋y2＝0，则x、y全为零． ‎ 解析： (1)逆命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．‎ 否命题：若q≥1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，假命题．‎ 逆否命题：若关于x的方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，真命题．‎ ‎(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，真命题．‎ 否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，真命题．‎ 逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题．‎ ‎(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．‎ 否命题：若实数x、y满足x2＋y2≠0，则x、y不全为零，真命题．‎ 逆否命题：若实数x、y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．‎ ‎2.（2017 山东高考）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的 ‎（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A 解析：直线a与直线b相交,则一定相交,若相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.‎ 点评： ‎ ‎1. 判断复合命题的真假的步骤：‎ ‎①确定复合命题的构成形式；‎ ‎②判断其中简单命题p和q的真假；‎ ‎③根据规定（或真假表）判断复合命题的真假.‎ ‎2. 条件“或”是“或”的关系，否定时要注意.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2017 四川高考）设p：实数x，y满足(x–1)2–(y–1)2≤2，q：实数x，y满足 则p是q的 ‎（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A； ‎ 解析：画出可行域（如图所示），可知命题q中不等式组表示的平面区域在命题p中不等式表示的圆盘内，故选A.‎ 类型二：全称命题与特称命题真假的判断 例3. 判断下列命题的真假，写出它们的否定并判断真假.‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ 解析：‎ ‎(1)由于都有，故，为真命题；‎ ‎：，为假命题 ‎(2) 因为不存在一个实数，使成立，为假命题；‎ ‎：，为真命题.‎ ‎(3)因为只有或满足方程，为假命题；‎ ‎：，为真命题.‎ ‎(4) 由于使成立的数有，且它们是有理数，为真命题；‎ ‎：，为假命题.‎ 点评：‎ ‎1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立；要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可；‎ ‎2.要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.‎ 举一反三：‎ 逻辑 思考题2】【变式1】分别写出下列各命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．‎ ‎(1)若a>b且c>d，则a＋c>b＋d ‎(2)若a<0，则方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根． ‎ ‎【答案】(1)逆命题：若a＋c>b＋d，则a>b且c>d(假命题)‎ 否命题：若a≤b或c≤d，则a＋c≤b＋d(假命题)‎ 逆否命题：若a＋c≤b＋d，则a≤b或c≤d(真命题)‎ ‎(2)逆命题：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根，则a<0‎ 否命题：若a≥0，则方程ax2＋2x＋1＝0无负实数根 逆否命题：若方程ax2＋2x＋1＝0无负实数根，则a≥0‎ 因为若a<0时，方程ax2＋2x＋1＝0为两根之积为<0，所以方程有一个负根，所以原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．‎ 逆命题为假命题．事实上，方程ax2＋2x＋1＝0，有两个负数根时>0此时a>0，所以逆命题不成立．‎ 因此否命题也是假命题.‎ 类型三：在证明题中的应用 例4.若均为实数，且，，．求证：中至少有一个大于0． ‎ 解析：假设都不大于0，即，则 而 ‎∵，．‎ ‎∴，这与相矛盾．‎ 因此中至少有一个大于0．‎ 点评： 1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）.从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身以否定形式出现，或以“至多…”、“至少…”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，或者结论的反面是比原命题更具体更容易研究的命题.‎ ‎2.反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题．‎ 举一反三：‎ ‎【变式】求证:关于的方程有一根为1的充分必要条件是.‎ 证明：‎ ‎(1）必要性，即 证“是方程的根”.‎ ‎∵是方程的根，将代入方程，得,即成立.‎ ‎(2）充分性，即证“是方程的根”.‎ 把代入方程的左边，得 ‎∵, ∴ ，∴是方程的根成立.‎ 综合(1)(2)知命题成立.‎