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- 2021-06-15 发布
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绝密★启用前
2020年高考数学精优预测卷 山东卷(二)
注意事项:1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1.设集合则( )
A. B. C. D.
2.已知复数z满足,为复数z的共扼复数,则( )
A. B. C. D.
3.已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.平面向量与的夹角为,则 等于( )
A. B. C. D.
5.过圆锥的轴作截面,如果截面三角形为正三角形,则称该圆锥为等边圆锥.已知一等边圆锥中,过顶点P的截面与底面交于,若 (O为底面圆心),且,则这个等边圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
6.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.是偶函数 B.在上是增函数
C.是周期函数 D.的值域为
7.已知O为坐标原点,,抛物线的焦点为F,射线与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,若,则的面积为( )
A. B. C.4 D.
8.如图,在三棱锥中,平面,,侧棱与平面所成的角为45°,M为的中点,N是侧棱上一动点,当的面积最小时,异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、填空题
9.若函数,则________.
10.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是___________.
11.定义:对于实数m和两定点,在某图形上恰有个不同的点,使得,称该图形满足“n度契合”.若在边长为4的正方形中,,,且该正方形满足“4度契合”,则实数m的取值范围是 。
12.设数列的前项和为。若,,,则__________,__________.
三、多项选择题
13.2010~2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及计算机及智能手机的发展,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业增长呈现加速状态.根据该折线图,下列结论正确的是( )
A.每年市场规模量逐年增加
B.2013~2014年市场规模增长最快
C.这8年的增长率约为40%
D.2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模,数据方差更小,变化比较平稳
14.关于多项式的展开式,下列结论正确的是( )
A.各项系数之和为1 B.各项系数的绝对值之和为
C.存在常数项 D.的系数为40
15.在中,角所对的边分别为,若,,,则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.的面积为
16.已知是定义域为R的函数,满足,,当时,,则下列说法正确的是( )
A.的最小正周期为4
B.的图象关于直线对称
C.当时,函数的最大值为2
D.当时,函数的最小值为
四、解答题
17.已知
(1)求函数的最小正周期和最大值,并求出x为何值时, 取得最大值;
(2)求函数在上的单调增区间.
18.已知等差数列的前n项和为,若
(1) 求数列的通项公式和
(2)记,数列的前n项和为,求证
19.某村为了脱贫致富,引进了两种麻鸭品种,一种是旱养培育的品种,另一种是水养培育的品种为了了解养殖两种麻鸭的经济效果情况,从中随机抽取500只麻鸭统计了它们一个季度的产蛋量(单位:个),制成了如图的频率分布直方图,且已知麻鸭的产蛋量在的频率为0.66.
(1)求的值
(2)已知本次产蛋量近似服从 (其中近似为样本平均数,近似为样本方差.若本村约有10000只麻鸭,试估计产蛋量在110~120的麻鸭数量(以各组区间的中点值代表该组的取值)
(3)若以正常产蛋90个为标准,大于90个认为是良种,小于90个认为是次种.根据统计得出两种培育方法的2×2列联表如下,请完成表格中的统计数据,并由表推出产蛋量与培育方法有关的可能性大小.
良种
次种
总计
旱养培育
160
260
水养培育
60
总计
340
500
附,则,,.
,其中.
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20.如图,三棱柱的底面是边长为2的等边三角形,底面,点分别是棱上的点,且
(Ⅰ)证明:平面平面;
(II)若,求直线与平面所成角的正弦值.
21.设椭圆的左右焦点分别为,椭圆的上顶点为点B,点A为椭圆C上一点,且.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若,过点的直线交椭圆于两点,求线段的中点P的轨迹方程.
22.设函数,其中.
(1)讨论函数的单调性;
(2)当时,试证明:函数有且仅有两个零点,且.
参考答案
1.答案:C
解析:或,则
2.答案:A
解析:由题意可得,则,.故选A.
3.答案:A
解析:由题意知:双曲线的焦点在x轴上,所以,解得,因为方程表示双曲线,所以,解得,所以n的取值范围是,故选A.
4.答案:B
解析:,故选B
5.答案:B
解析:如图,连接,设圆锥的母线长为,则圆锥的底面圆的半径为a,圆锥的高.
由已知得,,则,从而,圆锥的表面积为.故选B.
6.答案:D
解析:由解析式可知当时,为周期函数,当时,,为二次函数的一部分,故不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性,故可排除A、B、C,对于D,当时,函数的值域为,当时,函数的值域为值域为,故函数的值域为,故正确。
故选:D。
7.答案:A
解析:抛物线的焦点为,设点N的坐标为,点M在准线上的射影为点K,由抛物线的定义,知,由,可得,则.又,所以,即,所以,故的面积为,故选A.
8.答案:D
解析:由题意知为等腰直角三角形,因为M为的中点,所以.又平面,所以,所以平面,所以,故的面积.易知,所以,所以,当最小时,的面积最小,此时.当时,过S作,交的延长线于点E,则,连接,则为异面直线与所成的角或其补角.因为平面,所以为直线与平面所成的角,所以,所以,所以.又,所以,所以,在中,易知,所以,故当的面积最小时,异面直线与所成角的余弦值为,故选D.
9.答案:-2
解析:根据题意,知.
10.答案:
解析:从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛,有2种方法;红色和紫色的花不在同一花坛,有4种方法,
所以所求的概率为.
另解:由列举法可得,红、黄、白、紫记为1,2,3,4,
即有 ,
则
11.答案:
解析:如图,以点A为原点,所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,由题意可得.设,,可得,即点的运动轨迹是以为圆心,为半径的圆,且该圆与正方形有4个交点.如图,当,即时(图中从内往外第一个圆),该圆与正方形有4个交点;当动圆在图中第二个圆与第三个圆之间(从内往外)时,该圆与正方形有4个交点,此时..实数m的取值范围是.
12.答案:1; 121
解析:,,再由,,又,所以.
13.答案:BCD
解析:2011~2012年的市场规模量有所下降,A错误;2013~2014年市场规模增长最快,B正确;这8年的增长率约为,C正确;2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模,数据方差更小,变化比较平稳,D正确.故选BCD.
14.答案:BCD
解析:由题意可得,各项系数之和为,各项系数的绝对值之和为.,易知该多项式的展开式中一定存在常数项.由题中的多项式可知,若出现,可能的组合只有和,结合排列组合的性质可得的系数为.
15.答案:BC
解析:由,得.由,得,.若,则,与矛盾,故,A错误,则,由,,得,,所以,所以,故,B正确.由正弦定理,得,C正确,所以的面积为,D错误.
16.答案:ABC
解析:由得,故函数的周期为4,A正确,由可得,所以函数的图象关于对称,B正确;作出函数在上的大致图象,如图所示,有图可知,当时,函数的最大值为
,C正确;当时,函数的最小值为,D错误.
17.答案:(1),
当,即时, 的最大值为1.
(2)令
得
设
所以,
即函数在上的单调增区间为
解析:
18.答案: (1)设等差数列的公差为d,则,即,解得,所以,
(2)当时,当时,
所以
综上可知.
解析:
19.答案:(1)由产蛋量在的频率为0.66,可得产蛋量在的麻鸭数量为(只)
由题目可知产蛋量在的麻鸭数量为(只),
产蛋量在的麻鸭数量为(只),
产蛋量在的麻鸭数量为(只).
则,.
(2).
.
因为,
所以10000只麻鸭中产蛋量在110~120的麻鸭数量为(只)
(3)填表如下:
良种
次种
总计
旱养培育
100
160
260
水养培育
60
180
240
总计
160
340
500
所以,
所以有99.5%的把握认为产蛋量与培育方法有关.
解析:
20.答案:(Ⅰ)证明:取中点,连接,则,
因为底面,所以侧面底面,所以平面.
取中点,连接,则,且,
又因为,所以且,
所以且,所以四边形是平行四边形,
所以,所以平面.又平面,
所以平面平面.
(Ⅱ)以为原点,分别为轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,因为,依题意得,所以,
设平面的一个法向量为,
由得 令,得,
设直线与平面所成的角为,则,
故直线与平面所成角的正弦值为
解析:
21.答案:(1)设.由得
,即,
又∵在椭圆上,
∴,得,即椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知,.又∵,,解得,,
∴椭圆C的方程为.
当线段MN在x轴上时,交点为坐标原点.
当线段MN不在x轴上时,设直线MN的方程为,,,
代入椭圆方程中,得.
∵点在椭圆内部,∴, ,
则,
∴点的坐标满足,,
消去n得,.
综上所述,点P的轨迹方程为.
解析:
22.答案:(1)函数定义域为R,,
时,恒成立,故的解集为
所以在上单调递减,在上单调递增.
时,有两个实根:.
当时,,令,解得.
故在上单调递减,在上单调递增;
当时,,令,解得.
故在上单调递减,在上单调递增;
当时,恒成立,为R上的增函数.
(2)由(1)知,当时,在上单调递减,在上单调递增.
故.
又.由零点存在性定理知,函数仅有两个零点.
令,有..
时,,函数单调递增,所以.
即,又,所以.
,函数在上单调递减,所以.
所以.