2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 15页

‎2017-2018学年山东省烟台市高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若命题：，，则为（ ）‎ A. 不存在， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为 的否定为 ‎ 所以为，,选C ‎2. 设命题：若，则；命题：，，则下列命题中假命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】若，则 ,所以命题为假 ‎，,所以命题为真 所以为假,选D ‎3. 有下列四个命题：‎ ‎①若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则平行于平面；‎ ‎②“全等三角形的面积相等”的逆命题；‎ ‎③“若，则”的否命题；‎ ‎④已知为实数，“若中至少有一个不为0，则”的逆否命题.‎ 所有真命题序号为（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④‎ ‎【答案】D ‎【解析】若平面外一条直线与平面内一条直线平行，则平行于平面；(线面平行判定定理)‎ ‎“全等三角形的面积相等”的逆命题为:面积相等的三角形全等,为假 ‎“若，则”的否命题为: “若，则”,为假 已知为实数，“若中至少有一个不为0，则”的逆否命题为“若，则中全为0”,为真 选D ‎4. 已知空间四边形中，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以 ,选B ‎5. 在空间直角坐标系中，，，向量，若，则（ ）‎ A. 4 B. 2 C. -4 D. -2‎ ‎【答案】C ‎【解析】= ,所以 ,选C ‎6. 已知为抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，点的坐标为，则的最小值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】 , ,选B ‎7. 已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的标准方程 ,选B ‎ ‎ ‎2.已知渐近线 设双曲线标准方程 ‎3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.‎ ‎8. 设椭圆和双曲线的公共焦点为，为这两条曲线的一个交点，则的值为（ ）‎ A. 3 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ ‎ ,选A ‎9. 已知点在曲线上移动，则点与点的中点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设AP中点为 ‎ 选C 点睛：涉及中点弦问题往往利用点差法.即得到中点坐标与弦斜率之间一个关系式，通过这个关系式可得根据中点坐标求弦所在直线斜率，也可利用这个关系式得弦中点轨迹或解有关范围问题.‎ ‎10. 二面角的大小为，是棱上的两点，分别在半平面内，，，，，，则的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 选B ‎11. 已知，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】令 ‎ 选A 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，直线分别与抛物线交于点，设直线与的斜率分别为，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】设 ‎ 所以 ‎ 同理,因为 ‎ ,选C 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎ ‎14. 若命题：“”为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ‎ ‎15. 已知椭圆的右焦点在圆外，过作圆的切线交轴于点，切点为，若，则椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，且，故三角形为等腰直角三角形，故直线的斜率为，即直线的方程为，，根据圆心到直线的距离等于，有，代入得，故离心率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和圆的位置关系，考查向量加法的几何意义.本题突破口在于，根据向量加法的几何意义可以知道是的中点，再结合直线和圆相切，可以判断出三角形为等腰直角三角形，这样直线方程就可以求出来了，再利用点到直线距离公式建立方程，来求离心率.‎ ‎16. 长方体中，，，，分别是的中点，是上的点，，若平面与平面的交线为，则与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设AD中点为M,则=EM.所以 ‎ 因此与所成角的余弦值为 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 平面直角坐标系中，动点在轴右侧，且到 的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相较于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】(1)(2)8‎ ‎【解析】试题分析：（1）设点，根据两点间距离公式列等量关系，平方化简得轨迹的方程（2）根据抛物线定义得线段的长为，再将直线点斜式方程代入抛物线方程，根据韦达定理得，即得线段的长.‎ 试题解析：（1）设动点，点到轴的距离为，‎ 由题意. ‎ 将点的坐标代入上式，得，‎ 整理得. ‎ ‎ (2) 直线的方程为 ， ‎ 联立，得，‎ 设 ，则，， ‎ 所以 ‎ ‎. ‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎18. 设：实数满足，其中；：实数使得方程表示双曲线.‎ ‎（1）当时，若“”为真命题，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解一元二次不等式得，再根据双曲线方程特点得，最后求并集得结果（2）根据a讨论，再根据是真子集得实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，‎ 由，解得, ‎ 由 ，解得. ‎ 因为“”为真， .‎ ‎∴实数的值取值范围是. ‎ ‎（2）是的充分不必要条件等价于若是的充分不必要条件， ‎ 由（1）知，条件对应的集合为：.‎ 记满足条件的实数的集合为 ‎ 由题意. ‎ 当时，，满足；‎ 当时，，满足；‎ 当时，，要使，只需或，‎ 所以或. ‎ 综上实数的取值范围为：或. ‎ ‎19. 如图，正方形所在平面与三角形所在平面互相垂直，且，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求直线与平面所成的角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】试题分析：（1）在上取一点，使,根据平几知识可得为平行四边形，即得，再根据线面平行判定定理得结论（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面法向量，根据向量数量积求直线方向向量与法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线与平面所成的角的正弦值.‎ 试题解析：（1）在上取一点，使,连接.‎ 由已知,在中，，‎ 所以且. ‎ 又在正方形中，，‎ 所以且.‎ 所以且.‎ 所以，四边形为平行四边形.‎ 所以. ‎ 又平面，平面 平面. ‎ ‎（2）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴，以过垂直于的直线为轴，建 立如图所示的空间直角坐标系. ‎ 设，则,,，,,,‎ 所以,,. ‎ 设平面的一个法向量，则，即，‎ 不妨令，得， ‎ 设直线与平面所成的角为，则 ‎. ‎ 所以直线与平面所成的角正弦值为. ‎ ‎20. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，，，四边形为矩形.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)点为线段的中点 ‎【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理得，再由矩形性质得，由线面垂直判定定理得，最后根据面面垂直判定定理得结论 （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各平面法向量，根据向量数量积两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求点坐标，即得点的位置 试题解析：（1）证明：由平面几何的知识，易得，，‎ 又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且. ‎ 因为四边形为矩形，‎ 所以. ‎ 由，，，‎ 可得 . ‎ 又，‎ 所以平面 平面. ‎ ‎（2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.‎ 事实上，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ‎ 则,， ‎ 设,由，‎ 即，得. ‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，即，‎ 不妨设，取. ‎ 平面的一个法向量为. ‎ 二面角为大小为 于是. ‎ 解得 或（舍去）. ‎ 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. ‎ ‎21. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为，坐标原点到直线的距离为，该椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右顶点为，若平行于的直线与椭圆相交于顶点的两点，探究直线，的倾斜角之和是否为定值？若是，求出定值；若否，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 倾斜角之和为定值 ‎【解析】试题分析：（1）根据点到直线距离公式得,结合离心率得（2）设，则用坐标表示，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简得，即得倾斜角之和为定值 试题解析：（1）由题意知：， ‎ ‎ . ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设直线：，代入，得，‎ 由，得.‎ 设，则，. ‎ 设直线的倾斜角分别为，‎ 则 将，代入，得.‎ ‎， ‎ ‎， .‎ 即直线的倾斜角之和为定值. ‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎22. 设椭圆的右焦点为，右顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 不存在满足条件的点 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆几何意义得 解得（2）由知为平行四边形,即的中点也是的中点. 设直线的方程为,联立直线方程与椭圆方程，利用中点坐标公式以及韦达定理得坐标（用t表示），最后根据判别式大于零得t范围，得坐标范围，根据范围不在椭圆范围内，否定存在性 试题解析：（1）由题意知：， aos 又因为，，解得 故椭圆的方程为． ‎ ‎（2）椭圆上不存在这样的点.事实上，设直线的方程为,‎ 联立，得,‎ ‎，得. ‎ 设，则，. ‎ 由知为平行四边形,而为的中点,也是的中点. ‎ 于是设,,则,‎ 即 ，可得. ‎ 因为,所以. ‎ 若在椭圆上，则，矛盾.‎ 因此,不存在满足条件的点． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎