上海市嘉定区2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题 17页

‎2018学年第二学期期末考试高二年级 数学试卷 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，1-6题每题4分，7-12题每题5分 ‎1.椭圆的焦点坐标是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从椭圆方程中得出、的值，可得出的值，可得出椭圆的焦点坐标.‎ ‎【详解】由题意可得，，，‎ 因此，椭圆的焦点坐标是，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆焦点坐标的求解，解题时要从椭圆的标准方程中得出、、的值，同时也要确定焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.若复数满足，则的实部是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得出，再利用复数的除法法则得出的一般形式，可得出复数的实部.‎ ‎【详解】，，因此，复数的实部为，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数的概念，同时也考查了复数的除法，解题时要利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.球表面积是其大圆面积的________倍．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.‎ ‎【详解】设球的半径为，则球的表面积为，球的大圆面积为，‎ 因此，球的表面积是其大圆面积的倍，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎4.棱长为的正四面体的高为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理计算出正四面体底面三角形的外接圆半径，再利用公式可得出正四面体的高.‎ ‎【详解】设正四面体底面三角形的外接圆的半径为，由正弦定理得，，‎ 因此，正四面体的高为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正四面体高计算，解题时要充分分析几何体的结构，结合勾股定理进行计算，考查空间想象能力，属于中等题.‎ ‎5.展开二项式，其常数项为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项可得出二项式展开式的常数项.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项为，令，得.‎ 所以，二项式展开式的常数项为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，解题时要充分利用二项式展开式通项，利用的指数来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.从、、、、中取个不同的数组成一个三位数，且这个数大于，共有_____不同的可能．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得知，三位数首位为、、中的某个数，十位和个位数没有限制，然后利用分步计数原理可得出结果.‎ ‎【详解】由于三位数比大，则三位数首位为、、中的某个数，十位数和个位数没有限制，‎ 因此，符合条件的三位数的个数为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分步计数原理的应用，本题考查数字的排列问题，解题时要弄清楚首位和零的排列，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎7.圆锥的母线长是，高是，则其侧面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出圆锥底面圆的半径，然后利用圆锥的侧面积公式可计算出圆锥的侧面积.‎ ‎【详解】由题意知，圆锥的底面半径为，‎ 因此，圆锥的侧面积为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆锥的侧面积，解题的关键就是要求出圆锥的母线长和底面圆的半径，利用圆锥的侧面积公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.双曲线的虚轴长为，其渐近线夹角为__________.‎ ‎【答案】60°．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的值，得出渐近线的斜率，得出两渐近线的倾斜角，从而可得出两渐近线的夹角.‎ ‎【详解】由题意知，双曲线的虚轴长为，得，‎ 所以，双曲线的渐近线方程为，两条渐近线的倾斜角分别为、，‎ 因此，两渐近线的夹角为，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线渐近线的夹角，解题的关键就是求出渐近线方程，根据渐近线的倾斜角来求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9.在空间直角坐标系中，某个大小为锐角的二面角的两个半平面的法向量分别为和，则该二面角的大小为________（结果用反三角函数表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设锐二面角的大小为，利用空间向量法求出的值，从而可求出的值.‎ ‎【详解】设锐二面角的大小为，则，‎ ‎，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间向量法计算二面角，同时也考查了反三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎10.现有颜色为红、黄、蓝的小球各三个，相同颜色的小球依次编号、、，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有___________种．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，列出所有符合条件的选法组合，可得出结果.‎ ‎【详解】设红色的三个球分别为、、，黄色的三个球分别为、、，蓝色的三个球分别为、、，现从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有：、、、、、，‎ 因此，从中任取个小球，颜色编号均不相同的情况有种，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查分类计数原理的应用，在求解排列组合问题时，若符合条件的基本事件数较少时，可采用列举法求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.‎ ‎11.已知点，，，，复数、在复平面内分别对应点、，若，则的最大值是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，点在曲线内，点在圆上，利用三角不等式得出，可求出的最大值.‎ ‎【详解】由题意知，点在曲线内，点在圆上，如下图所示：‎ 由三角不等式得，‎ 当点为正方形的顶点，且点、方向相反时，取最大值，故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查复数模的最值，解题时充分利用三角不等式与数形结合思想进行求解，能简化计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.‎ ‎12.已知点在二面角的棱上，点在半平面 内，且，若对于半平面内异于的任意一点，都有，则二面角大小的取值的集合为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，利用斜线与平面内直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，判断二面角的大小即可.‎ ‎【详解】如下图所示，过点在平面内作，垂直为点，‎ 点在二面角的棱上，点在平面内，且，‎ 若对于平面内异于点的任意一点，都有.‎ 因为斜线与平面内直线所成角中，斜线与它的射影所成的角是最小的，‎ 即是直线与平面所成的角，平面，‎ 平面，所以，平面平面，所以，二面角的大小是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查二面角平面角的求解，以及直线与平面所成角的定义，考查转化与化归思想和空间想象能力，属于中等题.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题选对得5分 ‎13.“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”是以我国哪位数学家命名的数学原理（　　）‎ A. 杨辉 B. 刘微 C. 祖暅 D. 李淳风 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得求不规则几何体的体积的求法，即运用祖暅原理.‎ ‎【详解】“夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异”的意思是“夹在两平行平面之间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果两个截面面积仍然相等，那么这两个几何体的体积相等”，这就是以我国数学家祖暅命名的数学原理，故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查祖暅原理的理解，考查空间几何体体积的求法，考查对概念的理解，属于基础题.‎ ‎14.已知n，，，下面哪一个等式是恒成立的（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.‎ ‎【详解】由组合数的定义可知，A选项错误；‎ 由排列数的定义可知，B选项正确；‎ 由组合数的性质可知，则C、D选项均错误.故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.‎ ‎15.在复数范围内，多项式可以因式分解为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代数式化为，然后利用平方差公式可得出结果.‎ ‎【详解】，故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数范围内的因式分解，考查平方差公式的应用，属于基础题.‎ ‎16.已知抛物线（是正常数）上有两点、，焦点，‎ 甲：；‎ 乙：；‎ 丙：；‎ 丁：.‎ 以上是“直线经过焦点”的充要条件有几个（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理验证四个选项结论成立时，实数的值，可以得出“直线经过焦点”的充要条件的个数.‎ ‎【详解】设直线的方程为，则直线交轴于点，且抛物线的焦点的坐标为.‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，，‎ 由韦达定理得，.‎ 对于甲条件，，得，‎ 甲条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件；‎ 对于乙条件，，得，此时，直线过抛物线的焦点，‎ 乙条件是“直线经过焦点”的充要条件；‎ 对于丙条件，，即，‎ 解得或，所以，丙条件是“直线经过焦点”必要不充分条件；‎ 对于丁条件，‎ ‎，‎ 化简得，得，所以，丁条件是“直线经过焦点”的必要不充分条件.‎ 综上所述，正确的结论只有个，故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的综合问题，同时也考查了充分必要条件的判定，解题时要假设直线的方程，并将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）‎ ‎17.已知复数满足（为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由求出复数，再由求出复数，计算出其复数，可得出以复数为根的实系数方程为，化简后可得出结果.‎ ‎【详解】由，得，‎ ‎，.‎ ‎，，‎ 因此，以复数为一个根实系数方程为，即，‎ 即.‎ ‎【点睛】本题考查复数形式的乘法与除法运算，考查实系数方程与虚根之间的关系，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎18.在平面直角坐标系中，椭圆，右焦点为．‎ ‎（1）若其长半轴长为，焦距为，求其标准方程．‎ ‎（2）证明该椭圆上一动点到点的距离的最大值是．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题设条件可得出、的值，进而可求出的值，由此得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，将该点代入椭圆的方程得出，并代入的表达式，转化为关于的函数，利用函数的性质求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）由题意，，，则，．‎ 椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设，，‎ ‎，当时，．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解及椭圆方程的应用，在处理与椭圆上一点有关的最值问题时，充分利用点在椭圆上这一条件，将问题转化为二次函数来求解，考查函数思想的应用，属于中等题.‎ ‎19.推广组合数公式，定义，其中，，且规定．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设，当为何值时，函数取得最小值？‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，取得最小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题中组合数的定义计算出的值；‎ ‎（2）根据题中组合数的定义求出函数，然后利用基本不等式求出函数的最小值，并计算出等号成立对应的的值.‎ ‎【详解】（1）由题中组合数的定义得；‎ ‎（2）由题中组合数的定义得．‎ 因为，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，‎ 所以当时，取得最小值．‎ ‎【点睛】本题考查组合数的新定义，以及利用基本不等式求函数最值，解题的关键就是利用题中组合数的新定义进行化简、计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎20.被嘉定著名学者钱大昕赞誉为“国朝算学第一”的清朝数学家梅文鼎曾创造出一类“方灯体”，“灯者立方去其八角也”，如图所示，在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点.‎ ‎（1）求该方灯体的体积；‎ ‎（2）求直线和的所成角；‎ ‎（3）求直线和平面的所成角．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出八个角（即八个三棱锥）的体积之和，然后利用正方体的体积减去这八个角的体积之和即可得出方灯体的体积；‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出直线和的所成角；‎ ‎（3）求出平面的法向量，利用空间向量法求出直线和平面的所成角的正弦值，由此可得出和平面的所成角的大小.‎ ‎【详解】（1）在棱长为的正方体中，点为棱上的四等分点，‎ 该方灯体的体积：；‎ ‎（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎、、、，，，‎ 设直线和的所成角为，则，‎ 直线和的所成角为；‎ ‎（3），，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，得，取，得，‎ 设直线和平面的所成角为，则，‎ 直线和平面的所成角为．‎ ‎【点睛】本题考查多面体的体积、异面直线所成角、直线与平面所成角的计算，解题的关键就是建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．‎ ‎（1）若的倾斜角为，，是等腰直角三角形，求双曲线的标准方程；‎ ‎（2），，若斜率存在，且，求的斜率；‎ ‎（3）证明：点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入双曲线的方程，得出，由是等腰直角三角形，可得出，再将代入可得出的值，由此可得出双曲线的标准方程；‎ ‎（2）先求出双曲线的标准方程，并设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，并求出线段的中点的坐标，由得出，转化为，利用这两条直线斜率之积为，求出实数的值，可得出直线的斜率；‎ ‎（3）设点，双曲线的两条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式、双曲线的方程以及必要不充分条件的定义，即可得证.‎ ‎【详解】（1）直线的倾斜角为，，可得直线，代入双曲线方程可得，‎ 是等腰直角三角形可得，即有，‎ 解得，，则双曲线的方程为；‎ ‎（2）由，，可得，‎ 直线的斜率存在，设为，设直线方程为，‎ ‎，可得，‎ 由，联立双曲线方程，‎ 可得，‎ 可得，线段的中点为，‎ 由，可得，‎ 解得，满足，故直线的斜率为；‎ ‎（3）证明：设，双曲线的两条渐近线为，‎ 可得到渐近线的距离的乘积为，‎ 即为，可得，‎ 可得在双曲线或上，‎ 即有点到已知双曲线的两条渐近线的距离的乘积为定值是该点在已知双曲线上的必要非充分条件．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，同时也考查为韦达定理和中点坐标公式、两直线垂直的条件、点到直线的距离公式以及必要不充分条件的判断，解题时要结合相应条件进行转化，考查化归与转化、以及方程思想的应用，属于难题.‎ ‎ ‎ ‎ ‎