【数学】2019届一轮复习人教A版命题及其关系、充分条件与必要条件学案（文） 13页

考点02 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎（1）理解命题的概念.‎ ‎（2）了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.‎ ‎（3）理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ 一、命题及其关系 ‎1．命题的概念 在数 中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎(1)四种命题 命题 表述形式 原命题 若p，则q 逆命题 若q，则p 否命题 若，则 逆否命题 若，则 ‎(2)四种命题间的关系 ‎(3)常见的否定词语 正面词语 ‎=‎ ‎>(<)‎ 是 都是 任意(所有)的 任两个 至多有1(n)个 至少有1个 否定词 ‎()‎ 不是 不都是 某个 某两个 至少有2(n+1)个 ‎1个也没有 ‎3．四种命题的真假关系 ‎(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．‎ ‎【提醒】当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动．‎ 二、充分条件与必要条件 ‎1．充分条件与必要条件的概念 ‎(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；‎ ‎(2)若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(3)若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(4) 若p⇔q，则p是q的充要条件； ‎ ‎(5) 若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎2．必记结论 ‎(1)等价转化法判断充分条件、必要条件 ‎①p是q的充分不必要条件是的充分不必要条件；‎ ‎②p是q的必要不充分条件是的必要不充分条件；‎ ‎③p是q的充要条件是的充要条件；‎ ‎④p是q的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.‎ ‎(2)集合判断法判断充分条件、必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：A={x|p(x) }，q：B={x|q(x) }，则 ‎①若，则p是q的充分条件；‎ ‎②若，则p是q的必要条件；‎ ‎③若，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎④若，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎⑤若，则p是q的充要条件；‎ ‎⑥若且，则p是q的既不充分也不必要条件.‎ 考向一 四种命题的关系及其真假的判断 四种命题的关系及其真假的判断是高考中的一个热点，多以选择题的形式出现，难度一般不大，往往会结合其他知识点(如函数、不等式、三角、向量、立体几何等)进行综合考查.常见的解法如下：‎ ‎1．判断四种命题间关系的方法 ‎①由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同时否定即得否命题，将条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．‎ ‎②原命题和逆否命题、逆命题和否命题有相同的真假性，解题时注意灵活应用.‎ ‎2．命题真假的判断方法 ‎①给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，则只需举一反例即可．‎ ‎②由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假.‎ 典例1 命题若，则；是的逆命题，则 A．真，真 B．真，假 C．假，真 D．假，假 ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，所以，得，所以命题为假命题，‎ 又因为是的逆命题，所以命题：若，则，为真命题，故选C．‎ ‎1．已知命题“若为任意的正数，则”，则能够说明是假命题的一组正数的值依次为__________．‎ 典例2 命题“若，则”的逆否命题是 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【方法点睛】将原命题的条件与结论互换的同时进行否定即得逆否命题．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．‎ ‎2．下列说法正确的是 A．“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．“若，则”的逆命题为真命题 C．，使成立 D．“若，则”是真命题 考向二 充分、必要条件的判断 充分条件与必要条件的判断是高考命题的热点，多以选择题形式出现，作为载体，考查知识面广，常与函数、不等式、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何等知识综合考查.常见的解法如下：‎ ‎1．命题判断法 设“若p，则q”为原命题，那么：‎ ‎(1)原命题为真，逆命题为假时，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎(2)原命题为假，逆命题为真时，则p是q的必要不充分条件；‎ ‎(3)当原命题与逆命题都为真时，则p是q的充要条件；‎ ‎(4)当原命题与逆命题都为假时，则p是q的既不充分也不必要条件．‎ ‎2．集合判断法（同必记结论）‎ ‎3．等价转化法（同必记结论）‎ 典例3 设是两条不同的直线，是平面，则是成立的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴当a∥b时，一定有a∥，即充分性成立.反之，当a∥时，a，b可能平行，可能异面，即必要性不成立，故是成立的充分不必要条件，故选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查充要条件的判断，从定义来看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件；从集合的角度看，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，若，则是的充要条件，若是的真子集，则是的充分而不必要条件，若是的真子集，则是的必要而不充分条件．‎ ‎3．“”是“”的 A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 典例4 若条件，且是的充分不必要条件，则可以是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】若是的充分不必要条件，则区间是q的真子集，本题选B.‎ ‎【名师点睛】有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．‎ ‎4．若，则“”的一个充分不必要条件是 A． B．‎ C．且 D．或 考向三 充分、必要条件的应用 ‎ 充分、必要条件的应用主要涉及根据充要条件求解参数的取值范围，具体解法如下：‎ ‎1．解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.‎ ‎2．求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ 典例5 设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎5．已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎1．命题：“若，则且”的逆否命题是 A．若且，则 B．若且，则 C．若或，则 D．若或，则 ‎2．若，都是正整数，则成立的充要条件是 A． B．，至少有一个为1‎ C． D．且 ‎3．设，则使成立的必要不充分条件是 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．下列关于命题的说法正确的是 A．命题“若，则”的否命题是“若，则”‎ B．命题“若，则互为相反数”的逆命题是真命题 C．命题“”的否定是“”‎ D．命题“若，则”的逆否命题是真命题 ‎5．已知命题: “关于的方程有实根”,若非为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．若原命题为：“若为共轭复数，则”，则该命题的逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次为 A．真真真 B．真真假 C．假假真 D．假假假 ‎7．设都是非零向量，下列四个条件，使成立的充要条件是 A． B． ‎ C．且 D．且方向相同 ‎8．已知函数，且给定条件“”，条件 “”，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．命题:若，则，其否命题是___________.‎ ‎10．命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题、的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎1．（2018浙江）已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．（2018天津文 ）设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（2018北京文 ）设a,b,c,d是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（2017北京文 ）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．（2016四川文 ）设p:实数x，y满足且，q: 实数x，y满足，则p是q的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．（2018北京文 ）能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.‎ 变式拓展 ‎1．【答案】 （只要填出，的一组正数即可）‎ ‎【解析】由可得，能够说明是假命题的一组正数的值，只需不满足不等式的一组正数的值即可，故答案不唯一，可取1,2,3.‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】 . .‎ 则“”是“”的充分不必要条件．故选C．‎ ‎4．【答案】C ‎【解析】∵，∴，当且仅当时取等号.‎ 故“且”是“”的充分不必要条件.选C.‎ ‎5．【答案】B ‎【解析】由条件,解得或;因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，有，故选B. ‎ 考点冲关 ‎1．【答案】C ‎【解析】根据逆否命题的写法可得命题：“若，则且”的逆否命题是“若或，则”.故选C.‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】逐一分析所给命题的真假：‎ 对于A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，题中说法错误；‎ 对于B，命题“若 ，则互为相反数”是真命题，则其逆命题是真命题，题中说法正确；‎ 对于C，命题“”的否定是“”，题中说法错误；‎ 对于D，命题“若，则 ”是假命题，则其逆否命题是假命题，题中说法错误.‎ 故选B.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由命题：“关于的方程有实根”，得，则，所以非为真命题时，.又是的充分不必要条件，所以，即，则m的取值范围为.所以选A.‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】设，则，则，所以原命题为真命题，故其逆否命题为真命题.原命题的否命题为“若不互为共轭复数，则”，因为和不互为共轭复数，但，所以否命题为假命题，故原命题的逆命题为假命题.故选C.‎ ‎7．【答案】D ‎【解析】表示与方向相同的单位向量，因此成立的充要条件是与同向即可，故选 D．‎ ‎8．【答案】A ‎【解析】，‎ 当时， ，则，所以，又当时，，若是的充分不必要条件，则，所以，故选A.‎ ‎9．【答案】若，则 ‎【解析】根据否命题的定义，原命题为：若，则，则否命题为：若，则.‎ ‎10．【答案】 ‎ ‎【解析】命题的逆命题：若，则，该命题是真命题，则．命题的逆否命题为真命题，故原命题为真命题，则，.故实数的取值范围是.‎ 直通高考 ‎1．【答案】A ‎【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：‎ ‎（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎（2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.故选A.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查 生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】由题意，且，则，而当时不能得出，且.故是的充分不必要条件，选A.‎ ‎【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数 知识结合起来考．有许多情况下可利用充分性、必要性和集合的包含关系得出结论．‎ ‎【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.‎