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  • 2021-06-15 发布

数学理卷·2019届北京市第四中学高二上学期期中考试(2017-11)

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数学理试卷 ‎(试卷满分为150分,考试时间为120分钟)‎ 试卷分为两卷,卷(I)100分,卷(II)50分 ‎(卷(I)和卷(II)的所有题目都在答题纸上作答)‎ 卷(I)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 下面四个条件中,能确定一个平面的条件是 ( ).‎ ‎ A. 空间任意三点 B.空间两条直线 ‎ ‎ C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 ‎ ‎2.,,是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 ( ).‎ A., B.,‎ C.,,共面 D.,,共点,,共面 ‎3. 已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,‎ ‎ 下列命题中正确的是: ( ).‎ A.若,则∥ B.若,则∥‎ C.若∥,∥,则∥ D.若∥,∥,则∥‎ ‎4. 在四面体的四个面中,是直角三角形的面至多有 ( ).‎ ‎ A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 ‎5. 下列命题中错误的是 ( ).‎ ‎ A.如果平面,那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C.如果平面,平面,,那么 ‎ D.如果平面,那么平面内所有直线都垂直于平面 A1‎ B1‎ C1‎ A ‎ B ‎ E ‎ C ‎ ‎6. 如图,三棱柱中,侧棱垂直底面,‎ ‎ 底面三角形是正三角形,是中点,则下列叙述正 ‎ ‎ 确的是 ( ).‎ A. 与是异面直线 ‎ B. 平面 C. ,为异面直线,且 ‎ D. 平面 ‎7. 把正方形沿对角线折成直二面角后,下列命题正确的是 ( ).‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8. 如图所示点为三棱柱侧棱上一动点,‎ ‎ 若四棱锥的体积为,则三棱柱的 ‎ 体积为 ( ).‎ ‎ A . B. C. D. ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分 ‎9. 已知平面和直线,给出条件:‎ ‎①;② ;③ ;④;⑤‎ ‎ (1) 当满足条件________(填序号或序号组合)时,有; ‎ ‎ (2) 当满足条件________(填序号或序号组合)时,有.‎ ‎10.已知是直线,是平面,给出下列命题正确的是________________.‎ ‎(1) 若垂直于内的两条相交直线,则;‎ ‎(2) 若平行于,则平行于内所有直线;‎ ‎(3) (4) ‎ ‎(5) ////.‎ ‎11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面,且侧棱长为,它的体对角线的长分别是和,则这个棱柱的侧面积是___________.‎ ‎12. 三棱锥P—ABC中,PA,PB,PC两两垂直,PA=1,,已知空间中有一个点到这四个点距离相等,则这个距离是 ___________.‎ ‎13. 某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 .‎ ‎14.如图,边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G,已知 是绕DE旋转过程中的一个图形(不考点和A、F重合的情况),‎ 给出下列命题:‎ ‎①动点在平面ABC上的射影在线段AF上;‎ ‎②BC∥平面;‎ ‎③三棱锥的体积有最大值;‎ 其中正确的命题的序号是___________.‎ 三、解答题:本大题共3小题,共30分 ‎15.如图,已知所在的平面,是的直径,,上的一点,且,,中点,的中点.‎ ‎(1) 求证://面;‎ ‎(2) 求证:; ‎ ‎(3) 求三棱锥的体积.‎ ‎16.如图,在三棱锥中,平面平面,,,‎ 过 作,垂足为,点分别是棱的中点.‎ 求证:(1)平面平面;‎ ‎ (2).‎ ‎17. 如图1,在中,,分别为的中点,点为线段上的一点,将沿折起到的位置,使,如图2。‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求证:;‎ ‎(3)线段上是否存在点,‎ 使平面?说明理由.‎ 卷(Ⅱ)‎ 一、选填题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 ‎1.已知+=(2,-1,0),-=(0,3,-2),则cos<,>的值为( ).‎ ‎ A. B.- C. D.‎ ‎2.若P是平面外一点,A为平面内一点,为平面的一个法向量,且<, >=40º,则直线PA与平面所成的角为( ). ‎ A.40º     B.50º    C.40º或50º D.不确定 ‎3.若A,B,C,D四点共面,且,则的值是( ).‎ A.4 B.‎2 ‎ C.6 D.-6‎ ‎4. 如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为________.‎ A. B. C. D. ‎5. 如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD 是边长为1的正方形,S到A,B,C,D的距离都等于2.给出以下结论:‎ ‎①+++=0;‎ ‎②+--=0;‎ ‎③-+-=0;‎ ‎④·=·;‎ ‎⑤·=0,其中正确结论的序号是________.‎ 二.解答题:本大题共2小题,第6题10分,第7题15分. ‎ ‎6. 如图所示,已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是等腰梯形,且AB∥CD,O是AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=AB=4,M是PA的中点.‎ ‎ (1) 证明:平面PBC∥平面ODM;‎ ‎(2) 求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值.‎ ‎7. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.‎ ‎(1)求证:M为PB的中点;‎ ‎(2)求二面角B-PD-A的大小;‎ ‎(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.‎ ‎ ‎ 答 题 纸 班级 姓名 成绩 ‎ 卷(I)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,将答案规范填涂在机读卡上)‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 三、解答题(本大题共3小题,共30分)‎ ‎15. ‎ ‎16. ‎ ‎.‎ ‎17.‎ 答 题 纸 班级 姓名 成绩 ‎ 卷(Ⅱ)‎ 一、选填题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 ‎ ‎ 二、解答题(本大题共2小题,第6题10分,第7题15分)‎ ‎6. ‎ ‎7. ‎ 参考答案 卷(I)‎ 一、1-5; CBBDD 6-8;CBD 二、9.(1) ③ ⑤(2)② ⑤; 10.(1)(4); 11.160; 12. ; ‎ ‎13. ; 14. ①②③‎ ‎16.证:(1),,,‎ 由题,,‎ 平面平面,‎ 平面,同理平面,‎ 与为平面内的两条相交直线,‎ ‎∴平面平面,‎ ‎(2)平面平面于,平面,‎ 平面,,‎ 又且与为平面内的两条相交直线,‎ ‎.‎ ‎17.(1)∵D,E分别为AC,AB的中点,‎ ‎∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB,‎ ‎∴DE∥平面A1CB.‎ ‎(2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC.‎ ‎∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.‎ 而A‎1F 平面A1DC,∴DE⊥A‎1F.‎ 又∵A‎1F⊥CD,∴A‎1F⊥平面BCDE.‎ ‎∴A‎1F⊥BE.‎ ‎(3)线段A1B上存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ.‎ 理由如下:如图,分别取A‎1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.‎ 又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.‎ 由(2)知DE⊥平面A1DC,∴DE⊥A‎1C.‎ 又∵P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C 的中点,‎ ‎∴A‎1C⊥DP,∴A‎1C⊥平面DEP,从而A‎1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q,使得A‎1C⊥平面DEQ.‎ 卷(Ⅱ)‎ ‎1.B 2.B 3.D 4.D 5. ③④ ‎ ‎6.(1)证明 ∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥PB.‎ 又∵PB平面ODM,OM⊂平面ODM,∴PB∥平面ODM ‎∵CD=AB,O为AB的中点,∴CD=BO,‎ 又∵CD∥AB,∴四边形OBCD为平行四边形,‎ ‎∴BC∥OD.‎ 又∵BC平面ODM,OD⊂平面ODM,‎ ‎∴BC∥平面ODM.‎ ‎∵BC∩PB=B,DO∩OM=O,‎ ‎∴平面PBC∥平面ODM.‎ ‎(2) 方法一 延长AD,BC交于点E,连接PE,则平面PBC∩平面PAD=PE.‎ 易知PB=PA,EB=EA,PE=PE,∴△PBE与△PAE全等.‎ 过点A作AQ⊥PE于点Q,连接BQ,则BQ⊥PE,‎ 由二面角定义可知,∠AQB为所求角或其补角.‎ 易求得PE=8,AE=8,PA=4,‎ 由等积法求得AQ=2=BQ,‎ ‎∴cos∠AQB===-<0,‎ ‎∴所求角为π-∠AQB,∴cos(π-∠AQB)=,‎ 因此平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.‎ 方法二 以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则P(0,0,4),B(-4,0,0),A(4,0,0),C(-2,-2,0),‎ D(2,-2,0).‎ ‎∵=(-4,0,-4),=(2,-2,0),‎ ‎∴易求得平面PBC的一个法向量n1=(,1,-).‎ 又=(4,0,-4),=(-2,-2,0),‎ ‎∴易求得平面PAD的一个法向量n2=(,-1,).‎ 设θ为平面PBC与平面PAD所成的锐二面角,‎ 则cos θ==,‎ ‎∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎7.解:(I)设交点为,连接.‎ ‎∵平面,平面平面, ‎ ‎∴.‎ ‎∵是正方形,∴为的中点,‎ ‎∴为的中点.‎ ‎(II)取的中点,连接,.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵平面平面,且平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面,∴.‎ ‎∵是正方形,∴.‎ 如图建立空间直角坐标系,则,,,‎ ‎,.‎ 设平面的法向量为,则,即.‎ 令,则,.于是.‎ 平面的法向量为,∴.‎ 由题知二面角为锐角,∴它的大小为.‎ ‎(III)由题意知,,.‎ 设直线与平面所成角为,则.‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎