数学理卷·2019届北京市第四中学高二上学期期中考试（2017-11） 15页

数学理试卷 ‎（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）‎ 试卷分为两卷，卷（I）100分，卷（II）50分 ‎（卷（I）和卷（II）的所有题目都在答题纸上作答）‎ 卷（I）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 ( )．‎ ‎ A. 空间任意三点 B.空间两条直线 ‎ ‎ C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点 ‎ ‎2．，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )．‎ A．， B．，‎ C．，，共面 D．，，共点，，共面 ‎3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，‎ ‎ 下列命题中正确的是： ( )．‎ A．若，则∥ B．若，则∥‎ C．若∥，∥，则∥ D．若∥，∥，则∥‎ ‎4. 在四面体的四个面中，是直角三角形的面至多有 ( )．‎ ‎ A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 ‎5. 下列命题中错误的是 ( ).‎ ‎ A．如果平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎ B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎ C．如果平面，平面，，那么 ‎ D．如果平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 A1‎ B1‎ C1‎ A ‎ B ‎ E ‎ C ‎ ‎6. 如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，‎ ‎ 底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正 ‎ ‎ 确的是 ( )．‎ A. 与是异面直线 ‎ B. 平面 C. ,为异面直线，且 ‎ D. 平面 ‎7. 把正方形沿对角线折成直二面角后，下列命题正确的是 ( )．‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎8. 如图所示点为三棱柱侧棱上一动点，‎ ‎ 若四棱锥的体积为，则三棱柱的 ‎ 体积为 ( )．‎ ‎ A . B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎9. 已知平面和直线，给出条件：‎ ‎①；② ；③ ；④；⑤‎ ‎ (1) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有； ‎ ‎ (2) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有.‎ ‎10．已知是直线，是平面，给出下列命题正确的是________________.‎ ‎(1) 若垂直于内的两条相交直线，则；‎ ‎(2) 若平行于，则平行于内所有直线；‎ ‎(3) (4) ‎ ‎(5) ////.‎ ‎11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为，它的体对角线的长分别是和，则这个棱柱的侧面积是___________.‎ ‎12. 三棱锥P—ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是 ___________.‎ ‎13. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .‎ ‎14．如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知 是绕DE旋转过程中的一个图形（不考点和A、F重合的情况），‎ 给出下列命题:‎ ‎①动点在平面ABC上的射影在线段AF上；‎ ‎②BC∥平面；‎ ‎③三棱锥的体积有最大值；‎ 其中正确的命题的序号是___________.‎ 三、解答题：本大题共3小题，共30分 ‎15．如图，已知所在的平面，是的直径，,上的一点，且,，中点，的中点.‎ ‎(1) 求证：//面;‎ ‎(2) 求证：; ‎ ‎(3) 求三棱锥的体积.‎ ‎16.如图，在三棱锥中，平面平面，，，‎ 过 作，垂足为，点分别是棱的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎ （2）.‎ ‎17. 如图1，在中，，分别为的中点，点为线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）线段上是否存在点，‎ 使平面？说明理由.‎ 卷（Ⅱ）‎ 一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎1．已知＋＝(2，－1，0)，－＝(0，3，－2)，则cos<，>的值为( )．‎ ‎ A． B．－ C． D．‎ ‎2．若P是平面外一点，A为平面内一点，为平面的一个法向量，且<， >＝40º，则直线PA与平面所成的角为( )． ‎ A．40º 　　　 B．50º 　　 C．40º或50º D．不确定 ‎3．若A，B，C，D四点共面，且，则的值是( )．‎ A．4 B．‎2 ‎ C．6 D．－6‎ ‎4. 如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成的角的正弦值为________.‎ A. B. C. D. ‎5. 如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：‎ ‎①＋＋＋＝0；‎ ‎②＋－－＝0；‎ ‎③－＋－＝0；‎ ‎④·＝·；‎ ‎⑤·＝0，其中正确结论的序号是________.‎ 二．解答题：本大题共2小题，第6题10分,第7题15分. ‎ ‎6. 如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝CD＝DA＝AB＝4，M是PA的中点．‎ ‎ (1) 证明：平面PBC∥平面ODM；‎ ‎(2) 求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．‎ ‎7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．‎ ‎（1）求证：M为PB的中点；‎ ‎（2）求二面角B-PD-A的大小；‎ ‎（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．‎ ‎ ‎ 答 题 纸 班级 姓名 成绩 ‎ 卷（I）‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，将答案规范填涂在机读卡上）‎ 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 三、解答题（本大题共3小题，共30分）‎ ‎15． ‎ ‎16． ‎ ‎.‎ ‎17.‎ 答 题 纸 班级 姓名 成绩 ‎ 卷（Ⅱ）‎ 一、选填题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 答案 ‎ ‎ 二、解答题（本大题共2小题，第6题10分,第7题15分）‎ ‎6． ‎ ‎7． ‎ 参考答案 卷（I）‎ 一、1-5; CBBDD 6-8;CBD 二、9.（1） ③ ⑤（2）② ⑤； 10.（1）（4）； 11.160； 12. ； ‎ ‎13. ； 14. ①②③‎ ‎16．证：（1），，，‎ 由题，，‎ 平面平面，‎ 平面，同理平面，‎ 与为平面内的两条相交直线，‎ ‎∴平面平面，‎ ‎（2）平面平面于，平面，‎ 平面，，‎ 又且与为平面内的两条相交直线，‎ ‎.‎ ‎17．（1）∵D,E分别为AC,AB的中点，‎ ‎∴DE∥BC.又∵DE平面A1CB,‎ ‎∴DE∥平面A1CB.‎ ‎（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC,∴DE⊥AC.‎ ‎∴DE⊥A1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面A1DC.‎ 而A‎1F 平面A1DC,∴DE⊥A‎1F.‎ 又∵A‎1F⊥CD,∴A‎1F⊥平面BCDE.‎ ‎∴A‎1F⊥BE.‎ ‎（3）线段A1B上存在点Q,使A‎1C⊥平面DEQ.‎ 理由如下：如图,分别取A‎1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC.‎ 又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面DEQ即为平面DEP.‎ 由（2）知DE⊥平面A1DC,∴DE⊥A‎1C.‎ 又∵P是等腰三角形DA‎1C底边A‎1C 的中点，‎ ‎∴A‎1C⊥DP,∴A‎1C⊥平面DEP,从而A‎1C⊥平面DEQ.‎ 故线段A1B上存在点Q,使得A‎1C⊥平面DEQ.‎ 卷（Ⅱ）‎ ‎1.B 2．B 3．D 4.D 5. ③④ ‎ ‎6．(1)证明　∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥PB.‎ 又∵PB平面ODM，OM⊂平面ODM，∴PB∥平面ODM ‎∵CD＝AB，O为AB的中点，∴CD＝BO，‎ 又∵CD∥AB，∴四边形OBCD为平行四边形，‎ ‎∴BC∥OD.‎ 又∵BC平面ODM，OD⊂平面ODM，‎ ‎∴BC∥平面ODM.‎ ‎∵BC∩PB＝B，DO∩OM＝O，‎ ‎∴平面PBC∥平面ODM.‎ ‎(2)　方法一　延长AD，BC交于点E，连接PE，则平面PBC∩平面PAD＝PE.‎ 易知PB＝PA，EB＝EA，PE＝PE，∴△PBE与△PAE全等．‎ 过点A作AQ⊥PE于点Q，连接BQ，则BQ⊥PE，‎ 由二面角定义可知，∠AQB为所求角或其补角．‎ 易求得PE＝8，AE＝8，PA＝4，‎ 由等积法求得AQ＝2＝BQ，‎ ‎∴cos∠AQB＝＝＝－<0，‎ ‎∴所求角为π－∠AQB，∴cos(π－∠AQB)＝，‎ 因此平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.‎ 方法二　以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 则P(0,0,4)，B(－4,0,0)，A(4,0,0)，C(－2，－2，0)，‎ D(2，－2，0)．‎ ‎∵＝(－4,0，－4)，＝(2，－2，0)，‎ ‎∴易求得平面PBC的一个法向量n1＝(，1，－)．‎ 又＝(4,0，－4)，＝(－2，－2，0)，‎ ‎∴易求得平面PAD的一个法向量n2＝(，－1，)．‎ 设θ为平面PBC与平面PAD所成的锐二面角，‎ 则cos θ＝＝，‎ ‎∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎7.解：（I）设交点为，连接.‎ ‎∵平面，平面平面， ‎ ‎∴.‎ ‎∵是正方形，∴为的中点，‎ ‎∴为的中点.‎ ‎（II）取的中点，连接，.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵平面平面，且平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎∵平面，∴.‎ ‎∵是正方形，∴.‎ 如图建立空间直角坐标系，则，，，‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为，则，即.‎ 令，则，.于是.‎ 平面的法向量为，∴.‎ 由题知二面角为锐角，∴它的大小为.‎ ‎（III）由题意知，，.‎ 设直线与平面所成角为，则.‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎