数学（文）卷·2018届陕西省西安中学高三上学期期中考试（2017 8页

陕西省西安中学2018届高三期中考试 数学试题（文科）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设向量与向量共线，则实数（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．6 ‎ ‎3. （ ）‎ A． B．2 C． D． 1‎ ‎4.已知向量，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.给出下列四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；‎ ‎③若，，则；‎ ‎④的充要条件是且 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①② B．②③ C.③④ D．②④‎ ‎6.已知中，，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎8.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.函数（）的单调递增区间是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 的内角的对边分别为，若，，，则（ ）‎ A．1或2 B．2 C. D．1‎ ‎12.若函数在单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则 ．‎ ‎14.已知为函数的极小值点，则 ．‎ ‎15.已知的三边长分别3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ．‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边，，且 ‎，则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 的内角的对边分别为，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求的周长.‎ ‎18. 如图，在四棱锥中，面，，，，，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎19. 某校从高一年级学生中随机抽取40中学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，所得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与 两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率.‎ ‎20. 已知椭圆（）的离心率，椭圆过点 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于两点，已知，求面积的最大值.‎ ‎21. 已知函数 ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）写出曲线的参数方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，求点到直线的最小距离.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数，‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ 陕西省西安中学2018届高三期中考试 数学(文科)答案 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C A B A B D D C B D 填空题 ‎13、2 14、2 　　15、 16、‎ 三、解答题 ‎17、解：（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ ‎，，‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎，，，‎ ‎18、证明：(Ⅰ)如图，取PB中点M，连结AM，MN. ‎ ‎∵MN是△BCP的中位线,∴MN∥BC，且MN=BC.    ‎ 依题意得,ADBC,则有ADMN ‎∴四边形AMND是平行四边形,∴ND∥AM ‎∵ND⊄面PAB，AM⊂面PAB，‎ ‎∴ND∥面PAB ‎(Ⅱ)∵N是PC的中点，‎ ‎∴N到面ABCD的距离等于P到面ABCD的距离的一半，且PA⊥面ABCD，PA=4，‎ ‎∴三棱锥N−ACD的高是2.‎ 在等腰△ABC中,AC=AB=3,BC=4,BC边上的高为.‎ ‎ BC∥AD,∴C到AD的距离为，‎ ‎∴S△ADC=.‎ ‎∴三棱锥N−ACD的体积是.‎ ‎19、(1)由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1.‎ 解得a=0.03‎ ‎ (2)根据频率分布直方图,成绩不低于60分的频率为1−10×(0.005+0.01)=0.85由于该校高一年级共有学生640人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85=544人 ‎ ‎(3)成绩在[40,50)分数段内的人数为40×0.05=2人,分别记为A,B，成绩在[90,100]分数段内的人数为40×0.1=4人,分别记为C,D,E,F.‎ 若从数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生,则所有的基本事件有：(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.…(9分)‎ 如果两名学生的数学成绩都在[40,50)分数段内或都在[90,100]分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在[40,50)分数段内,另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件M,则事件M包含的基本事件有：(A,B),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共7种.所以所求概率为P(M)=.‎ ‎20.解：（1）∵∴‎ ‎∵椭圆过点∴‎ ‎（2）‎ ‎21、解：（Ⅰ）的定义域为 ，.‎ ‎ 若，则，所以在单调递增.‎ 若，则当时，；当时，.所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，在无最大值；当时，在取得最大值，最大值为.‎ 因此等价于.‎ 令，则在单调递增，.‎ 于是，当时，；当时，.‎ 因此，的取值范围是.‎ ‎22、解： (Ⅰ)由曲线的极坐标方程得：，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为:，‎ 直线的普通方程为：.‎ ‎ (Ⅱ)设曲线上任意一点为，则 点到直线的距离为 ‎23、解析：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，‎ 即有f（x）=，‎ 不等式f（x）≤4即为或或，[‎ 即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，‎ 则为0≤x≤4，‎ 则解集为[0，4]；‎ ‎（Ⅱ）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，‎ ‎∴2≤f（x）min；‎ 由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，‎ 即f（x）min=|1﹣a|，‎ ‎∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，‎ 解得a≥3或a≤﹣1．‎ ‎∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．‎