陕西省延安市黄陵中学高新部2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 14页

黄陵中学高新部2019—2020学年第一学期 高二理科数学期末试题 一、选择题（每小题5分，12小题共60分）‎ ‎1.设，，，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对A，时不成立；对B，时不成立；对C，正确；对D，时不正确，故选C.‎ ‎2.若是真命题，是假命题，则 A. 是真命题 B. 是假命题 C. 是真命题 D. 是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.‎ 考点：真值表的应用.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎3.已知双曲线的离心率，且其右焦点,则双曲线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎ 由双曲线的离心率，且其右焦点为，‎ ‎ 可得，所以，‎ ‎ 所求双曲线的方程为，故选B．‎ ‎4.曲线在处的切线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出导数，再把代入求出切线的斜率，代入点斜式方程并化为一般式．‎ ‎【详解】解：由题意知，，‎ 在处的切线的斜率，‎ 则在处的切线方程是：，‎ 即，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式的应用，属于基础题．‎ ‎5.若，则等于（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由导数的定义可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，若，‎ 则，‎ 即；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查导数的定义，掌握导数与极限的关系即可．‎ ‎6.下列各式正确的是(　 　)‎ A. (a为常数) B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由基本的求导公式可得：‎ ‎ (a为常数)； ； ； .‎ 本题选择C选项.‎ ‎7.已知函数，其导函数的图象如下图所示，则（ ）‎ A. 在上为减函数 B. 在处取极小值 C. 在上为减函数 D. 在处取极大值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点．‎ ‎【详解】解：根据导函数图象可知当时，，‎ 在时，，‎ 函数在和上单调递减，在和上单调递增，‎ ‎、为函数的极大值点，为函数的极小值点，‎ 则正确的为.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值等有关知识，属于中档题．‎ ‎8.若函数在处取得极值，则（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由在时取得极值，求出得，解出值．‎ ‎【详解】解：，；‎ 又在时取得极值，；‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了应用导数求函数极值的问题，是基础题．‎ ‎9.（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，故选C.‎ ‎10.由“，，”得出：“若且，则”这个推导过程使用的方法是（ ）‎ A. 数学归纳法 B. 演绎推理 C. 类比推理 D. 归纳推理 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据部分成立的事实，推断出一个整体性的结论，这种推理是归纳推理中的不完全归纳法，所以选D．‎ ‎11.函数在点取极值是的（ ）‎ A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 必要非充分条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数可导，取极值时导数为0，但导数为0并不一定会取极值．‎ ‎【详解】解：若函数在点处可导，且函数在点取极值，‎ 则，‎ 若，则连续函数在点处不一定取极值，例如：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的极值与导数之间的关系，属于基础题．‎ ‎12.函数的定义域为，其导函数在的图象如图所示，则函数在内的极小值点共有( )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极小值点存在的条件，可以判断出函数的极小值的个数．‎ ‎【详解】根据极小值点存在条件，①②在的左侧，在的右侧，可以判断出函数的极小值点共有1个，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数图象的应用以及利用导数判断极值点．‎ 二、填空题（4小题共20分)‎ ‎13.用数学归纳法证明等式时，第一步验证 时，左边应取的项是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 在等式中，当时，，而等式左边起始为的连续的正整数的和，故时，等式左边的项为，故答案为.‎ ‎14.函数共有________个极值.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．‎ ‎【详解】解：由题知的导函数，‎ ‎，‎ 恒成立．‎ 函数在上是单调递增函数，‎ 函数没有极值．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，属于基础题．‎ ‎15.表示虚数单位，则______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数的乘法计算可得．‎ ‎【详解】解：‎ 且，，，，……‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的代数形式的乘除运算以及复数的乘方，属于基础题.‎ ‎16. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：‎ 则第个图案中有白色地面砖 块.‎ ‎【答案】4n+2‎ ‎【解析】‎ 解：观察、分析图案，得到规律，第1个、第2个，第3个…个图案有白色地板砖分别是6，10，14…个，组成一个 公差是4，首项为6的等差数列．‎ 因此第n个图案中有白色地面砖有6+（n-1）×4=6+4n-4=4n+2．‎ 故答案为4n+2．‎ 三、解答题（6小题共80分)‎ ‎17.已知，是正实数，求证：.‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，，要证明这个不等式，可将不等式两边同时平方，即可得证.‎ ‎【详解】证明：要证明，‎ 只需证明，‎ 即，‎ 只需证明，‎ 即，这显然成立.‎ 这样，就证明了.‎ ‎【点睛】本题考查分析法证明不等式，属于基础题.‎ ‎18.点为椭圆上一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积为1，则点的坐标是？‎ ‎【答案】，，，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知，点是椭圆上的一点，以点以及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，根据该三角形的底边，我们易求出点的横坐标，进而求出点的纵坐标，即可得到答案．‎ ‎【详解】、是椭圆的左、右焦点，，‎ 则，，‎ 设椭圆上一点，‎ 由三角的面积公式可知：，即，‎ 将代入椭圆方程得：，‎ 解得：，‎ ‎∴点的坐标为，，，.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，其中判断出以点 以及焦点，为顶点的三角形的底边，是解答本题的关键．‎ ‎19.计算曲线与直线所围图形的面积．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数．‎ 试题解析：由解得．‎ 从而所求图形的面积．‎ 考点：定积分．‎ ‎20.已知复数，.‎ ‎（1）求及并比较大小；‎ ‎（2）设，满足条件的点的轨迹是什么图形？‎ ‎【答案】(1) =2, =1, (2) 以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数的模的计算公式求出、即可解答.‎ ‎（2）根据的几何意义及（1）中所求的模、可知的轨迹.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由及（1）知.‎ 因为的几何意义就是复数对应的点到原点的距离，所以表示所表示的圆外部所有点组成的集合，表示所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环（包含圆周），如图所示．‎ ‎【点睛】本题考查复数的模及其几何意义，属于基础题.‎ ‎21.已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线平行于直线 ‎4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限,‎ ‎⑴求P0的坐标;‎ ‎⑵若直线, 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．‎ 首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．‎ 解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，‎ 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1．‎ 当x=1时，y=0；‎ 当x=-1时，y=-4．‎ 又∵点P0在第三象限，‎ ‎∴切点P0的坐标为（-1，-4）；‎ ‎（2）∵直线 l⊥l1，l1的斜率为4，‎ ‎∴直线l的斜率为-1/ 4 ，‎ ‎∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）‎ ‎∴直线l的方程为y+4=（x+1）即x+4y+17=0．‎ ‎22.已知函数，当时，有极大值3.‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）求函数单调区间.‎ ‎【答案】(1) (2) 单调递增区间为，单调递减区间为，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，由时，函数有极大值3，所以代入和中得到两个关于、的方程，求出、即可；‎ ‎（2）令解出得到函数的单调增区间，令得到函数的单调减区间；‎ ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴.‎ 由题意得：当时，，.‎ 即，解得，，‎ ‎∴函数的解析式为：.‎ 综上所述，结论为：.‎ ‎（2）由题（1）知，，‎ 令得，‎ 令得或，‎ ‎∴函数的单调递增区间为，‎ 函数的单调递减区间为，.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值，属于基础题，准确求导，熟练运算是解决该类问题的基础．‎ ‎23.已知曲线 ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求曲线过点的切线方程 ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据曲线的解析式求出导函数，把的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率，根据的坐标和求出的斜率写出切线的方程即可；（2）设出曲线过点切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可.‎ ‎【详解】解：（1）∵，∴在点处的切线的斜率，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为，即．‎ ‎（2）设曲线与过点的切线相切于点，‎ 则切线的斜率，‎ ‎∴切线方程为，即．‎ ‎∵点在该切线上，∴，即，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，解得或．‎ 故所求切线方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，是一道综合题，学生在解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；同时解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决，属于中档题.‎