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  • 2021-06-15 发布

专题2-1 分段函数的性质、图象以及应用(讲)-2018年高考数学(文)二轮复习讲练测

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新课标下高考数学题中以分段函数为载体,考查函数的图像、性质等知识的习题倍受青睐.所谓的分段函数是指自变量X在不同的取值范围内对应关系不同的函数,由分段函数本身的特点,使得一个函数在各段上有不同的解析式,所以可将一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、抽象函数融合在一个题目之中,考查多个知识点.因而分段函数已成为高考命题的一个热点讲---高效整合 .纵观近几年高考对于分段函数的性质、图象的考查,重点放在函数的奇偶性、周期性以及函数的零点问题与分段函数结合上;要求学生有较强的抽象思维能力、作图能力以及准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握比较模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目本身就是压轴题确实不易之外,主要是学生的作图能力普遍较弱,还有就是没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理. 本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.‎ ‎1 分段函数与函数值 分段函数:定义域中各段的与的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的.分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集.分段函数中的问题一般是求解析式、值域或最值,讨论奇偶性、单调性等.分段函数的处理方法:分段函数分段研究.‎ ‎ 一般将具体函数或与抽象函数结合,通过考查对数、指数的运算形成的函数求值问题.‎ 例 1【2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】设,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎2 分段函数与图象:‎ 分段函数的图象分段画.‎ 例 2【2017届湖南省长沙市第一中学高考模拟卷一】已知函数,则函数的大致图象是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎3 分段函数与方程 已知函数值求自变量或其它参数的值的问题,一般按自变量的取值范围分类讨论,通过解方程而得到.‎ 例 3【2018届北京市东城区高三上学期期中】已知函数,则关于的方程的实根个数不可能为( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时, ,‎ ‎∴在上是减函数,‎ 当时, ,‎ ‎∴在上是减函数,在上是增函数,‎ 作出的大致图像如图所示:‎ ‎4 分段函数与不等式 ‎ 将分段函数与不等式结合,考查函数单调性及解不等式知识,体现分类讨论思想.‎ 例4【2018届福建省厦门市高三上学期期末】已知函数若 ‎,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出函数的图象(图中黑色部分),则函数的图象向左平移个长度单位,得到函数的图象(图中红色部分),设两图象交于点,且横坐标分别为.由图象可得满足的实数的取值范围为.‎ ‎5 分段函数与零点 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解.‎ 例 5【2018届四川省成都实验中学高三上学期1月月考】已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是(  )‎ A. [-1,1) B. [0,2] C. [-2,2) D. [-1,2)‎ ‎【答案】D ‎【解析】作y=x+2与y=x2+5x+2在同一坐标系中的图象如图,要使g(x)=f(x)-2x恰有三个不同零点,即f(x)与y=2x有三个不同交点,观察可知,需y=x+2与y=2x交于C点;y=x2+5x+2与y=2x交于A、B点;故令x2+5x+2=2x得x=-1或x=-2,令2x=x+2得x=2.∴-1≤a<2.选D.‎ ‎6 分段函数与解析式 分段函数是定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的.因此求解析式时,也是分段求解析式的.‎ 例 6【2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测(一)】已知是定义在上的奇函数.当时, ,则不等式的解集用区间表示为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎7 分段函数与周期和最值 分段函数的值域是各段值域的并集,最大值是各段最大值中的最大者是函数的最大值,最小值是各段最小值中的最小者,一般可借助于图像来解决.‎ 例 7【2018届山西省太原十二中高三1月月考】已知,函数若的值域为,则的最大值与最小值之积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,分别作出和的图像, 在是减函数且 ,因的值域是,故只能在上取最小值,所以. 又,否则时, , 时, , 时, 在上无意义. 故的最小值为,最大值为,它们的乘积为,选 B.‎ 点睛:这是一个动态变化的问题,注意到函数在区间有最大值,但无最小值,故函数的最小值只能在取得,但是,因此且 ,再根据的最大值为3,得到,所以的最小值为,最大值为,它们的乘积为6.‎ 例 8【2018届贵州省贵阳市第一中学高三12月月考】已知是定义在上的奇函数,满足,当时, ,则函数在区间上所有零点之和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 又函数零点即为图象与的图象的交点的横坐标,四个交点分别关于对称,所以,所以零点之和为.‎ 故选A.‎ ‎8 分段函数的单调性 例 9已知函数 满足对任意,都有 成立,则的范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 点睛:解分段函数单调性问题时,需要考虑两段函数都是增函数或减函数,其次考虑两段函数的分界点,如果是增函数,则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值,反之,左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.‎ ‎【反思提升】综合上面的八种类型,解决分段函数函数问题类型,涉及到很多数学思想主、方法;分段函数首先是函数,且是一个函数,不是多个函数;分段函数的处理方法:分段函数分段研究;解题中务必看清自变量在哪一段,该代哪个解析式,这样就要分段讨论、求解,即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用.‎

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