【数学】2019届一轮复习人教A版解三角形的应用举例学案 24页

第7讲　解三角形的应用举例 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．‎ 考点2　方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．‎ 考点3　方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角，如北偏东α，南偏西α.特别地，若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向，东北方向等．‎ ‎(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；‎ ‎(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；‎ ‎(3)南偏西等其他方向角类似．‎ 考点4　坡角与坡度 ‎1．坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．‎ ‎2．坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．‎ ‎[必会结论]‎ ‎1．仰角与俯角是相对水平视线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．‎ ‎2．“方位角”与“方向角”的区别：方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围是.‎ ‎[考点自测]　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　)‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　)‎ ‎(3)若点P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北46°.(　　)‎ ‎(4)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为，设α为坡角，那么cosα＝.(　　)‎ 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．[课本改编]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A．北偏东10° B．北偏西10°‎ C．南偏东10° D．南偏西10°‎ 答案　B 解析　由题可知∠ABC＝50°，A，B，C位置如图．故选B.‎ ‎3．[2018·沈阳模拟]如图，设A，B两点在河的两岸，测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为‎50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为(　　)‎ A．‎50 m B．‎50 m C．‎25 m D. m 答案　A 解析　由正弦定理得 AB＝＝＝50(m)．‎ ‎4．如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为60°，30°，则A点离地面的高度AB等于(　　)‎ A. B. C.a D. 答案　B 解析　因为∠D＝30°，∠ACB＝60°，‎ 所以∠CAD＝30°，故CA＝CD＝a.‎ 所以AB＝asin60°＝.‎ ‎5．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.‎ 答案　50‎ 解析　设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，‎ 根据余弦定理得(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos60°，即h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是‎50 m.‎ 板块二　典例探究·考向突破 考向　测量距离问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例1　如图所示，为了测量河对岸A，B两点间的距离，在岸边定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．‎ 解　在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝60°，‎ ‎∠ADC＝60°，所以AC＝a.①‎ 在△BCD中，由正弦定理可得 BC＝＝a.②‎ 在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝30°，所以利用余弦定理可以求得A，B两点之间的距离为AB＝＝a.‎ 触类旁通 求距离问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解．‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理．‎ ‎【变式训练1】　[2014·四川高考]如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是‎46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos37°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73)‎ 答案　60‎ 解析　根据已知的图形可得AB＝.在△ABC中，∠BCA＝30°，∠BAC＝37°，‎ 由正弦定理，得＝.所以BC≈2××0.60＝60(m)．‎ 考向　测量高度问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例2　[2015·湖北高考]如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶‎600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 答案　100 解析　如图所示，由已知得∠BAC＝30°，AB＝‎600 m，∠EBC＝75°，∠CBD＝30°，‎ 在△ABC中，∠ACB＝∠EBC－∠BAC＝45°，‎ 由＝，‎ 得BC＝＝＝300(m)．‎ 在Rt△BCD中，CD＝BC·tan∠CBD＝300×＝100(m)．‎ 触类旁通 处理高度问题的注意事项 ‎(1)在处理有关高度问题时，正确理解仰角、俯角是一个关键．‎ ‎(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．‎ ‎【变式训练2】　某人在C点测得塔底O在南偏西80°，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进‎10米到D处，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为(　　)‎ A．‎15米 B．‎5米 C．‎10米 D．‎‎12米 答案　C 解析　如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.‎ 在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝h.‎ 在△OCD中，∠OCD＝120°，‎ CD＝10，OD2＝ OC2＋ CD2－2OC×CD×cos∠OCD，即(h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，‎ 所以h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)，‎ 故选C.‎ 考向　测量角度问题　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 例3　在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．‎ 解　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，‎ 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.‎ 根据余弦定理得 ‎(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，‎ 解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.‎ 根据正弦定理，得＝，‎ 解得sinα＝＝.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.‎ 触类旁通 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义．‎ ‎(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．‎ ‎【变式训练3】　如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距‎40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距‎20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．‎ 解　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800⇒BC＝20.‎ 由正弦定理，得＝⇒sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.‎ 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.‎ 由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝.‎ 核心规律 利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义．‎ 满分策略 ‎1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混．‎ ‎2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ 板块三　启智培优·破译高考 数学思想系列 5——函数思想在解三角形中的应用 ‎[2018·永州模拟]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．‎ 解题视点　(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围．‎ 解　(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s＝ ‎＝＝.‎ 故当t＝时，smin＝10，v＝＝30(海里/小时)．‎ 即小艇以‎30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇．则v2t2＝400＋900t22·20·30t·cos(90°－30°)，‎ 故v2＝900－＋.∵0