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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习人教A版解三角形的应用举例学案

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第7讲 解三角形的应用举例 板块一 知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).‎ 考点2 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).‎ 考点3 方向角 指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角,如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角称为西南方向,东北方向等.‎ ‎(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);‎ ‎(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;‎ ‎(3)南偏西等其他方向角类似.‎ 考点4 坡角与坡度 ‎1.坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角).‎ ‎2.坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.‎ ‎[必会结论]‎ ‎1.仰角与俯角是相对水平视线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的.‎ ‎2.“方位角”与“方向角”的区别:方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围是.‎ ‎[考点自测]                      ‎ ‎1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(  )‎ ‎(2)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.(  )‎ ‎(3)若点P在Q的北偏东44°,则Q在P的东偏北46°.(  )‎ ‎(4)如果在测量中,某渠道斜坡坡比为,设α为坡角,那么cosα=.(  )‎ 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)×‎ ‎2.[课本改编]两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的(  )‎ A.北偏东10° B.北偏西10°‎ C.南偏东10° D.南偏西10°‎ 答案 B 解析 由题可知∠ABC=50°,A,B,C位置如图.故选B.‎ ‎3.[2018·沈阳模拟]如图,设A,B两点在河的两岸,测量者在A的同侧,选定一点C,测出AC的距离为‎50 m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,则A,B两点的距离为(  )‎ A.‎50 m B.‎50 m C.‎25 m D. m 答案 A 解析 由正弦定理得 AB===50(m).‎ ‎4.如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB等于(  )‎ A. B. C.a D. 答案 B 解析 因为∠D=30°,∠ACB=60°,‎ 所以∠CAD=30°,故CA=CD=a.‎ 所以AB=asin60°=.‎ ‎5.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是________m.‎ 答案 50‎ 解析 设水柱高度是h m,水柱底端为C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,BC=h,‎ 根据余弦定理得(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是‎50 m.‎ 板块二 典例探究·考向突破 考向 测量距离问题                      ‎ 例1 如图所示,为了测量河对岸A,B两点间的距离,在岸边定一基线CD,现已测出CD=a和∠ACD=60°,∠BCD=30°,∠BDC=105°,∠ADC=60°,试求AB的长.‎ 解 在△ACD中,已知CD=a,∠ACD=60°,‎ ‎∠ADC=60°,所以AC=a.①‎ 在△BCD中,由正弦定理可得 BC==a.②‎ 在△ABC中,已经求得AC和BC,又因为∠ACB=30°,所以利用余弦定理可以求得A,B两点之间的距离为AB==a.‎ 触类旁通 求距离问题的注意事项 ‎(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定的三角形中求解.‎ ‎(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如都可用,就选便于计算的定理.‎ ‎【变式训练1】 [2014·四川高考]如图所示,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球的高是‎46 m,则河流的宽度BC约等于________m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin67°≈0.92,cos37°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,≈1.73)‎ 答案 60‎ 解析 根据已知的图形可得AB=.在△ABC中,∠BCA=30°,∠BAC=37°,‎ 由正弦定理,得=.所以BC≈2××0.60=60(m).‎ 考向 测量高度问题                      ‎ 例2 [2015·湖北高考]如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶‎600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.‎ 答案 100 解析 如图所示,由已知得∠BAC=30°,AB=‎600 m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,‎ 在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,‎ 由=,‎ 得BC===300(m).‎ 在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=300×=100(m).‎ 触类旁通 处理高度问题的注意事项 ‎(1)在处理有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是一个关键.‎ ‎(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ ‎(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.‎ ‎【变式训练2】 某人在C点测得塔底O在南偏西80°,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°方向前进‎10米到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为(  )‎ A.‎15米 B.‎5米 C.‎10米 D.‎‎12米 答案 C 解析 如图,设塔高为h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,则OC=OA=h.‎ 在Rt△AOD中,∠ADO=30°,则OD=h.‎ 在△OCD中,∠OCD=120°,‎ CD=10,OD2= OC2+ CD2-2OC×CD×cos∠OCD,即(h)2=h2+102-2h×10×cos120°,‎ 所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去),‎ 故选C.‎ 考向 测量角度问题                      ‎ 例3 在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进,若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.‎ 解 如图,设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇,‎ 则AC=14x,BC=10x,∠ABC=120°.‎ 根据余弦定理得 ‎(14x)2=122+(10x)2-240xcos120°,‎ 解得x=2.故AC=28,BC=20.‎ 根据正弦定理,得=,‎ 解得sinα==.‎ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时,角α的正弦值为.‎ 触类旁通 解决测量角度问题的注意事项 ‎(1)首先应明确方位角或方向角的含义.‎ ‎(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.‎ ‎(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.‎ ‎【变式训练3】 如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距‎40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距‎20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,求cosθ的值.‎ 解 在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800⇒BC=20.‎ 由正弦定理,得=⇒sin∠ACB=·sin∠BAC=.‎ 由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB=.‎ 由θ=∠ACB+30°,得cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.‎ 核心规律 利用解三角形解决实际问题时,(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义.‎ 满分策略 ‎1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.‎ ‎2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错.‎ 板块三 启智培优·破译高考 数学思想系列 5——函数思想在解三角形中的应用 ‎[2018·永州模拟]某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.‎ ‎(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?‎ ‎(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.‎ 解题视点 (1)利用三角形中的余弦定理,将航行距离表示为时间t的函数,将原题转化为函数最值问题;(2)注意t的取值范围.‎ 解 (1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s= ‎==.‎ 故当t=时,smin=10,v==30(海里/小时).‎ 即小艇以‎30海里/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.‎ ‎(2)设小艇与轮船在B处相遇.则v2t2=400+900t22·20·30t·cos(90°-30°),‎ 故v2=900-+.∵0