2009年长沙理工大学数学专业硕士研究生入学统一考试 4页

‎2009年长沙理工大学数学专业硕士研究生入学统一考试 数学分析考试大纲 ‎（1）函数 集合 实数概述 绝对值不等式 区间与邻域 函数概念 函数的几种表示法（解析法、列表法和图象法等） 一些特殊类型的函数（有界函数、单调函数、奇函数和偶函数、周期函数） 函数的有理运算复合函数 反函数 基本初等函数 初等函数 ‎（2）数列极限 数列 数列极限的定义 收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、有理运算 有界单调数列极限存在定理 数列的柯西（Cauchy）收敛准则的应用 ‎ ‎（3）函数极限 函数极限 定义 定义 单侧极限 函数极限性质——唯一性、局部有界性、局外保号性、不等性质、迫敛性、有理运算、归结原则（Heine定理） 函数极限的柯西准则 无穷小量及其阶的比较 记号o、O、～ 广义极限 无穷大量及其阶的比较 ‎ ‎（4）函数的连续性 在一点函数的连续性 单侧连续性 间断点及其分类 在区间上连续的函数 连续函数的局部性质——有界性、保号性 连续函数的有理运算 复合函数的连续性 闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性 反函数的连续性 初等函数连续性 ‎ ‎（5）导数与微分 引入问题（切线问题与瞬时速度问题） 导数定义 单侧导数 导函数 导数的几何意义、物理意义、无穷导数等 ‎ ‎（6）中值定理与导数应用 费马（Fermat）定理 罗尔（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 ‎ 4‎ 柯西（Cauchy）中值定理 泰勒（Taylor）定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项） 近似计算 函数单调性的判别法 极值 最大值和最小值 凸函数及其应用 曲线的凹凸性 拐点 渐近线 函数图象的讨论 洛必达（L'Hospital）法则 ‎ ‎（7）实数的完备性 确界与确界存在定理 区间套定理 数列的柯西（Cauchy）收敛准则 有界无限数列存在收敛子列 聚点定理 有限覆盖定理 上极限与下极限 ‎ ‎（8）不定积分 原函数与不定积分概念 基本积分表 线性运算法则 换元积分法 分部积分法 有理函数积分法 三角函数有理式的积分 几种无理函数的积分）等 ‎（9）定积分 引入问题（曲边梯形面积与变力作功） 定积分定义 定积分的几何意义 可积的必要条件 上和、下和及其性质 可积的充要条件 可积函数类——在闭区间上连续函数、在闭区间只有有限个间断点的有界函数、在闭区间上的单调函数 定积分性质——线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理 微积分学基本定理 牛顿-莱布尼茨公式 换元积分法 分部积分法 用定义对数函数，并导出对数函数和指数函数的基本性质 ‎ ‎（10）定积分的应用 简单平面图形面积 曲线的弧长与弧微分 曲率 已知截面面积函数的立体体积 旋转体体积与侧面积 平均值 物理应用（压力、功、静力矩与重心等） 积分在经济学上的应用 定积分在求某些数列极限中的应用与在证明不等式方面的应用 ‎ ‎（11）数项级数 级数收敛与和的定义 柯西准则 收敛级数的基本性质 正项级数 比较原则 比式判别法与根式判别法 拉贝（Raare）判别法与高斯判别法 一般项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数 莱布尼茨判别法 阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法 绝对收敛级数的重排定理 条件收敛级数的黎曼（Riemann）定理 ‎ 4‎ ‎（12）反常积分 无穷限反常积分概念 柯西准则 线性运算法则 绝对收敛 反常积分与数项级数的关系 无穷限反常积分收敛性判别法 ‎ 无界函数反常积分概念 无界函数反常积分收敛性判别法 ‎ ‎（13）函数列与函数项级数 函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念 一致收敛的柯西准则 函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 函数列极限函数项级数和的连续性 逐项积分与逐项微分 ‎ ‎（14）幂级数 阿贝尔第一定理 收敛半径与收敛区间 一致收敛性、连续性 逐项积分与逐项微分 幂级数的四则运算 ‎ 泰勒级数 泰勒展开的条件 初等函数的泰勒展开 近似计算 用幂级数定义正弦、余弦函数 复变量的指数函数与欧拉（Euler）公式 ‎ ‎（15）傅里叶（Fourier）级数 三角级数 三角函数系的正交性 傅里叶级数 贝塞尔（Bessel）不等式 黎曼·勒贝格（Riemann-Lebesgue）定理 傅里叶级数的部分和公式 按段光滑且以为周期的函数展开为傅里叶级数的收敛定理 奇函数与偶函数的傅里叶级数 以为周期的函数的逼近定理 ‎ ‎（16）多元函数的极限与连续 平面点集概念（邻域、内点、界点、闭集、开域、闭域等） 平面点集的基本定理——区域套定理、聚点定理、有限覆盖定理 ‎ 二元函数概念 二重极限 累次极限 二元函数的连续性 复合函数的连续定理 有界闭域上连续函数的性质 ‎ 维空间与元函数（距离、三角形不等式、极限、连续等） ‎ ‎（17）多元函数的微分学 偏导数及其几何意义 全微分概念 全微分的几何意义 全微分存在的充分条件 全微分在近似计算中的应用 方向导数与梯度 复合函数的偏导数与全微分 一阶微分形式的不变性 高阶导数及其与顺序无关性 高阶微分 二元函数的泰勒定理 二元函数极值 ‎ 4‎ ‎（18）隐函数定理及其应用 隐函数概念，隐函数定理，隐函数求导 ‎ 隐函数组概念 隐函数组定理 隐函数组求导 反函数组与坐标变换 函数行列式 函数相关 ‎ 几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法 ‎ ‎（19）含参量积分 含参量积分概念 连续性、可积性和可微性 积分顺序的交换 ‎ 含参量反常积分的收敛与一致收敛 一致收敛的柯西准则 维尔斯特拉斯判别法 连续性、可积性与可微性 积分顺序的交换 函数与B函数 ‎ ‎（20）重积分 平面图形面积 二重积分定义与存在性 二重积分性质 二重积分计算（化为累次积分） 二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换） ‎ 三重 积分定义与计算 三重积分的换元法（柱坐标变换、球坐标变换与一般变换） ‎ 重积分应用（体积，曲面面积，重心，转动惯量等） 重积分 ‎ 无界区域上反常二重积分的收敛性概念 无界函数的反常二重积分 ‎ 无界区域上反常二重积分的收敛性概念 无界函数的反常二重积分 ‎ ‎（21）曲线积分与曲面积分 第一型和第二型曲线积分概念与计算 格林（Green）公式 曲线积分与路线无关条件 ‎ 曲面的侧 第一型和第二型曲积分概念与计算 奥斯特罗格拉特斯 高斯公式 斯托克斯（Stokes）公式 ‎ 4‎