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第2课时《一次函数》（2）‎ ‎——正比例函数与一次函数 ‎【知识点拨】‎ 一、正比例函数与一次函数的概念：‎ 一般地，形如(为常数，且)的函数叫做正比例函数；其中叫做比例系数。‎ 一般地，形如 (，为常数，且)的函数叫做一次函数. ‎ 当时， 即为，所以正比例函是一次函数的特例.‎ ‎[例题1]1、下列函数中，是的一次函数的是（ ） ‎ ‎，，，，，‎ A.3个 B.4个 C.5个 D.2个 ‎2、函数是一次函数，则满足的条件是 ，若此函数是正比例函数，则的值为 ‎ ‎[答案]1、B 2、，‎ 二、正比例函数的图象与性质：‎ ‎1、图象：正比例函数(为常数，且)的图象是经过原点的一条直线，我们称它为直线。‎ ‎2、性质：当时，直线经过第一，三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当时，直线经过第二，四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小。‎ ‎[例题2] 1、若正比例函数的图像经过点（－1，2），则这个图像必经过点（ ）‎ A．(1，2) B．(－1，－2) C．(2，－1) D．(1，－2)‎ ‎2、已知正比例函数的图像上两点（，），（，），当＜时，有＞，那么的取值范围是 ( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎[答案]‎ ‎1、D 设，把点（－1，2）代入得，所以，所以 ‎2、A 由题意知随的增大而减小，所以小于0‎ 10‎ 三、一次函数与正比例函数的图象与性质 一　　次　　函　　数 概　念 如果 (，为常数，且)，那么叫的一次函数.当时，一次函数()也叫正比例函数.‎ 图　像 一条直线 性　质 ‎＞0时，随的增大(或减小)而增大(或减小)；‎ ‎＜0时，随的增大(或减小)而减小(或增大).‎ 直线（）的位置与、符号之间的关系.‎ ‎（1）当＞0，＞0时，图像经过第_________象限；‎ ‎（2）当＞0，＜0时，图像经过第_________象限；‎ ‎（3）当＞0，＝0时，图像经过第_________象限；‎ ‎（4）当＜0，＞0时，图像经过第_________象限；‎ ‎（5）当＜0，＜0时，图像经过第_________象限；‎ ‎（6）当＜0，＝0时，图像经过第_________象限；‎ 一次函数表达式的确定 求一次函数 (，为常数，且)时，需要由两个点来确定；求正比例函数()时，只需一个点即可.‎ ‎[例题3]‎ ‎1、在同一直角坐标系中，把直线向 平移 单位，就得到了的图像.‎ ‎2、已知一次函数，则随的增大而_______________（填“增大”或“减小”）．‎ ‎3、一次函数的图像如图所示，则下面结论中正确的是（ ） ‎ A．， 　　B．，‎ C．， 　　D．，‎ ‎[答案]1、A 2、上，3 3、增大 四、求函数解析式的方法：‎ 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法。‎ 步骤——设，代，求，写 ‎[例题4] 1、已知与成正比例，有时，。‎ 10‎ ‎（1）写出与之间的函数关系式。‎ ‎（2）计算时，的值。‎ ‎（3）计算时，的值。‎ ‎[答案]解：（1）设y－3=kx，把x=2，y＝7代入，得k=2，所以y=2x+3‎ ‎（2）把x＝4代入y=2x+3，得y=11‎ ‎（3）把y＝4代入y=2x+3，得x=0.5‎ ‎2、某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观．如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响．但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收入．因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数．在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．求票价提高到每张20元时，门票收入为多少？‎ ‎[答案]解：设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b ‎ 由题意得 票价（元）‎ 人数 ‎（人）‎ ‎5　 10 15 20‎ ‎0‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ ‎4000‎ ‎5000‎ ‎6000‎ ‎7000‎ ‎ 解得 ‎ ∴y=－500x+12000‎ 把x=20代入，y=2000，故票价为20元时，门票收入为2000元。‎ 五、求一次函数与轴与轴的交点坐标 一次函数 (，为常数，且)与轴的交点坐标是（0，）；‎ 与轴的交点坐标是（，0）‎ ‎[例题5] 1、已知一次函数的图象过点与，则该函数的图象与轴交点的坐标为______ ． ‎ ‎2、已知直线与，这两条直线与轴交点间的距离是___________。‎ ‎[答案]1、 2、距离是5‎ ‎【教材解读】‎ ‎1、下列函数中，正比例函数是( ) ‎ 10‎ A． B． C． D． ‎ ‎2、下列说法不正确的是（ ）‎ A.一次函不一定是正比例函数 B.不是一次函数就一定不是正比例函数 C.正比例函数是特殊的一次函数 D.不是正比例函数就一定不是一次函数 ‎3、下列函数中，是的一次函数的是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4、已知等腰三角形的周长为20，将底边（）表示成腰长（）的函数关系式是，则其自变量的取值范围是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．一切实数 ‎5、一次函数的大致图像为 （ ）‎ A B C D B A ‎6、如图，把直线向上平移后得到直线AB，直线AB经过点，且，则直线AB的解析式是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7、一次函数满足时，；时，，则这个一次函数是（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8、已知一次函数的图象与轴交于（0，3），且随值的增大而增大，则的值为（ ）‎ ‎ A．2 B．－4 C．－2或－4 D．2或－4‎ ‎9、已知一次函数过原点，则的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．不能确定 ‎10、下列关系：①面积一定的长方形的长与宽；②圆的周长与半径；③正方形的面积与边长；④速度一定时行驶的路程与行驶时间．其中是的正比例函数的有（ ）‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10‎ ‎11、下列一次函数中，随值的增大而减小的（ ）‎ ‎ A． B． C． D．（‎ ‎12、一次函数的图象不经过（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎13、如图所示的计算程序中，与之间的函数关系所对应的图取相反数 ‎×2‎ ‎＋4‎ 输入x 输出y 象应为（ ）‎ O y x ‎-2‎ ‎- 4‎ A D C B O ‎4‎ ‎2‎ y O ‎2‎ ‎- 4‎ y x O ‎4‎ ‎- 2‎ y x x ‎14、一次函数的图象只经过第一、二、三象限，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎15、一次函数的图象经过点A（－2，－1），且与直线平行，则此函数的解析式为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎16、已知一次函数，当时，，且它的图象与轴交点的纵坐标是3，则此函数的解 析式为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎17、，是正比例函数图象上的两点，则下列判断正确的是（ ）‎ A． B． C．当时， D．当时，‎ ‎18、已知点（，）、（，）都在直线上，且，则与的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎19、已知自变量为的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎20、正比例函数的图像过点（，），则的值为 ( ) ‎ 10‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎21、已知函数，当_____时，它是一次函数，当_____时，它是正比例函数．‎ ‎22、如果一次函数是正比例函数，则的值为_________．‎ ‎23、若正比例函数的图象经过点（2，－5），则随的增大而 。‎ ‎24、一次函数的图象经过点A(－2，－1)，且与直线平行，则此函数解析式为 ‎ ‎25、在同一坐标系中，对于函数①，②，③，④的图象，通过点（－1，0）的是________，相互平行的是_______，交点在轴上的是_____．（填写序号）‎ ‎26、已知一次函数的图象经过点A（1，4）、B（4，2），则这个一次函数的解析式为___________．‎ 第27题图 第28题图 ‎27、如图，该直线是某个一次函数的图象，则此函数的解析式为___________。‎ ‎ ‎ ‎28、如图，线段AB的解析式为____________．‎ ‎29、已知与成正比例，且时，，则与的函数关系式是______；当时， ___．‎ ‎30、已知梯形的高是10，下底长比上底长4，如果设上底长，则梯形面积与的函数关系式是_______，其中自变量的取值范围是____________。‎ ‎31、一个弹簧，不挂物体时，长6，挂上重物后，所挂物体质量每增加1，弹簧就伸长0.25 ，‎ 但质量不得超过10，则弹簧总长（）与所挂物体质量（）之间的函数关系式是__________。其中自变量的取值范围是___________。‎ ‎32、一次函数的图像与轴交于点__________，与轴交于点___________。‎ ‎33、当满足_____________时，一次函数的图像与轴交于负半轴。‎ ‎34、当满足_____________时，一次函数中，随的增大而增大。‎ ‎35、一条平行于直线的直线交轴于点（2，0），则该直线与轴的交点是_________．‎ ‎36、已知一次函数 ‎①写出它与两坐标轴的交点坐标；②写出这条直线与坐标轴围成的三角形面积。‎ 10‎ ‎37、已知一次函数，根据系列条件，请你写出，的取值范围。‎ ‎（1）随的增大而增大；（2）直线与轴的交点在轴下方；（3）图像经过第二、三、四象限。‎ ‎38、某音像出租店，出租影片的收费标准是两天之内还租金1.5元，超过两天之后，多一天多收1元（不足一天按一天计）。请列出租金（元）与出租天数之间的关系式。‎ ‎39、为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：‎ ‎ 档次 高度 第一档 第二档 第三档 第四档 凳高(cm)‎ ‎37.0‎ ‎40.0‎ ‎42.0‎ ‎45.0‎ 桌高(cm)‎ ‎70.0‎ ‎74.8‎ ‎78.0‎ ‎82.8‎ ‎⑴ 小明经过对数据探究，发现：桌高是凳高的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出的取值范围）‎ ‎⑵ 小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为 77 cm，凳于的高度为43．5cm．请你判断它们是否配套？说明理由．‎ ‎【中考演练】‎ ‎1、（ 2011重庆江津）直线的图像经过象限是( )‎ A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 第2题图 ‎【答案】D ‎2、（2011山东泰安）已知一次函数的图像如图所示，‎ 则、的取值范围是（ ）‎ A. ＞0，＜2 B. ＞0，＞2 ‎ 10‎ C. ＜0，＜2 D. ＜0，＞2‎ ‎【答案】D ‎ ‎3、（2011台湾全区）坐标平面上，若点（， ）在方程式的图形上，则值为何？‎ A．－1 B． 2 C．3 D． 9‎ ‎【答案】A ‎4、（2011江西）已知一次函数的图像经过一、二、三象限，则的值可以是（ ）.‎ A. －2 B. －1 C. 0 D. 2‎ ‎【答案】D ‎5、（2011安徽芜湖）已知直线经过点和，则的值为（ ）. ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎6、（2011湖南益阳）如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A处径直走到B处，她在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（ ）‎ 第6题图 Ａ B C D ‎【答案】C ‎7、（2011广东）直线l过A、B两点，A（，），B（，），则直线l的解析式为 ．‎ ‎【答案】y=x-1‎ ‎8、（2011湖南怀化）一次函数中，的值随值增大而___________.(填“增大”或“减小”)‎ ‎【答案】减小 ‎9、(2011江苏镇江)已知关于的一次函数（），若其图象经过原点，则 _____；若的值随值增大而减小，则的取值范围是________.‎ 第10题图 ‎2‎ ‎【答案】，k<0‎ ‎10、（2011湖南衡阳）如图，一次函数的图象与轴的交点坐标为 ‎（2，0），则下列说法：①随的增大而减小；②>0；③关于的方程 10‎ 的解为．其中说法正确的有 （把你认为说法正确的 序号都填上）．‎ ‎【答案】 ①②③‎ ‎【能力拓展】‎ ‎1、若函数是正比例函数，则= ‎ ‎2、如图所示的图象中，不可能是关于的一次函数的图象的是（ ）‎ ‎3、（CJKT40浙江竞赛）若，则一次函数的图像必定经过的象限是（ ）‎ A.第一、二象限 B.第一、二、三象限 C.第二、三、四象限 D.第三、四象限 ‎4、（CJKT45）设直线（为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（＝1，2，…，2000），则的值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎5、（CJKT39）已知，且，则关于自变量的一次函数图像一定经过第___________象限。‎ ‎6、（CJKT45）已知函数，当自变量的取值范围为时，既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数的取值范围为__________________。‎ ‎7、（CJKT45全国初中数学竞赛）如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O ‎（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过点M（2，3），且将多 边形OABCDE分割成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式是 ．‎ 10‎ 解：‎ 如图，延长BC交x轴于点F；连接OB，AFCE，DF，且相交于点N．‎ 由已知得点M（2，3）是OB，AF的中点，即点M为矩形ABFO的中心，所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，‎ 过点N（5，2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．‎ 于是，直线即为所求的直线．‎ 设直线的函数表达式为，则 解得 ,故所求直线的函数表达式为．‎ ‎8、函数是一次函数，求的值。‎ 分析：可能出现以下错误解法 错解：∵函数是一次函数 ‎∴ 2k－1=1‎ ‎∴ k=1‎ ‎∴当k=1时函数是一次函数 错因： 当k=1时，与合并后得y=5.不是函数 解：令的系数为0，变为 ‎ ∴k=－3‎ 10‎