高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案 39页

高考数学圆锥曲线经典例题及总结教案 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址　　 　　圆锥曲线 　　.圆锥曲线的两定义： 　　第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F，F的距离的和等于常数，且此常数一定要大于，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹；双曲线中，与两定点F，F的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于|FF|，定义中的“绝对值”与＜|FF|不可忽视。若＝|FF|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|FF|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 　　2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： 　　（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABc≠0，且A，B，c同号，A≠B）。 　　（2）双曲线：焦点在轴上： 　　=1，焦点在轴上：＝1（）。方程表示双曲线的充要条件是什么？（ABc≠0，且A，B异号）。 　　（3）抛物线：开口向右时，开口向左时，开口向上时，开口向下时。 ‎ ‎　　3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 　　（1）椭圆：由 　　, 　　分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 　　（2）双曲线：由 　　, 　　项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 　　（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 　　提醒：在椭圆中，最大，，在双曲线中，最大，。 　　4.圆锥曲线的几何性质： 　　（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为2，短轴长为2；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆 　　，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。 　　（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2，虚轴长为2，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线 ‎ ‎　　，等轴双曲线 　　，越小，开口越小，越大，开口越大；⑥两条渐近线：。 　　（3）抛物线（以为例）：①范围：；②焦点：一个焦点，其中的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线；⑤离心率：，抛物线 　　。 　　5、点和椭圆（）的关系：（1）点在椭圆外 　　；（2）点在椭圆上 　　＝1；（3）点在椭圆内 　　 　　6．直线与圆锥曲线的位置关系： 　　（1）相交： 　　直线与椭圆相交； 　　直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 　　（2）相切： ‎ ‎　　直线与椭圆相切； 　　直线与双曲线相切； 　　直线与抛物线相切； 　　（3）相离： 　　直线与椭圆相离； 　　直线与双曲线相离； 　　直线与抛物线相离。 　　提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线＝1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 ‎ ‎　　7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： 　　，当即为短轴端点时，的最大值为bc；对于双曲线。如 　　（1）短轴长为， 　　8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦，m为准线与x轴的交点，则∠AmF＝∠BmF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A，B，若P为AB的中点，则PA⊥PB；（4）若Ao的延长线交准线于c，则Bc平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于c点，则A，o，c三点共线。　　　　　　　　 　　9、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，若分别为A、B的纵坐标，则＝，若弦AB所在直线方程设为，则＝。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。 　　抛物线： 　　在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=。 　　提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验！ 　　11．了解下列结论 　　（1）双曲线的渐近线方程为； ‎ ‎　　（2）以为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为为参数，≠0）。 　　（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为； 　　（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为，焦准距（焦点到相应准线的距离）为，抛物线的通径为，焦准距为； 　　（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； 　　（6）若抛物线的焦点弦为AB，，则①；② 　　（7）若oA、oB是过抛物线顶点o的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点 　　12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： 　　（1）给出直线的方向向量或； 　　（2）给出与相交,等于已知过的中点; 　　（3）给出,等于已知是的中点; 　　（4）给出,等于已知与的中点三点共线; 　　（5）给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线. 　　（6）给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角,给出,等于已知是锐角, 　　（8）给出,等于已知是的平分线/ 　　（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形; ‎ ‎　　（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形; 　　（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； 　　（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； 　　（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； 　　（14）在中，给出 　　等于已知通过的内心； 　　（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； 　　（16）在中，给出,等于已知是中边的中线; 　　（3）已知A,B为抛物线x2=2py上异于原点的两点，，点c坐标为（0，2p） 　　（1）求证：A,B,c三点共线； 　　（2）若＝（）且试求点m的轨迹方程。 　　（1）证明：设，由得 　　，又 　　，，即A,B,c三点共线。 　　（2）由（1）知直线AB过定点c，又由及＝（）知omAB，垂足为m，所以点m的轨迹为以oc为直径的圆，除去坐标原点。即点m的轨迹方程为x2+2=p2。 ‎ ‎　　13.圆锥曲线中线段的最值问题： 　　例1、抛物线c:y2¬=4x上一点P到点A与到准线的距离和最小,则点P的坐标为______________ 　　抛物线c:y2¬=4x上一点Q到点B与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 　　。 　　分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。 　　（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：（1）（2，）（2）（） 　　、已知椭圆c1的方程为，双曲线c2的左、右焦点分别为c1的左、右顶点，而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点。 　　求双曲线c2的方程； 　　若直线l：与椭圆c1及双曲线c2恒有两个不同的交点，且l与c2的两个交点A和B满足，求k的取值范围。 　　解：（Ⅰ）设双曲线c2的方程为，则 　　故c2的方程为（II）将 　　由直线l与椭圆c1恒有两个不同的交点得 　　即 　　① 　　.由直线l与双曲线c2恒有两个不同的交点A，B得 ‎ ‎　　解此不等式得 　　③ 　　由①、②、③得 　　故k的取值范围为 　　在平面直角坐标系xoy中，已知点A，B点在直线y=-3上，m点满足mB//oA，mA•AB=mB•BA，m点的轨迹为曲线c。 　　（Ⅰ）求c的方程；（Ⅱ）P为c上的动点，l为c在P点处得切线，求o点到l距离的最小值。 　　设m,由已知得B,A.所以=（-x,-1-y）, 　　=, 　　=.再由愿意得知（+）• 　　=0,即（-x,-4-2y）•=0. 　　所以曲线c的方程式为y=x-2.设P为曲线c：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。 　　则o点到的距离.又，所以 　　当=0时取等号，所以o点到距离的最小值为2. 　　设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于 　　设双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为. 　　过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 ‎ ‎　　已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则•＝0 　　已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则 　　已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ 　　） 　　设已知抛物线c的顶点在坐标原点，焦点为F，直线l与抛物线c相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________. 　　椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 　　；的大小为 　　. 　　过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则________________ 　　【解析】设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得: 　　双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以△=,所以, 　　由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且或.不妨去，则，. 　　∴•＝ 　　【解析】设抛物线的准线为直线 ‎ ‎　　恒过定点P 　　.如图过分别作于,于,由,则,点B为AP的中点.连结,则, 　　点的横坐标为,故点的坐标为 　　,故选D 　　. 　　点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 　　2. 　　PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 　　3. 　　以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 　　4. 　　以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 　　5. 　　若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是. 　　6. 　　若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 　　7. 　　椭圆 ‎ ‎　　的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为. 　　8. 　　椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式： 　　,. 　　9. 　　设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于m、N两点，则mF⊥NF. 　　0. 　　过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点m，A2P和A1Q交于点N，则mF⊥NF. 　　1. 　　AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，m为AB的中点，则， 　　即。 　　2. 　　若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是. 　　3. 　　若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是. 　　二、双曲线 　　. 　　点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. ‎ ‎　　2. 　　PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 　　3. 　　以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 　　4. 　　以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 　　5. 　　若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是. 　　6. 　　若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 　　7. 　　双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为. 　　8. 　　双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,c两点，则直线Bc有定向且（常数）. ‎ ‎　　3. 　　若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点, 　　, 　　，则. 　　4. 　　设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, 　　,，则有. 　　5. 　　若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 　　6. 　　P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立. 　　7. 　　椭圆与直线有公共点的充要条件是. 　　8. 　　已知椭圆（a＞b＞0），o为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|oP|2+|oQ|2的最大值为;（3）的最小值是. ‎ ‎　　9. 　　过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于m,N两点，弦mN的垂直平分线交x轴于P，则. 　　0. 　　已知椭圆（a＞b＞0） 　　,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则. 　　1. 　　设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则. 　　. 　　2. 　　设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，, 　　,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有. 　　. 　　. 　　3. 　　已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线Ac经过线段EF的中点. 　　4. ‎ ‎　　过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 　　5. 　　过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 　　6. 　　椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e. 　　（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 　　7. 　　椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 　　8. 　　椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 　　双曲线 　　. 　　双曲线（a＞0,b＞0）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是. 　　2. ‎ ‎　　过双曲线（a＞0,b＞o）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,c两点，则直线Bc有定向且（常数）. 　　3. 　　若P为双曲线（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点, 　　, 　　，则（或）. 　　4. 　　设双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记, 　　,，则有. 　　5. 　　若双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 　　6. 　　P为双曲线（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则,当且仅当三点共线且和在y轴同侧时，等号成立. 　　7. 　　双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是. 　　8. ‎ ‎　　已知双曲线（b＞a＞0），o为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且. 　　（1）;（2）|oP|2+|oQ|2的最小值为;（3）的最小值是. 　　9. 　　过双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于m,N两点，弦mN的垂直平分线交x轴于P，则. 　　0. 　　已知双曲线（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则或. 　　1. 　　设P点是双曲线（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则. 　　. 　　2. 　　设A、B是双曲线（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，, 　　,，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有. 　　. 　　. 　　3. ‎ ‎　　已知双曲线（a＞0,b＞0）的右准线与x轴相交于点，过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线Ac经过线段EF的中点. 　　4. 　　过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 　　5. 　　过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 　　6. 　　双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e. 　　. 　　7. 　　双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 　　8. 　　双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 　　其他常用公式： 　　、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式： 　　2、直线的一般式方程：任何直线均可写成的形式。 　　3、知直线横截距，常设其方程为 ‎ ‎　　与直线垂直的直线可表示为。 　　4、两平行线间的距离为。 　　5、若直线与直线平行 　　则 　　（斜率）且（在轴上截距） 　　（充要条件） 　　6、圆的一般方程：，特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，半径为的圆。二元二次方程表示圆的充要条件是且且。 　　7、圆的参数方程：（为参数），其中圆心为，半径为。圆的参数方程的主要应用是三角换元：； 　　8、为直径端点的圆方程 　　切线长：过圆（）外一点所引圆的切线的长为（） 　　9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：；②过两圆、交点的圆系为，当时，方程为两圆公共弦所在直线方程.。 　　攻克圆锥曲线解答题的策略 　　摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。 　　关键词：知识储备 　　方法储备 ‎ ‎　　思维训练 　　强化训练 　　第一、知识储备： 　　.直线方程的形式 　　（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 　　（2）与直线相关的重要内容 　　①倾斜角与斜率 　　②点到直线的距离 　　③夹角公式： 　　（3）弦长公式 　　直线上两点间的距离： 　　或 　　（4）两条直线的位置关系 　　①=-1 　　② 　　2、圆锥曲线方程及性质 　　、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 　　标准方程： 　　距离式方程： 　　参数方程： 　　、双曲线的方程的形式有两种 ‎ ‎　　标准方程： 　　距离式方程： 　　、三种圆锥曲线的通径你记得吗？ 　　、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 　　如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点m满足则动点m的轨迹是（ 　　） 　　A、双曲线；B、双曲线的一支；c、两条射线；D、一条射线 　　、焦点三角形面积公式： 　　 　　（其中） 　　、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。 　　（2） 　　（3） 　　、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 　　第二、方法储备 　　、点差法（中点弦问题） 　　设、，为椭圆的弦中点则有 　　，；两式相减得 　　= ‎ ‎　　2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？ 　　设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元••••••，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。 　　例1、已知三角形ABc的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）. 　　（1）若三角形ABc的重心是椭圆的右焦点，试求直线Bc的方程; 　　（2）若角A为，AD垂直Bc于D，试求点D的轨迹方程. 　　分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦Bc的斜率，从而写出直线Bc的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥Ac，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程； 　　解：（1）设B（,）,c,Bc中点为,F则有 　　两式作差有 ‎ ‎　　F为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 　　直线Bc的方程为 　　2)由AB⊥Ac得 　　（2） 　　设直线Bc方程为，得 　　， 　　代入（2）式得 　　，解得或 　　直线过定点（0，，设D（x,y），则，即 　　所以所求点D的轨迹方程是。 　　4、设而不求法 　　例2、如图，已知梯形ABcD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过c、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。 　　分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设c，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略, 　　建立目标函数，整理,化繁为简. ‎ ‎　　解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则cD⊥轴因为双曲线经过点c、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知c、D关于轴对称 　　 　　 　　依题意，记A，c，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 　　， 　　设双曲线的方程为，则离心率 　　由点c、E在双曲线上，将点c、E的坐标和代入双曲线方程得 　　， 　　① 　　 　　② 　　由①式得 　　， 　　③ 　　将③式代入②式，整理得 　　 　　， 　　故 　　 　　由题设得， ‎ ‎　　解得 　　所以双曲线的离心率的取值范围为 　　分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 　　用的横坐标表示，回避的计算,达到设而不求的解题策略． 　　解法二：建系同解法一，， 　　，又，代入整理，由题设得， 　　解得 　　所以双曲线的离心率的取值范围为 　　5、判别式法 　　例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。 　　分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线c相切.而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式.由此出发，可设计如下解题思路： 　　解题过程略. 　　分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解.据此设计出如下解题思路： ‎ ‎　　简解：设点为双曲线c上支上任一点，则点m到直线的距离为： 　　 　　于是，问题即可转化为如上关于的方程. 　　由于，所以，从而有 　　于是关于的方程 　　由可知： 　　方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 　　. 　　由如上关于的方程有唯一解，得其判别式，就可解得 　　. 　　点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性. 　　例4已知椭圆c:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程. 　　分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解.因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的. ‎ ‎　　由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆c的方程，利用韦达定理即可. 　　通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. 　　 　　在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。 　　简解：设，则由可得：， 　　解之得： 　　（1） 　　设直线AB的方程为：，代入椭圆c的方程，消去得出关于x的一元二次方程： 　　（2） 　　∴ 　　代入（1），化简得： 　　 　　与联立，消去得： 　　在（2）中，由，解得 　　，结合（3）可求得 　　故知点Q的轨迹方程为： ‎ ‎　　（）. 　　点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到.这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 　　6、求根公式法 　　例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围. 　　分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展,问题的根源在于对题目的整体把握不够.事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系. 　　分析1: 　　从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k.问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出. 　　简解1：当直线垂直于x轴时，可求得; ‎ ‎　　当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 　　解之得 　　因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形. 　　当时，，， 　　所以 　　===. 　　由 　　,解得 　　， 　　所以 　　， 　　综上 　　. 　　分析2:如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源.由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来.一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式.原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式. ‎ ‎　　简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 　　（*） 　　则 　　令，则， 　　在（*）中，由判别式可得 　　， 　　从而有 　　，所以 　　，解得 　　. 　　结合得. 　　综上，. 　　点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等.本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法. 　　解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里. ‎ ‎　　第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。 　　例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，． 　　（Ⅰ）求椭圆的标准方程； 　　（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。 　　思维流程： 　　 　　解题过程： 　　（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 　　又∵即 　　，∴ 　　故椭圆方程为 　　（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 　　设，∵，故， 　　于是设直线为 　　，由得， ‎ ‎　　∵ 　　又 　　得 　　即 　　由韦达定理得 　　解得或（舍） 　　经检验符合条件． 　　点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零． 　　例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点． 　　（Ⅰ）求椭圆的方程： 　　（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标； 　　思维流程： 　　（Ⅰ） 　　 　　解题过程：（Ⅰ）设椭圆方程为 　　，将、、代入椭圆E的方程，得 　　解得.∴椭圆的方程 　　． 　　（Ⅱ），设Δ边上的高为 ‎ ‎　　当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为． 　　设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以， 　　所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为. 　　点石成金： 　　例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点. 　　（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程； 　　（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 　　思维流程： 　　（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 　　将代入，消去整理得 　　设 　　则 　　由线段中点的横坐标是， 　　得，解得，符合题意。 　　所以直线的方程为 　　，或 　　. 　　（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数. 　　①当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知 　　所以 ‎ ‎　　将代入，整理得 　　注意到是与无关的常数，从而有，此时 　　②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时，亦有 　　 　　综上，在轴上存在定点，使为常数. 　　点石成金： 　　 　　例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点m（2，1），平行于om的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。 　　（Ⅰ）求椭圆的方程； 　　（Ⅱ）求m的取值范围； 　　（Ⅲ）求证直线mA、mB与x轴始终围成一个等腰三角形. 　　思维流程： 　　解：（1）设椭圆方程为 　　则 　　∴椭圆方程为 　　（Ⅱ）∵直线l平行于om，且在y轴上的截距为m 　　又kom= 　　由 ‎ ‎　　∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， 　　（Ⅲ）设直线mA、mB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 　　设 　　则 　　故直线mA、mB与x轴始终围成一个等腰三角形. 　　点石成金：直线mA、mB与x轴始终围成一个等腰三角形 　　例10、已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是 　　（1）求双曲线的方程； 　　（2）已知直线交双曲线于不同的点c，D且c，D都在以B为圆心的圆上，求k的值. 　　思维流程： 　　解：∵（1）原点到直线AB：的距离. 　　故所求双曲线方程为 　　（2）把中消去y，整理得 　　. 　　设的中点是，则 　　即 　　故所求k=±. 　　点石成金:c，D都在以B为圆心的圆上Bc=BDBE⊥cD; ‎ ‎　　例11、已知椭圆c的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． 　　（Ⅰ）求椭圆c的标准方程； 　　（II）若直线y=kx+m与椭圆c相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆c的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 　　思维流程： 　　解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为， 　　由已知得：， 　　椭圆的标准方程为． 　　（II）设． 　　联立 　　得 　　，则 　　又． 　　因为以为直径的圆过椭圆的右顶点， 　　，即. 　　． 　　． 　　． 　　解得：，且均满足． 　　当时，的方程，直线过点，与已知矛盾； 　　当时，的方程为，直线过定点． ‎ ‎　　所以，直线过定点，定点坐标为． 　　点石成金：以AB为直径的圆过椭圆c的右顶点 　　cA⊥cB; 　　例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上. 　　（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程； 　　（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 　　思维流程： 　　解：（Ⅰ）由题意知, 　　, 　　, 　　, 　　（1分） 　　解得 　　. 　　由双曲线定义得: 　　, 　　所求双曲线的方程为: 　　因,由斜率之积为,可得解. 　　（Ⅱ）设, 　　设P的坐标为,由焦半径公式得,, ‎ ‎　　， 　　的最大值为2,无最小值.此时, 　　此时双曲线的渐进线方程为 　　设,. 　　当时, 　　, 　　此时 　　. 　　当,由余弦定理得: 　　, 　　,,综上,的最大值为2,但无最小值. ‎