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- 2021-04-28 发布
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5.1.2 数据的数字特征
素养目标·定方向
课程标准
学法解读
1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数、极差、方差和标准差的意义和作用.
2.会计算数据的这些数字特征,并能解决有关实际问题.
1.通过本节课的学习,提高学生的数据分析和数学运算素养.
2.通过极差、方差和标准差的求解及应用,提高学生的数据分析、逻辑推理和数学运算素养.
必备知识·探新知
知识点
最值
一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的是这组数最极端的情况.
一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.
知识点
平均数
1.定义:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为=(x1+x2+…+xn).
这一公式在数学中常简记为=i.
2.求和符号∑具有的性质
(1)(xi+yi)=i+i.
(2)(kxi)=ki.
(3)=nt.
3.如果x1,x2,…,xn的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数是a+B.
思考1:(1)x5+x6+…+x15如何用符号∑表示?
- 8 -
(2)如何证明(kxi)=ki?
提示:(1)x5+x6+…+x15=i.
(2)(kxi)=kx1+kx2+…+kxn
=k(x1+x2+…+xn)=ki.
知识点
中位数
1.如果一组数有奇数个数,并按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数.
2.如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称为这组数的中位数.
知识点
百分位数
1.定义:一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.
2.计算方法:
设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,…,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取xi0为p%分位数;如果i是整数,取为p%分位数.规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).
思考2:中位数和百分位数的关系是什么?
提示:中位数是50%分位数.
知识点
众数
一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
知识点
极差
一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.
知识点
方差与标准差
- 8 -
(1)如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差s2=(xi-)2,方差的算术平方根称为标准差.
(2)如果x1,x2,…,xn的方差为s2,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,……,axn+b的方差是a2s2.
思考2:(1)方差和标准差的取值范围是什么?方差、标准差为0的含义是什么?
(2)方差和标准差是如何反映一组数据的离散程度的?
提示:(1)标准差、方差的取值范围:[0,+∞).
标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度.
(2)标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
关键能力·攻重难
题型探究
题型
最值、平均数、众数的确定
┃┃典例剖析__■
典例1 某公司员工的月工资情况如表所示:
月工资/元
8 000
5 000
4 000
2 000
1 000
800
700
员工/人
1
2
5
8
20
12
2
(1)分别计算该公司员工月工资的最值、平均数、和众数;
(2)你认为用哪个数来代表该公司员工的月工资更合理?
[解析] (1)该公司员工月工资的最大值为8 000元,最小值为700元,众数为1 000元.平均数为(8 000×1+5 000×2+4 000×5+2 000×8+1 000×20+800×12+700×2)=1 700(元).
(2)用众数,因为最大值为8 000元且只有一个,无法代表该公司员工的月工资,平均数受到最大值的影响,也无法代表该公司员工的月工资,每月拿1 000元的员工最多,众数代表该公司员工的月工资最合理.
规律方法:1.把数据从小到大排列,根据定义即可确定最值和众数.
2.平均数的求法
(1)用定义式;
- 8 -
(2)用平均数的性质;
(3)在容量为n的一组数据中,若数据x1有n1个,x2有n2个,…,xk有nk个,且n=n1+n2+…+nk,则这组数据的平均数为(n1x1+n2x2+…+nkxk)=x1+x2+…+xk.
┃┃对点训练__■
1.某校在一次考试中,甲、乙两班学生的数学成绩统计如下:
分数
50
60
70
80
90
100
人数
甲班
1
6
12
11
15
5
乙班
3
5
15
3
13
11
选用平均数与众数评估这两个班的成绩.
[解析] 甲班平均数为(50×1+60×6+70×12+80×11+90×15+100×5)=79.6(分),
乙班平均数为(50×3+60×5+70×15+80×3+90×13+100×11)=80.2(分),
从平均分看成绩较好的是乙班;
甲班众数为90分,乙班众数为70分,从众数看成绩较好的是甲班.
题型
中位数、百分位数的计算
┃┃典例剖析__■
典例2 (1)已知一组数据8,6,4,7,11,6,8,9,10,5,则该组数据的中位数是__7.5__;
(2)甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下:甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49.
乙运动员得分:8,13,14,16,23,26,28,29,31,38,39,51.
求甲、乙两名运动员得分的25%分位数,75%分位数和90%分位数.
[解析] (1)已知数据从小到大排列为:4,5,6,6,7,8,8,9,10,11,共10个数,所以中位数是=7.5.
(2)两组数据都是12个数,而且12×25%=3,12×75%=9,12×90%=10.8,
因此,甲运动员得分的25%分位数为==22.5,
甲运动员得分的75%分位数为==38,
甲运动员得分的90%分位数为x11=44.
乙运动员得分的25%分位数为==15,
- 8 -
乙运动员得分的75%分位数为==34.5,
乙运动员得分的90%分位数为x11=39.
规律方法:1.求中位数的一般步骤
(1)把数据按大小顺序排列.
(2)找出排列后位于中间位置的数据,即为中位数.若中间位置有两个数据,则求出这两个数据的平均数作为中位数.
2.求百分位数的一般步骤
(1)排序:按照从小到大排列:x1,x2,…,xn.
(2)计算:求i=np%的值.
(3)求值:
分数
p%分位数
i不是整数
xi0,其中i0为大于i的最小整数
i是整数
┃┃对点训练__■
2.确定数据0,0,0,0,1,1,2,3,4,5,6,6,7,7,10,14,14,14,14,15的28%分位数和75%分位数.
[解析] 因为数据已从小到大排列,共有20个.
而且i1=20×28%=5.6,不为整数,
i2=20×75%=15是整数,
因此,此数据的28%分位数为x6=1,75%分位数为==12.
题型
极差、方差、标准差的计算
┃┃典例剖析__■
典例3 已知一组数据:2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6.
(1)求极差;
(2)求方差;
(3)求标准差.
[解析] (1)最大值为6,最小值为2,极差为4.
(2)可将数据整理为
x
2
3
4
5
6
频数
3
4
5
6
2
- 8 -
每一个数都减去4可得
x-4
-2
-1
0
1
2
频数
3
4
5
6
2
这组数的平均数与方差分别为
×[(-2)×3+(-1)×4+0×5+1×6+2×2]=0,
×[(-2)2×3+(-1)2×4+02×5+12×6+22×2]=.
因此,所求平均值为4,方差为.
(3)由(2)知标准差为.
规律方法:求方差的基本方法
(1)先求平均值,再代入公式s2=(xi-)2,或s2=-2.
(2)用性质.
(3)当一组数据重复数据较多时,可先整理出频数表,再计算s2.
┃┃对点训练__■
3.(1)有一笔统计资料,共有11个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为( A )
A.6 B.
C.66 D.6.5
(2)若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为( C )
A.8 B.15
C.16 D.32
[解析] (1)因为=(2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)=(61+x)=6,所以x=5.
方差为s2=
==6.
(2)样本数据x1,x2,…,x10的标准差s=8,则而样本数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差s′=2×8=16.
题型
分层抽样的方差
┃┃典例剖析__■
- 8 -
典例4 甲、乙两班学生参加了同一考试,其中甲班50人,乙班40人.甲班的平均成绩为80.5分,方差为500;乙班的平均成绩为85分,方差为360.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩和方差分别是多少?
[解析] 设甲班50名学生的成绩分别是a1,a2,…,a50,那么甲班的平均成绩和方差分别为
甲==80.5(分),
s==500.
设乙班40名学生的成绩分别是b1,b2,…,b40,那么乙班的平均成绩和方差分别为
乙==85(分),
s==360.
如果不知道a1,a2,…,a50和b1,b2,…,b40,只知道甲、乙两班的平均成绩、方差及甲、乙两班的人数,那么根据前面的分析,全部90名学生的平均成绩应为
===82.5(分),
方差s2=
=
=≈442.78.
规律方法:若样本中有两层,第一层有m个数,分别为x1,x2,…,xm,平均数为,方差为s2;第二层有n个数,分别为y1,y2,…,yn,平均数为,方差为t2,则样本的均值为=,方差为.
┃┃对点训练__■
4.在考察某中学学生身高时,采用分层抽样的方法得到了20名男生身高的平均值为170,方差为16;15名女生的身高的平均值为165,方差为25,试计算这35名学生的方差.
[解析] 由题意知男=170,s=16,女=165,s=25,则=
- 8 -
≈167.86,s2=
≈25.98.
易错警示
┃┃典例剖析__■
典例5 下面是某赛季甲、乙两名篮球队员每场比赛得分情况:
甲:4 14 14 24 25 31 32 35 36 36 39 45 49
乙:8 12 15 18 23 27 25 32 33 34 41
则甲、乙得分的中位数之和是( B )
A.56分 B.57分
C.58分 D.59分
[错解] D 因为甲的中位数是32,乙的中位数是27,所以甲、乙得分的中位数之和是59.
[辨析] 本题易忽视求乙得分的中位数时,没有将数据从小到大排列起来,将原始数据中的中间一个数误认为就是乙得分的中位数而导致错误.因此理解样本的数字特征的含义较为重要.
[正解] 由题可知甲得分的中位数为32分,乙得分的数据从小到大排列为:8,12,15,18,23,25,27,32,33,34,41,故乙得分的中位数为25分,因此甲、乙两人得分的中位数之和为57分.
- 8 -