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国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案 ‎ 国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务4试题及答案 形考任务4 常微分方程学习活动4 第二章 基本定理的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1. 方程的任一非零解 不能 与x轴相交． 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的充分 条件． 3. 方程+ ysinx = ex的任一解的存在区间必是(-∞,+∞) ． 4．一阶显式方程解的最大存在区间一定是 开区间 ． 5．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面 ． ‎ ‎6．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是　XOY平面． 7．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是XOY平面． 8．方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是---，（或不含x 轴的上半平面）． 9．方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是全平面． 10．一个不可延展解的存在在区间一定 开 区间． 二、计算题 1．判断下列方程在怎样的区域上保证初值解存在且惟一？ （1） （2）1．解 （1) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一. （2) 因为及在整个平面上连续, 且满足存在唯一性定理条件, 所以在整个平面上, 初值解存在且唯一. 2． 讨论方程在怎样的区域中满足定理2.2的条件．并求通过的一切解． 2.解 因为方程在整个平面上连续, 除轴外, 在整个平面上有界, 所以除轴外在整个平面上都满足定理2.1的条件. 而后分离变量并积分可求出方程的通解为 其中 另外容易验证是方程的特解. 因此通过的解有无穷多个, 分别是: 3．判断下列方程是否有奇解？如果有奇解，求出奇解． （1） （2）3．解 （1) 因为在半平面上连续, 当时无界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程无奇解. （2) 因为在的区域上连续, 当时无界, 所以如果方程有奇解, 则奇解只能是 显然是方程的解, ‎ 是否为奇解还需要进一步讨论. 为此先求出方程的通解 由此可见对于轴上点 存在通过该点的两个解: 及 故是奇解. 三、证明题 1．试证明：对于任意的及满足条件的，方程的解在上存在． 2．设在整个平面上连续有界，对有连续偏导数，试证明方程的任一解在区间上有定义． 3．设在区间上连续．试证明方程 的所有解的存在区间必为． 4．在方程中，已知，在上连续，且．求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为． 5．假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有 <成立． 6．设是方程 的非零解，其中在上连续．求证：当时，必有． 7．设在上连续可微，求证：对任意的，，方程 ‎ ‎ 满足初值条件的解必在上存在． 8．证明：一阶微分方程 的任一解的存在区间必是． 1．证明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函数满足解的延展定理以及存在唯一性定理的条件. 现在考虑过初值 ()的解, 根据唯一性, 该解不能穿过直线和. 因此只有可能向左右两侧延展, 从而该初值解应在上存在. 2．证明 不妨设过点分别作直线 和 . 设过点的初值解为. 因为, 故在的某一右邻域内,积分曲线位于之下, 之上. 下证曲线不能与直线相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾证明曲线不能与直线相交. 同理可证, 当时, 它也不能与相交. 故当 时解曲线位于直线, 之间. 同理可证, 当时, 解曲线也位于直线, 之间. 由延展定理, 的存在区间为。 3．证明 由已知条件，该方程在整个 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 是方程的两个常数解． 任取初值，其中,．记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为． 4．证明 由已知条件可知，该方程在整个 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解 ． ‎ ‎ 对平面内任一点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义． 若,则,记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域 内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为． 5．证明 仅证方向，（反之亦然）． 假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾）． 令=-，那么 =-< 0， =-> 0 由连续函数介值定理，存在，使得 =-= 0 即 = 这与解惟一矛盾 6．证明 由已知条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件． 设是方程的一个非零解，假如它满足 ，， ‎ 由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾． 7．证明 该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理． 又 是该方程的两个常数解． 现取，，记过点的解为．一方面该解可向平面的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越，否则将破坏解的惟一性．因此，该解只能在区域内沿x轴两侧无限延展，显然其定义区间必是． 8．证明 方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又是方程的常数解． 对平面上任取的 若则对应的是常数解其存在区间显然是 若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是． 四、应用题 ‎ 1．求一曲线，具有如下性质：曲线上任一点的切线，在轴上的截距之和为1． 2．求一曲线，此曲线的任一切线在两个坐标轴间的线段长等于常数． 1．解 首先, 由解析几何知识可知, 满足 的直线 都是所求曲线. 设 (x, y) 为所求曲线上的点，(X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 . 解出y, 得到克莱洛方程 , 通解为 所以 , 即 为所求曲线方程. 2．解 设 (x, y) 为所求曲线上的点, (X, Y)为其切线上的点, 则过 (x, y) 的切线方程为 . 显然有 此处 a 与 b 分别为切线在Ox 轴与Oy 轴上的截距. 故 , 即. 解出得 故曲线的方程为 消去即的曲线方程为 .‎