吉林省东北师范大学附属中学2019届高三第四次模拟考试数学（理）试题 Word版含解析 22页

www.ks5u.com 东北师大附中2019年第四次模拟考试 数学（理科）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.‎ ‎1.集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可知B是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。‎ ‎【详解】因为集合B是偶数集，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题。‎ ‎2.设（a，，i是虚数单位），且，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将,再和的实部和虚部对比，得出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，，‎ 解得或，所以，故选D.‎ ‎【点睛】此题考查了复数的乘法运算，属于基础题。‎ ‎3.已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量的几何意义，因为，所以，再运用向量积的运算得到参数的值.‎ ‎【详解】因为，所以，所以，将和 代入，得出，所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于基础题。‎ ‎4.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（ ）‎ A. 1 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值。‎ ‎【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<，程序运行结束，得，故选C。‎ ‎【点睛】本题考查程序框图，是基础题。‎ - 22 -‎ ‎5.已知随机变量服从正态分布，如果，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 依题意得：，．‎ 故选A．‎ ‎6.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.‎ ‎【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.‎ ‎【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.‎ ‎7.如图，己知函数的图像关于坐标原点O对称，则函数的解析式可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抓住奇函数的判定性质，代入，即可。‎ ‎【详解】根据关于原点对称可知该函数为奇函数,‎ 对于A选项,为偶函数,不符合;‎ 对于B选项定义域不对;‎ 对于C选项当x>0的时候，恒成立不符合该函数图像，故错误；‎ 对于D选项，，符合判定，故选D。‎ ‎【点睛】考查了奇函数的判定性质，关键抓住，即可，难度中等。‎ ‎8.已如定义在上的函数的周期为6．且，则（ ）‎ A. 11 B. C. 7 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数是周期函数这一性质求得和.‎ ‎【详解】根据的周期是6，故，，所以,故选A.‎ ‎【点睛】此题考查周期函数的性质，属于基础题.‎ - 22 -‎ ‎9.四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年美国数学家阿佩尔与哈肯证明了四色定理．其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字．”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域（如区域D由两个边长为1的小正方形构成）上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A、B、C、D、E、F标记的数字丢失若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相邻的两个区域必须是不同的数字这一规则，逐个区域进行判断。区域C相邻给定的标记为1,2,3的区域，从而可以最先判断。最后可根据几何概型的概率求法来求得概率。‎ ‎【详解】因为区域C相邻标记1，2，3的区域，所以区域C标记4。进而区域D相邻标记2,3,4的区域，从而推出区域D标记1。区域A相邻标记1,2,4的区域，所以区域A标记3。区域E相邻标记2,3,4的区域，从而区域E标记1。区域F相邻标记1,3,4的区域，从而标记2。区域B相邻标记为1,2,3的区域，所以标记4。所以只有B,C标记为4，共占8个边长为1的正方形，面积为8。总共的区域面积为30，所以在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为4的区域的概率是,故选B.‎ ‎【点睛】此题除了考查概率的基础知识外，更重要考查处理问题的能力。‎ ‎10.等差数列的前n项的和为，公差，和是函数的极值点，则（ ）‎ A. B. 38 C. D. 17‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用函数极值条件，来计算和，再根据等差数列性质和求和公式算出.‎ ‎【详解】由题，又因为公差，所以,。经计算，。所以，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查函数极值和导数的计算，还有等差数列求和公式，属于综合题，但难度不高,属于中档题.‎ ‎11.在三棱锥中，已知平面ABC，且为正三角形，，点O为三棱锥的外接球的球心，则点O到棱DB的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题中要求点O到棱DB的距离，需要计算出外接圆半径r和棱DB的长度，再用勾股定理计算。棱DB很容易求得，半径则需要找到一个截面圆来确定。注意到平面ODA截外接球是一个很好的截面圆，因为它正好是外接球和四棱锥的对称面.‎ ‎【详解】作平面ODA交平面BC于E，交于F，设平面ODA截得外接球是，D,A,F是表面上的点，又平面ABC，，DF是的直径，因此球心O在DF上，AF是的直径，连结BD,BF，，，平面DAB，，，，又DO=OF，OH是 的中位线，,故.故选D.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题是三棱锥外接球的典型问题，是有难度的一类问题。一般这类问题需要用平面截外接球所得的外接圆，将立体问题转化为平面问题。‎ ‎12.已知A、B是抛物线上的两点，直线AB垂直于轴，F为抛物线的焦点，射线BF交抛物线的准线于点C，且，的面积为，则的值为（ ）‎ A. B. 1 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义，即抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离。注意到，然后结合三角形的面积来列出方程解出.‎ ‎【详解】过点A做AH垂直于准线，垂足为H，做CG垂直于AB，垂足为G，根据抛物线的定义AH=AF，，因此DE=AH=CG=AF，‎ 由，，得 又，则，，可得，又因，所以EF=2，因为EF - 22 -‎ 正好是焦点到准线的距离，即.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质和利用三角形剖分和切补来计算其面积，是一道有难度的综合题.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.‎ ‎13.若实数x，y满足：，则的最大值是________；‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可行域求最大值。‎ 详解】由题意作图 可知，在点（3,4）处取得最大值，。‎ ‎【点睛】本题考查线性规划，属于基础题。‎ - 22 -‎ ‎14.已知等比数列前n项和为，满足，，则________；‎ ‎【答案】或n ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和q=1两种情况求的值。‎ ‎【详解】由题当时，，解得(q+2)(q-1)=0，得q=2，此时；得当q=1时，，，满足题意，则此时；综上或n ‎【点睛】本题考查等比数列求和。‎ ‎15.已知函数的图象过点，且图象上与点P最近的一个最高点是，把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则函数的单调递增区间是________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用给出的特殊点求出图像，再根据函数伸缩变换规律求出，进而求出的单调递增区间.‎ ‎【详解】因为函数的图像过 - 22 -‎ ‎，又因为图象上与点最近的一个最高点是，所以并且的横坐标差个周期，所以，故 ，将代入得，又因为，故，故.现将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的=2倍得到函数的图象，那么，故它的单调递增区间是 ‎【点睛】此题灵活的考查了正弦曲线各种性质和函数图像的伸缩变换，是一道好的三角函数综合题.‎ ‎16.已知是函数的导函数，且，，则下列说法正确的是___________.‎ ‎①；‎ ‎②曲线在处的切线斜率最小；‎ ‎③函数在存在极大值和极小值；‎ ‎④在区间上至少有一个零点.‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的导数的正负性来判断的单调性，逐个选项进行判断.‎ ‎【详解】因为，所以，那么，即，又因为，所以，.①中不能从条件判断出来，比如和 - 22 -‎ 均符合题中函数，但是可正可负.，所以①错误。②曲线的曲线切线斜率最小即的函数值最小，又由 知道二次函数的开口朝上，所以在对称轴即的值最小，所以②正确.‎ ‎③函数在是否存在极大值和极小值取决于的正负性，而是开口朝上的二次函数，又因为，所以存在两个零点，并且在上，在上，在上.可知在取得极大值,在取得极小值,所以③正确。④，而，‎ ‎，所以，那么之间至少有一个数为正，而因为的图像是一条连续的曲线，所以若，可得在在至少有一个零点，若，可得在在至少有一个零点，所以在区间上至少有一个零点. ④正确。所以此题①错误，②③④正确。‎ ‎【点睛】此题是函数，导数，不等式的综合题，难度较高，属于拔高题。‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎17.已知的内角、、的对边分别为、、，满足且．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）求周长L的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用正弦定理将已知等式化为正弦，余弦角的关系，化简整理可得角B。（2）三角形周长L=a+b+c，已知b=3，根据余弦定理建立a，b，c三边的关系，由不等式性质可得周长最大值。‎ ‎【详解】解：（1），由正弦定理得 - 22 -‎ ‎，‎ 即，‎ 又，‎ 所以，又，得 ‎（2）在中，由余弦定理得，‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 当时，的周长L最大值为9．‎ ‎【点睛】本题考查正，余弦定理和用均值不等式求最大值，是常见考点。‎ ‎18.2019年是扶贫的关键年，作为产业扶贫的电商扶贫将会迎来更多的政策或扶持．京东、阿里、拼多多、抖音、苏宁等互联网公司都纷纷加入电商扶贫．城乡各地区都展开农村电商培训，如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训．某部门组织A、B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查，从获取的有效问卷中，针对25至55岁的人群，接比例随机抽取400份，进行数据统计，具体情况如下表：‎ A组统计结果 B组统计结果 参加电商培训 不参加电商培训 参加电商培训 不参加电商培训 ‎50‎ ‎25‎ ‎45‎ ‎20‎ ‎35‎ ‎43‎ ‎30‎ ‎32‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎20‎ ‎20‎ - 22 -‎ ‎（1）先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本，将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去。‎ ‎①这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数；‎ ‎②调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人，安排进入抖音公司参观学习，求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望；‎ ‎（2）从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄（记作m岁）有关”的结论．请列出列联表，用独立性检验的方法，通过比较的观测值的大小，判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小？‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（1）8（2）①见解析②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）①由分层抽样可得；②“参加培训年龄达到45岁”的A组4人，B组4人，可得分布列和期望；（2）分别做出35岁和45岁的列联表，根据公式计算两者的概率k，比较概率大小，即可得出结论。‎ ‎【详解】解：（1）①.400人中抽取80人，其中年龄达到45岁且参加培训的有人，‎ ‎②.抽取的A组人年龄达到45岁参加培训的有4人，所以抽取的3人中A组人数X的可能取值为0，1，2，3‎ ‎，，‎ ‎，‎ 所以X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P - 22 -‎ ‎（2）按年龄是否达到35岁，整理数据得到如下列联表：‎ 参加电商培训 不参加电商培训 合计 未达到35岁 ‎95‎ ‎45‎ ‎140‎ 达到35岁 ‎105‎ ‎155‎ ‎260‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 所以时，的观测值 按年龄是否达到45岁，整理数据得到如下列联表：‎ 参加电商培训 不参加电商培训 合计 未达到45岁 ‎160‎ ‎120‎ ‎280‎ 达到45岁 ‎40‎ ‎80‎ ‎120‎ 合计 ‎200‎ ‎200‎ ‎400‎ 所以时，的观测值 因为，欲使犯错误的概率尽可能小，取．‎ ‎【点睛】此题考查运用概率和数理统计知识解决实际问题的能力，覆盖了大量的知识点，是一道很好的综合题。‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，为侧棱 - 22 -‎ ‎（包含端点）上的动点.‎ ‎（Ⅰ）当时，求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）当直线与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过做辅助线，根据线线平行，推得线面平行；（2）建立直角坐标系，根据线面角正弦值为，可得平面CDE的法向量，再计算出平面BDE的法向量，即可求二面角余弦值。‎ ‎【详解】解析：（1）连结AC交BD于O，连结OE；‎ 由题意，，；‎ 因为，所以 所以 因为平面ADE，平面BDE 所以平面BDE．‎ ‎（2）过A作于F，则在中，，，；‎ 以A为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴和z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设．‎ - 22 -‎ 则，，，，；‎ ‎，，，；‎ 设向量为平面CDE的一个法向量，则由且，‎ 有，令，得；‎ 记直线BE与平面CDE所成的角为，‎ 则，，此时，； ‎ 设向量为平面BDE的一个法向量，则由且，有，令，得；‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查直线和平面的位置关系，用建系的方法求两平面夹角余弦值，是常见考题。‎ ‎20.已知椭圆与轴正半轴交于点，离心率为．直线经过点和点．且与椭图E交于A、B两点（点A在第二象限）．‎ ‎（1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若，当时，求的取值范围．‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据椭圆的性质可得其标准方程；（2）由P，Q两点可得直线l的方程，与椭圆方程联立消去x得到关于y的方程，且，由可得，通过已知将其化为只含有和t的等式，再根据t的范围可得的范围。‎ ‎【详解】解析：1．由题意，且，所以，‎ 所以椭圆E的标准方程为．‎ ‎2．因为直线l经过点和点，所以直线l的斜率为，设，将其代入椭圆方程中，‎ 消去得，‎ 当时，设、，‎ 则……①，……②‎ 因为，所以，所以……③‎ 联立①②③，消去、，整理得．‎ 当时，，解 由且，‎ 故，所以．‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，用了设而不求的思想，还涉及了简单的数列的知识。‎ - 22 -‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）讨论函数单调性；‎ ‎（2）设函数，当时，对任意的恒成立，求满足条件的最小的整数值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出的具体形式，然后分离参数，进而讨论函数最值的范围，得出整数参量的取值范围.‎ ‎【详解】解：Ⅰ．由题意，函数的定义域为，‎ 当时，，单调增区间为：‎ 当时，令，‎ 由，得，，‎ 的单调递增区间为，的单调递减区间为：‎ Ⅱ．由，‎ 因为对任意的恒成立 当时对任意的恒成立，‎ ‎，‎ 只需对任意的恒成立即可。‎ - 22 -‎ 构造函数 ‎，‎ 且单调递增，‎ ‎，‎ 一定存在唯一的，使得 即，.‎ 单调递增区间，单调递减区间．‎ 的最小的整数值为 ‎【点睛】本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式的综合题，难度较大。‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.‎ ‎22.在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立根坐标系．曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．‎ ‎【答案】（1），（2）1‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去t即可得的普通方程，通过移项和可得的普通方程；（2）由可得的几何意义是斜率，将的参数方程代入的普通方程，得到关于t的方程且，由韦达定理可得。‎ ‎【详解】解：1．由，（t为参数），消去参数t，得，即的都通方程为，由，得，即，‎ 将代入，得，即的直角坐标方程为．‎ ‎2．由（t为参数），得，则的几何意义是抛物线上的点（原点除外）与原点连线的斜率．由题意知，‎ 将，（t为参数）代入，得．‎ 由，且得，且．‎ 设M，N对应的参数分别为、，则，，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程化为普通方程和参数方程在几何问题中的应用。‎ ‎23.已知．‎ ‎（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；‎ ‎（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．‎ ‎【答案】（1）6（2）2‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将f(x)和f(2x)代入F(x)，去绝对值得出分段函数，找出取得最小值的点，即可求出a；（2）将a=2代入函数，由绝对值不等式可得k的值，再根据均值不等式可求得的最小值。‎ ‎【详解】解：（1），，函数 当时，函数的最小值为，．‎ ‎（2）当时，，‎ ‎，，所以 因为，‎ 所以当，即，时，最小值为2‎ ‎【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式和均值不等式（a>0，b>0），是常见题型。‎ ‎ ‎ - 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