【数学】2020届一轮复习人教B版 计数原理 课时作业 8页

2020 届一轮复习人教 B 版 计数原理 课时作业 1、某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求 语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数 是( ) A．24 B．16 C．8 D．12 2、 的展开式中 的系数是（ ） A． 56 B． 84 C． 112 D． 168 3、某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两 类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（　　） A． 30 种 B． 35 种 C． 42 种 D． 48 种 4、 展开式中 x2 的系数为( ) A．－1280 B．4864 C．－4864 D．1280 5、已知二项式 展开式中含 项的系数为 ，则实数 的值是（ ） A． B． C． D． 6、若 的展开式中只有第 项的系数最大，则该展开式中的常数项 为________． 7、若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有________ 种． 8、二项式 的展开式中 的系数是________． 9、在 的展开式中，含 的项的系数是__________． 10、一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是 ， ，，当且仅当 且 时称为“凸数”．现从 ， ， ， 中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的 概率是______. 11、从 1 到 9 这 9 个数字中取 3 个偶数和 4 个奇数,试问: (1)能组成多少个没有重复数字的七位数? (2)在(1)中的七位数中,偶数排在一起,奇数也排在一起的有多少个? (3)在(1)中任意 2 个偶数都不相邻的七位数有多少个? 12、已知(a2+1)n 的展开式中的各项系数之和等于 的展开式中的常数项, 而(a2+1)n 的展开式中系数最大的项等于 54,求正数 a 的值. 13、设集合 M={-3,-2,-1,0,1,2},P(a,b)是坐标平面上的点,a,b∈M.求: (1)P 可以表示多少个平面上的不同的点? (2)P 可以表示多少个第二象限的点? (3)P 可以表示多少个不在直线 y=x 上的点? 14、6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种.(列出算式即可) (1)任何 2 名女生都不相邻,有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙顺序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法? 参考答案 1、答案：B 根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整 体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有 3 个空位；（3）数学课 不排第一行，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个，得数学、物理的安排方 法，最后利用分步计数原理，即可求解。 【详解】 根据题意，可分三步进行分析： （1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 种情况； （2）将这个整体与英语全排列，有 中顺序，排好后，有 3 个空位； （3）数学课不排第一行，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个， 安排物理，有 2 中情况，则数学、物理的安排方法有 种， 所以不同的排课方法的种数是 种，故选 B。 本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相 邻问题的处理方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试 题。 2、答案：D 因为 的展开式中 的系数为 ， 的展开式中 的系数为 ，所以 的系数 为 .故选 D. 【考点定位】二项式定理 3、答案：A 选修 门 类， 门 类课程的选法有 种， 选修 门 类， 门 类课程的选法有 种， 故选法有 （种） 故选 4、答案：A 根据二项式展开式的公式得到具体为： 化简求值即可. 【详解】 根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出 项，第二个括号里出 项，或者第一个 括号里出 ，第二个括号里出 ，具体为： 1 A 2 B 1 2 3 4C C 2 A 1 B 2 3 3 4C C 1 2 2 3 3 4 3 4 18 12 30C C C C+ = + = A 化简得到-1280 x2 故得到答案为：A. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项， 由特定项得出值，最后求出其参数. 5、答案：A 现 根 据 二 项 式 展 开 式 得 到 ， 再 利 用 ，进而求解. 【详解】 二 项 式 展 开 式 中 含 项 ， 根 据 二 项 式 的 展 式 的 公 式 得 到 ，令 . 此时的系数为 故答案为：A. 这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是 求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用 的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等。 6、答案：210 由于只有第 6 项的系数最大，所以 n=10,所以展开式的通项公式为 ，则当 r=6 时，展式式中为常数项，所以常数项为 210. 7、答案：23 先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可. 【详解】 “我爱中国”,这四个字的全排列有 种，其中有一种是正确的，故错误的有 23 种. 故答案为：23. 求解排列、组合问题常用的解题方法： （1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”； （3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”； （4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法． 8、答案：-10 根据二项式展开式的公式得到 ，当 r=3 时，可得到最终的结果. 【详解】 由已知得 ，故当 时， ，于是 的系数为 . 故答案为：-10. 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项， 由特定项得出 值，最后求出其参数. 9、答案：-9 由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解． 【详解】 表示三个 相乘，所以展开式中含 的项有两种情况： （1）从三个 选取一个然后取 ，再从剩余的两个 中分别选取 ， 所得结果为 ； （2）从三个 选取两个分别取 ，再从剩余的一个 中选取 ， 所得结果为 ． 综上可得展开式中含 的项为 ． 故答案为： ． 本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解， 另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基 础题． 10、答案： 根据条件得到从 4 个数中取 3 个有 24 种方法，再得凸数的个数，最后让凸数的个数除 以 24 即得最终答案. 【详解】 从 ， ， ， 中任取三个组成一个三位数，有 种排法，满足凸数的个数为：当 b=4 时，有 种排法；当 b=3 时，有 2 种排法，共 8 种.概率为 故答案为： . 解排列组合问题要遵循两个原则： ①按元素(或位置)的性质进行分类； ②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体， 即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． 11、答案：（1）100800；（2）5760；（3）28800 试题分析：（1）分三步完成即得符合题意的七位数有 .(2)利用捆绑法求出总 数.(3)利用插空法求得共有多少个七位数. 【详解】 (1)分步完成: 第一步,在 4 个偶数中取 3 个,有 种情况. 第二步,在 5 个奇数中取 4 个,有 种情况. 第三步,将 3 个偶数、4 个奇数进行排列,有 种情况. 所以符合题意的七位数有 =100800(个). (2)在(1)中的七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有 =5760(个). (3)在(1)中的七位数中,偶数都不相邻,可先把 4 个奇数排好,再将 3 个偶数分别插入 5 个空位(包括两端)中,共有 =28800(个). （1）本题主要考查排列组合的综合应用，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推 理能力.(2)排列组合一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象 优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 12、答案： 试题分析：先求出 的展开式中的常数项，再求出(a2+1)n 的展开式中的各项系 数之和，由题得到 n 的值，再根据(a2+1)n 的展开式中系数最大的项等于 54 求正数 a 的 值. 【详解】 的展开式的通项为 Tr+1= ,令 20-5r=0,得 r=4,故 常数项为 T5= ,又(a2+1)n 的展开式中的各项系数之和为 2n,由题意得 2n=16,∴n=4.∴(a2+1)4 的展开式中系数最大的项是中间项 T3,从而 (a2)2=54,∴a= . (1)本题主要考查利用二项式定理的展开式求指定项，考查二项式展开式的各项的系数 和，考查二项展开式的系数最大问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理 能力.（2）如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值.如 果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值. 13、答案：（1）36；（2）6；（3）30 试题分析：解：(1)分两步，第一步确定 a，有 6 种方法，第二步确定 b 也有 6 种方法， 根据分步乘法计数原理共有 6×6＝36(个)不同的点． (2)分两步，第一步确定 a，有 3 种方法，第 2 步确定 b，有 2 种方法，根据分步乘法计 数原理，第二象限的点共有 3×2＝6(个)． (3)分两步，第一步确定 a，有 6 种方法，第二步确定 b，有 5 种方法，根据分步乘法计 数原理不在直线 y＝x 上的点共有 6×5＝30(个)． 14、答案：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 试题分析：（1）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决， （2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决， （3）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决． （4）由于男甲要么在男乙的左边，要么在男乙的右边，故利用除法可得结论． 【详解】 (1)任何 2 名女生都不相邻,则把女生插空,所以先排男生再让女生插到男生的空中,共 有 · 种不同排法. (2)甲在首位的排法共有 种,乙在末位的排法共有 种,甲在首位且乙在末位的排法有 种,因此共有( -2 + )种排法. (3)10 人的所有排列方法有 种,其中甲、乙、丙的排序有 种,其中只有一种符合题设 要求,所以甲、乙、丙顺序一定的排法有 种. (4)男甲在男乙的左边的 10 人排列与男甲在男乙的右边的 10 人排列数相等,而 10 人排 列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有 种排法. 本题考查排列、组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确选用方法是关 键．