【数学】2020届一轮复习人教B版平面向量及其应用课时作业 12页

平面向量及其应用 1．在△ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝( ) A.1 3 a＋ 5 12 b B.1 3 a－13 12 b C．－1 3 a－ 5 12 b D．－1 3 a＋13 12 b 【解析】 DE→＝DC→＋CE→ ＝1 3 BC→＋3 4 CA→ ＝1 3 (AC→－AB→)－3 4 AC→ ＝－1 3 AB→－ 5 12 AC→＝－1 3 a－ 5 12 b，故选 C. 【答案】 C 2．已知向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若 ma＋nb 与 a－2b 共线，则m n ＝( ) A.1 2 B．2 C．－1 2 D．－2 【解析】由向量 a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得 ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由 ma＋nb 与 a －2b 共线，得2m－n 4 ＝3m＋2n －1 ，所以m n ＝－1 2 ，故选 C. 【答案】 C 3．已知两个非零向量 a 与 b 的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由 a·b>0，可得到θ∈ 0，π 2 ，不能得到θ∈ 0，π 2 ；而由θ∈ 0，π 2 ，可以得到 a·b>0.故 选 B. 【答案】 B 4．已知向量 a，b 均为单位向量，若它们的夹角为 60°，则|a＋3b|等于( ) A. 7 B. 10 C. 13 D．4 【解析】依题意得 a·b＝1 2 ，|a＋3b|＝ a2＋9b2＋6a·b＝ 13，故选 C. 【答案】 C 5．已知△ABC 是边长为 1 的等边三角形，则(AB→－2BC→)·(3BC→＋4CA→)＝( ) A．－13 2 B．－11 2 C．－6－ 3 2 D．－6＋ 3 2 6．如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E 为 AO 的中点，若DE→＝λAB→＋μAD→(λ，μ为实数)，则λ2 ＋μ2＝( ) A.5 8 B.1 4 C．1 D. 5 16 【解析】DE→＝1 2 DA→＋1 2 DO→＝1 2 DA→＋1 4 DB→＝1 2 DA→＋1 4 (DA→＋AB→)＝1 4 AB→－3 4 AD→，所以λ＝1 4 ，μ＝－3 4 ，故λ2＋μ2＝5 8 ， 故选 A. 【答案】 A 7．如图，在直角梯形 ABCD 中，AB＝2AD＝2DC，E 为 BC 边上一点，BC→＝3EC→，F 为 AE 的中点，则BF→＝( ) A.2 3 AB→－1 3 AD→ B.1 3 AB→－2 3 AD→ C．－2 3 AB→＋1 3 AD→ D．－1 3 AB→＋2 3 AD→ 【解析】解法一：如图，取 AB 的中点 G，连接 DG、CG，则易知四边形 DCBG 为平行四边形，所以BC→＝GD→＝AD→ －AG→＝AD→－1 2 AB→，∴AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋2 3 BC→＝AB→＋2 3 AD→－1 2 AB→ ＝2 3 AB→＋2 3 AD→，于是BF→＝AF→－AB→＝1 2 AE→－AB→＝ 1 2 2 3 AB→＋2 3 AD→ －AB→＝－2 3 AB→＋1 3 AD→，故选 C. 解法二：BF→＝BA→＋AF→＝BA→＋1 2 AE→ ＝－AB→＋1 2 AD→＋1 2 AB→＋CE→ ＝－AB→＋1 2 AD→＋1 2 AB→＋1 3 CB→ ＝－AB→＋1 2 AD→＋1 4 AB→＋1 6 (CD→＋DA→＋AB→) ＝－2 3 AB→＋1 3 AD→. 【答案】 C 8．已知平面向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若 a·b＝1 2 ，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为( ) A．－2 B．3－ 3 C．－1 D．0 【解析】由|a|＝|b|＝1，a·b＝1 2 ，可得〈a，b〉＝π 3 ，令OA→＝a，OB→＝b，以OA→的方向为 x 轴的正方向建 立如图所示的平面直角坐标系，则 a＝OA→＝(1,0)，b＝OB→＝ 1 2 ， 3 2 ，设 c＝OC→＝(cosθ，sinθ)(0≤θ<2π)， 则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－ cosθ＋1 2 cosθ＋ 3 2 sinθ ＝3－ 3sin θ＋π 3 ，则(a ＋b)·(2b－c)的最小值为 3－ 3，故选 B. 【答案】 B 9．已知△ABC 中，AB＝6，AC＝3，N 是边 BC 上的点，且BN→＝2NC→，O 为△ABC 的外心，则AN→·AO→的值为( ) A．8 B．10 C．18 D．9 10．已知△DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R＝4，如果OD→＋DE→＋DF→＝0，且|OD→|＝|DF→|，则向量EF→在FD→方向 上的投影为 ( ) A．6 B．－6 C．2 3 D．－2 3 【解析】由OD→＋DE→＋DF→＝0 得，DO→＝DE→＋DF→. ∴DO 经过 EF 的中点，∴DO⊥EF. 连接 OF，∵|OF→|＝|OD→|＝|DF→|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF＝60°.∴∠DFE＝30°，且 EF＝4×sin60°×2＝4 3. ∴向量EF→在FD→方向上的投影为|EF→|·cos〈EF→，FD→〉＝4 3cos150°＝－6，故选 B. 【答案】 B 11．已知平面向量 a，b，c 满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，(c－2a)·(c－b)＝0，则|c|的最大值与最小 值的和为( ) A．0 B. 3 C. 2 D. 7 【解析】∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，即 a2＝2a·b，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝1 2 ，a 与 b 的夹角为 60°. 设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以 O 为坐标原点，OB→的方向为 x 轴正方向建立如图所示的平面直角坐标系， 则 a＝ 1 2 ， 3 2 ，b＝(1,0)． 设 c＝(x，y)，则 c－2a＝(x－1，y－ 3)，c－b＝(x－1，y)． 又∵(c－2a)·(c－b)＝0，∴(x－1)2＋y(y－ 3)＝0. 即(x－1)2＋ y－ 3 2 2＝3 4 ， ∴点 C 的轨迹是以点 M 1， 3 2 为圆心， 3 2 为半径的圆． 又|c|＝ x2＋y2表示圆 M 上的点与原点 O(0,0)之间的距离，所以|c|max＝|OM|＋ 3 2 ，|c|min＝|OM|－ 3 2 ， ∴|c|max＋|c|min＝2|OM|＝2× 12＋ 3 2 2 ＝ 7，故选 D. 【答案】 D 12．在等腰直角△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N 为 AC 边上的两个动点(M，N 不与 A，C 重合)， 且满足|MN→|＝ 2，则BM→·BN→的取值范围为( ) A. 3 2 ，2 B. 3 2 ，2 C. 3 2 ，2 D. 3 2 ，＋∞ 【解析】不妨设点 M 靠近点 A，点 N 靠近点 C，以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面 直角坐标系，如图所示， 则 B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段 AC 的方程为 x＋y－2＝0(0≤x≤2)．设 M(a,2－a)，N(a＋1,1－a)(由题 意可知 00，所以 t＝2 3 3 . 答案：2 3 3 26．在四边形 ABCD 中，AB → ＝DC → ，P 为 CD 上一点，已知|AB → |＝8，|AD → |＝5，AB → 与AD → 的夹角为θ，且 cosθ＝ 11 20 ，CP → ＝3PD → ，则AP → ·BP → ＝________. 解析：∵AB → ＝DC → ，CP → ＝3PD → ，∴AP → ＝AD → ＋DP → ＝AD → ＋1 4 AB → ，BP → ＝BC → ＋CP → ＝AD → －3 4 AB → ，又|AB → |＝8，|AD → |＝5，cosθ ＝11 20 ，∴AD → ·AB → ＝8×5×11 20 ＝22，∴AP → ·BP → ＝ AD → ＋1 4 AB → · AD → －3 4 AB → ＝|AD → |2－1 2 AD → ·AB → － 3 16 |AB → |2＝52－11－ 3 16 ×82＝2. 答案：2 27．在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且BC→＝3CD→，点 O 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合)，若AO→＝xAB→ ＋(1－x)AC→，则 x 的取值范围是________． 【解析】依题意，设BO→＝λBC→，其中 1<λ<4 3 ，则有 AO→＝AB→＋BO→＝AB→＋λBC→＝AB→＋λ(AC→－AB→)＝(1－λ)AB→＋ λAC→. 又AO→＝xAB→＋(1－x)AC→，且AB→，AC→不共线，于是有 x＝1－λ，由λ∈ 1，4 3 ，知 x∈ －1 3 ，0 ，即 x 的取值 范围是 －1 3 ，0 . 【答案】 －1 3 ，0 28．已知在直角梯形 ABCD 中，AB＝AD＝2CD＝2，AB∥CD，∠ADC＝90°，若点 M 在线段 AC 上，则|MB→＋MD→| 的最小值为________． 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系． 则 A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设AM→＝λAC→(0≤λ≤1)，则 M(λ，2λ)，故MD→＝(－λ，2－2λ)， MB→＝(2－ λ，－2λ) ，则MB→＋ MD→＝(2－ 2λ， 2－4λ)，| MB→＋MD→| ＝ 2－2λ 2＋ 2－4λ 2 ＝ 20 λ－3 5 2＋4 5 ，当λ＝3 5 时，|MB→＋MD→|取得最小值为2 5 5 . 【答案】 2 5 5