四川省达州市2020二模数（理）答案 4页

理科数学第 1 页,共 4 页 四川省达州市普通高中 2020 届第二次模拟考试 理科数学参考答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再得分。 3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题不给中间分。 一、选择题： 1. A 2. D 3.A 4.B 5.A 6.B 7.C 8. C 9.B 10. D 11.C 12.D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．22.632% 14． 6 15．( , ) 1 16． 3cm36 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(1)∵ ( ) ( )e ( )    2 2xf x x ax a a ， ∴ ( ) ( )( )e   2 xf x x x a ． ……………………………………………………………2 分 ∵ 2a ， ∴当 x 变化时， ()fx， ()fx变化情况如下表： …………5 分 ∴函数 ()fx的单调递区间为( , ] 2 和[ , )a ，单调递减区间为( , )2 a ． ………6 分 (2) 由(1)知， ( ) e极小 af x a ．…………………………………………………………7 分 设 ()  2g x x ax a ．若 ≥0a ，则 2 4 2 a a a 是 ()gx较小的零点，当  2 4 2 a a ax 时， () 0gx ．所以，当 2x 时， () 0fx ，即 min( ) ( ) e  极小 ≤0af x f x a ，函数 有零点，不合题意．……………………………………………………………………9 分 若   20a ，则 没有零点，所以，x R ， () 0gx ，即 ， () 0fx ， ()fx没有零点．……………………………………………………………11 分 综上所述，实数a 的取值范围是( , )20 ．……………………………………………12 分 18．(1)证明：∵ AB PD， PA PD， PA 和 AB 是平面 PAB 两相交直线， ∴ PD 平面 PAB ． …………………………………………………………………2 分 ∵ PD 平面 PAD， ∴平面 PAB 平面 ． …………………………………………………………4 分 (2) 解：∵ AB AD， ， ，AB PD是平面 内两相交直线 ∴ AB 平面 ， AB 平面 ABCD， ∴平面 ABCD 平面 ． …………………………………………………………6 分 作 PO AD，垂足为O ，则 PO 平面 ．以过点 平等于 的直线为x 轴， 分别以直线 AD ，OP 为 y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz． …8 分 ( , ) 2 2 a ( , )a ()fx ＋ 0 ― 0 ＋ ()fx 单调递增↗ e  2 4a 单调递减↘ e aa 单调递增↗ 理科数学第 2 页,共 4 页 ∵ CD 平面 PAD，    2 2 4AB AD CD PD ， ∴ ( , , )4 3 0B ， ( , , )2 1 0C ， ( , , )010D ， ( , , )0 0 3P ． ∴ ( , , )2 4 0BC ， ( , , )4 3 3BP ， ( , , )0 1 3DP ． 设 ( , , ) x y zn 是平面 PBC 的一个法向量，则  BCn ，  BPn ，即 0BCn ， 0BPn ． ∴ , .        2 4 0 4 3 3 0 xy x y z ， 不妨取，  3y ，得 ( , , ) 2 3 3 5n ． ∴cos | | | |        3 5 3 30 102 2 10 DP, DP DP nn n ．……………………11 分 由(1)知， 是平面 PAB 一个法向量， 所以，平面 PAB 与平面 所成锐二面角的余弦为  30 10DP ．………………12 分 19．解：(1)∵ ( sin( ),sinA)2 xAm ， (cos , ) 1xn ， ∴ sin( )cos sin sin cos cos cos sin +sin      22 2 2x A x A x x A x A Amn sin cos cos sin sin( )   2 2 2x A x A x A ， ∵ ()fx mn， ∴ ( ) sin( )2f x x A ．…………………………………………………………………2 分 ∵对Rx ，都有 ( ) ( )5≤ 12f x f ， ∴ ( ) sin( )   552112 12fA． ∵   0 A ， ∴  3A ．………………………………………………………………………………4 分 ∴当 ≤44x 时，   5 ≤2 ≤6 3 6x ， ()11≤ 2fx ， 所以， ()fx值域是[ , ) 11 2 ．……………………………………………………………6 分 (2)∵  23a ， ， ∴在△ABC 中由正弦定理得， sinsin sin  3 23 BC bc ， ∴sin sin  44 bcBC ，即sin sin6 2BC ， ∴ 26bc ． ………………………………………………………………………9 分 在 中，由余弦定理得， cos  2 2 22b c bc A a ，即( ) ( cos )   2221b c bc A a ， ∴( ) ( ) ( )  2212 6 2 1 2 32bc ，解得，  4bc ．……………………………………11 分 的面积 sin    △ 1 1 3432 2 2ABCS bc A ．………………………………12 分 A B C D P x y O z 理科数学第 3 页,共 4 页 20．解：(1)由频率分布直方图知，组距为 100， 所以， . . . .    1 0 0008 0 0020 0 0048 0 0024100x ．…………………………………1 分 由茎叶图知，随机抽取其中 100 位村民中，被 A 型扶贫村民有 25 人，已经脱贫的有 8 人．所以，被 B 型扶贫村民的有 75 人，其中已经脱贫的有( . )  0 0048 75x ( . . )   0 0024 0 0048 100 75 54 人．……………………………………………………2 分 22列联表如表： ……………………………………3 分 ∴ ()..        2100 8 21 17 54 12 73 10 82825 75 62 38k ，………………………………………5 分 所以，有 .%99 9 的把握认为村民是否脱贫与扶贫方式有关．…………………………6 分 (2)∵被抽取的 1000 个扶贫村，有 250 个村实行了 A 型扶贫，另外 750 个村实行 B 型 扶贫， ∴用分层抽样的方法，以扶贫方式为分层依据在这 1000 个村中抽取 8 个，A，B 型扶 贫村分别抽取了 2 个和 6 个．…………………………………………………………7 分 ∴ X 的所有可能取值分别是0 ，1，2 ． …………………………………………………8 分 ∴ ()    3 6 3 8 20 50 56 14 CPX C ， ()    12 26 3 8 30 151 56 28 CCPX C ， ()    21 26 3 8 632 56 28 CCPX C ， ∴ 的分布列为 …………………………………………10 分 ∴ ()      5 15 3 30 1 214 28 28 4EX ．…………………………………………………12 分 21．解：(1)因点 A ， N 坐标分别是( , )01 ， ( , )2 n ，所以，直线 ( , )2Nn的方程是 1 1 2 nyx．① ……………………………………………………………………1 分 点 B ， M 的坐标分别是 ( , )01， ( , )0m ，所以，当  0m 时，直线BM 的方程为 1 1yxm ．②…………………………………………………………………………2 分 设点 P 的坐标是 ( , )M x y ，由①② 22mn 得，  2 2 12 x y ．…………………4 分 当  0m 时，点 的坐标是( , )01 ，点 也在曲线 上． …………………5 分 综上所述，点 的轨迹C 的方程上 ． ……………………………………6 分 (2)设点 D坐标为( , )00xy ，则点E 的坐标是( , )00xy．设点 G ， H 的坐标分别是 ( , )11xy，( , )22xy，直线 GH 的方程为 y kx b ．…………………………………7 分 A 型扶贫 B 型扶贫 合计 已脱贫 8 54 62 未脱贫 17 21 38 合计 25 75 100 0 1 2 P 5 14 15 28 3 28 理科数学第 4 页,共 4 页 由方程组 , .      2 2 12 x y y kx b 得，()    2 2 21 2 4 2 2 0k x bkx b ． ∴ 12 2 4 12 bkxx k ，   2 12 2 22 12 bxx k ． …………………………………………………8 分 将 y kx 代入  2 2 12 x y 得，   2 0 2 2 12x k ．…………………………………………9 分 ∴直线 DG 和 HE 的斜率之和为            1 0 2 0 1 0 1 0 2 0 1 0 DG HE y y y y kx b kxkk x x x x x x     20 20 kx b kx xx ()( ) ( ) ( )( ) ( )( )            22 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 2 2 2 422 1 2 1 2 1 2 0 b b kkk x x x b x x k k k x x x x x x x x ． 所以，直线 和 的斜率之和为零．……………………………………………12 分 22.解：(1) 将  3 代入方程 sin cos  2 80得，  16 3 ．…………………………2 分 将 6 代入方程 得， 16 3 ． ……………………………4 分 所以，点 A ， B 的极坐标分别是( , )16 33，( , )16 3 6 ．……………………………5 分 (2)∵ ， 的极坐标分别是 ， ， ∴ ， 的直角坐标分别是( , )83 33，( , )24 3 ．………………………………6 分 ∵点 在直线 :l cos , sin     8 83 83 ．3 t t   上，则有sin cos 3 2，即直线l 的参数方程为 cos , cos   8 3 ．2 xt ty   (t 为为参数) ．※……………………………………………………9 分 因  24x ，   3y 是方程※的解，所以，点 在直线 上．……………………10 分 23.(1) 证明：因c ，d 都是正数，由柯西不等式得，( )( ( )   22 2)≥abc d a bcd ，………3 分 ∴ ()  2 2 2 ≥a b a b c d c d ，等号在 ad bc成立．…………………………………………5 分 (2)解：∵    31 2x ，∴ 10x ， 3 2 0x ．………………………………………6 分 由(1)得 ()()            22 9 4 9 2 3≥ 51 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2fx x x x x x x ，等号在 ()2 3 2x ()3 2 2x ，即  0x 时成立，……………………………………………………………9 分 所以，函数 () 29 1 3 2fx xx 的最小值为5 ．……………………………………10 分