【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第九章49抛物线作业 5页

第49节　抛 物 线 一、选择题 ‎1．(2018沈阳质量监测)抛物线y＝4ax2(a≠0)的焦点坐标是(　　)‎ A．(0，a) B．(a,0)‎ C. D． ‎【答案】C ‎【解析】将y＝4ax2(a≠0)化为标准方程得x2＝y(a≠0)，所以焦点坐标为.故选C.‎ ‎2．(2018辽宁五校联考)已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)‎ A．2 B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4.又p＝1，所以x1＋x2＝3.所以点C的横坐标是＝.‎ ‎3．(2018邯郸质检)设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点．若F为△ABC的重心，则||＋||＋||的值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又焦点F，x1＋x2＋x3＝3×＝，则||＋||＋||＝(x1＋)＋(x2＋)＋ ‎＝(x1＋x2＋x3)＋＝＋＝3.故选C.‎ ‎4．(2018河北三市联考)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线C的焦点的距离为(　　)‎ A. B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝|AB|，∴又解得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.‎ ‎5．(2018广东汕头联考)已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是(　　)‎ A．2－1 B．2－2‎ C．－1 D．－2‎ ‎【答案】C　‎ ‎【解析】由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.故选C.‎ 二、填空题 ‎6．(2018沈阳质量监测)已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作PA⊥l于点A，当∠AFO＝30°(O为坐标原点)时，|PF|＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】设l与y轴的交点为B，在Rt△ABF中，∠AFB＝30°，|BF|＝2，所以|AB|＝，设P(x0，y0)，则x0＝±，代入x2＝4y中，得y0＝，从而|PF|＝|PA|＝y0＋1＝.‎ ‎7．(2018云南检测)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，圆M的方程为x2＋y2＋8x＋12＝0，如果抛物线C的准线与圆M相切，那么p的值为__________．‎ ‎【答案】12或4‎ ‎【解析】将圆M的方程化为标准方程为(x＋4)2＋y2＝4，圆心的坐标为(－4,0)，半径r＝2.又抛物线的准线方程为x＝－，∴|4－|＝2，解得p＝12或4.‎ ‎8．(2018兰州、张掖联考)如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C.若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程是__________．‎ ‎【答案】y2＝3x ‎【解析】分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于点E，D(图略)，则|BF|＝|BD|，∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°.又|AE|＝|AF|＝3，‎ ‎∴|AC|＝6，即点F是AC的中点．根据题意，得p＝，∴‎ 抛物线的方程是y2＝3x.‎ 三、解答题 ‎9．(2018辽宁葫芦岛模拟)已知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F，圆W：(x＋p)2＋y2＝p2的圆心到过点F的直线l的距离为p.‎ ‎(1)求直线l的斜率；‎ ‎(2)若直线l与抛物线交于A，B两点，△WAB的面积为8，求抛物线的方程．‎ ‎【解】(1)易知抛物线y2＝4px(p＞0)的焦点为F(p,0)，由题意知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为x＝my＋p，因为W(－p,0)，所以点W到直线l的距离为＝p，解得m＝±，所以直线l的斜率为±.‎ ‎(2)由(1)知直线l的方程为x＝±y＋p，由于两条直线关于x轴对称，不妨取x＝y＋p，联立消去x得y2－4py－4p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4p，y1y2＝－4p2，所以|AB|＝·＝16p.‎ 因为△WAB的面积为8，所以p×16p＝8，解得p＝1.‎ 所以抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎10．(2018合肥质检)已知抛物线C1：x2＝2py(p＞0)，O是坐标原点，点A，B为抛物线C1上异于O点的两点，以OA为直径的圆C2过点B.‎ ‎(1)若A(－2,1)，求p的值以及圆C2的方程；‎ ‎(2)求圆C2的面积S的最小值(用p表示)．‎ ‎【解】(1)∵A(－2,1)在抛物线C1上，‎ ‎∴4＝2p，p＝2.又圆C2的圆心为，半径为＝，∴圆C2的方程为(x＋1)2＋2＝.‎ ‎(2)记A(x1，)，B(x2，)，则＝(x2，)，＝(x2－x1，)．‎ 由·＝0，知x2(x2－x1)＋＝0.‎ ‎∵x2≠0，且x1≠x2，∴x＋x1·x2＝－4p2.∴x1＝－.‎ ‎∴x＝x＋＋8p2≥2＋8p2＝16p2，当且仅当x＝，即x＝4p2时取等号．‎ 又|OA|2＝x＋＝(x＋4p2·x)，且x≥16p2，‎ ‎∴|OA|2≥(162·p4＋4p2·16p2)＝80p2.‎ 而S＝π·，∴S≥20πp2，即S的最小值为20πp2，当且仅当x＝4p2时取得．‎