高考数学复习专题练习第3讲 二项式定理 6页

第3讲 二项式定理 一、选择题 ‎1． (4x－2－x)6(x∈R)展开式中的常数项是(　　)‎ A．－20　　　　　　　　 B．－15‎ C．15 D．20‎ 解析 Tr＋1＝C(4x)6－r(－2－x)r ‎＝C·22x(6－r)·(－1)r·－xr＝C·(－1)r·212x－3xr 令12x－3xr＝0，则r＝4，所以T5＝C＝15，故选C.‎ 答案 C ‎2．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为 (　　)．‎ A．－150 B．‎150 ‎ C．300 D．－300‎ 解析　由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，‎ Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，‎ 令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.‎ 答案　B ‎3．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是 (　　)．‎ A．28 B．‎38 ‎ C．1或38 D．1或28‎ 解析　由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.‎ 答案　C ‎4．在5的二项展开式中，x的系数为 (　　)．‎ A．10 B．－‎10 ‎ C．40 D．－40‎ 解析　因为Tr＋1＝C(2x2)5－rr＝C25－r·(－1)rx10－3r，所以10－3r＝1，所以r＝3，所以x的系数为C25－3(－1)3＝－40.‎ 答案　D ‎5．已知00)与y＝|logax|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C＝－2＋11＝9.‎ 答案　B ‎6．(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为(　　)‎ A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6‎ C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5‎ 解析 不含x的项的系数的绝对值为(1＋|b|)n＝243＝35，不含y的项的系数的绝对值为(1＋|a|)n＝32＝25，‎ ‎∴n＝5，再验证选项知应选D.‎ 答案 D 二、填空题 ‎7． 18的展开式中含x15的项的系数为________(结果用数值表示)．‎ 解析　Tr＋1＝Cx18－rr＝(－1)rCrx18－r，令18－r＝15，解得r＝2.所以所求系数为(－1)2·C2＝17.‎ 答案　17‎ ‎8．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.‎ 解析　f(x)＝x5＝(1＋x－1)5，它的通项为Tr＋1＝C(1＋x)5－r·(－1)r，T3＝C(1＋x)3(－1)2＝10(1＋x)3，∴a3＝10.‎ 答案　10‎ ‎9．若n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为________．‎ 解析 n的展开式各项系数之和为64，令x＝1，得2n＝64，故n＝6，‎ 则Tr＋1＝C·36－r·x·(－1)r·x－ ‎＝(－1)rC·36－r·x3－r，‎ 令3－r＝0得r＝3.‎ 故常数项为(－1)‎3C·33＝－540.‎ 答案 －540‎ ‎10．设二项式6(a＞0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝‎4A，则a的值是________．‎ 解析　由Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－a)rx6－r，‎ 得B＝C(－a)4，A＝C(－a)2，∵B＝‎4A，a＞0，∴a＝2.‎ 答案　2‎ 三、解答题 ‎11．已知二项式n的展开式中各项的系数和为256.‎ ‎(1)求n；(2)求展开式中的常数项．‎ 解　(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.‎ ‎(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·r＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.‎ ‎12．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.‎ ‎(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；‎ ‎(2)求此展开式中有理项的项数．‎ 解 令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，‎ 得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，‎ 故2n＝32，n＝5.‎ ‎(1)Tk＋1＝C·5－kk＝(－1)kC·55－k·x·x＝(－1)k·C·55－k·x 由题意，令＝2，解得k＝3，故含x2项存在．‎ 它的系数为(－1)3·C·55－3＝－250.‎ ‎(2)展开式中的有理项应满足，故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．‎ ‎13．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值．‎ 解　5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·r＝5－rCx，令20－5r＝0，得r＝4，故常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n，由题意知2n＝16，得n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3，故有Ca4＝54，解得a＝±.‎ ‎14．已知n，‎ ‎ (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)∵C＋C＝‎2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴　∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎