2019高考数学专题练习——圆锥曲线一 15页

‎2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线（一）‎ 一、选择题 ‎1.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线与双曲线的两渐近线分别交于点A，B，并且,则双曲线的离心率为( ）‎ A． B． C.2 D．‎ ‎2.设F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足：，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C. 2 D．‎ ‎4.已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点, 若，则（ ）‎ A． B．8 C．16 D． ‎ ‎5.知双曲线，A1、A2是实轴顶点，F是右焦点，是虚轴端点，若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且，抛物线的准线l与x轴交于点C， 于点，若四边形的面积为，则准线l的方程为 A． B． C． D． ‎ ‎7.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90°的正角.已知双曲线E：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知直角坐标原点O为椭圆C：的中心，F1，F2为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e，则事件“以e为离心率的椭圆C与圆O：没有交点”的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知直线与双曲线（，）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）‎ A． B． C．6 D．‎ ‎11.已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，点A在第一象限，，O为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ ‎12.若双曲线的一条渐近线方程为，则m的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，O为双曲线的中心，P是双曲线的右支上的点，的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．与关系不确定 ‎ ‎14.已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上一点，，则的最小值为（ ）‎ A． B． C．4 D． ‎ ‎15.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 A． B． C．3 D．2‎ ‎16.双曲线离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎17.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则p为（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎18.已知过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于A，B两点.若椭圆上存在一点P，满足（其中点O为坐标原点），则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎19.已知点F1是抛物线C：的焦点，点F2为抛物线C的对称轴与其准线的交点，过F2作抛物线C的切线，切点为A，若点A恰好在以F1，F2为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ▲ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎20.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎21.已知双曲线C：的虚轴长为8，右顶点(a，0)到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎22.已知圆C：与双曲线的一条渐近线相切，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎23.设双曲线的右焦点为F，过点作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎24.设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：‎ ‎①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；‎ ‎②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；‎ ‎③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中，所有正确结论的序号是（ ）‎ A. ① B. ② C. ①② D. ①②③‎ 二、填空题 ‎26.过点的直线l交椭圆于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为 ．‎ ‎27.已知F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I分别为的重心、内心，若GI∥x轴，则的外接圆半径R= .‎ ‎28.已知点P在离心率为的双曲线上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且，则的内切圆半径r与外接圆半径R之比为 ．‎ ‎29.已知双曲线的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且，O为坐标原点，若，则双曲线C的离心率为 ．‎ ‎30.设点M是椭圆上的点，以点M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于不同的两点P、Q，若为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 ．‎ ‎31.平面直角坐标系xOy中，椭圆（ ）的离心率，，分别是椭圆的左、右两个顶点，圆的半径为a，过点作圆 的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆于点Q.则 ．‎ ‎32.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于 . ‎ ‎33.已知椭圆，A，B是C的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆C的离心率为e，则______.‎ ‎34.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点为抛物线准线上相异的两点，且两点的纵坐标之积为，直线，分别交抛物线于，两点，若三点共线，则_______.‎ ‎35.已知抛物线上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到y轴的最短距离为 .‎ ‎36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率e= .‎ ‎37.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．‎ ‎38.设F1，F2为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.‎ ‎39.已知椭圆的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，‎ 为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.‎ ‎40.设抛物线的焦点为F,已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为 ．‎ ‎41.已知F为抛物线的焦点，E为其标准线与x轴的交点，过F的直线交抛物线C于A，B两点，M为线段AB的中点，且，则 ．‎ 参考答案 ‎1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 6.A 7.D 8.A 9.B 10.D ‎11.B 设且,易知，设直线 由所以 易知在上为减函数，所以当时，,故选B 12. A 双曲线的一条渐近线方程为，可得 ‎，解得，‎ 因为是双曲线的渐近线方程，所以，‎ 解得，故选A.‎ ‎13.C ‎，内切圆与x轴的切点是A，‎ ‎∵，由圆切线长定理有，‎ 设内切圆的圆心横坐标为x，则，即，‎ ‎∴，即A为右顶点，‎ 在中，由条件有，‎ 在中，有，‎ ‎∴.‎ ‎14.D 设椭圆 的右焦点为，‎ 由，则，‎ 根据椭圆的定义可得，‎ 所以 ‎ ‎15.A 设椭圆离心率，双曲线离心率，由焦点三角形面积公式得，即，即，设，‎ 由柯西不等式得最大值为.‎ ‎16.A 17.C ‎18.A 设的中点，‎ 由题意知，‎ 两式相减得，‎ 则，而，所以，‎ 所以直线的方程为，联立，解得，‎ 又因为，所以,‎ 所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选A.‎ ‎19.C 由题意，得，设过的抛物线的切线方程为，联立，，令，解得，即，不妨设，由双曲线的定义得，，则该双曲线的离心率为.故选C.‎ ‎20.C 设椭圆方程为 联立方程：，整理得：,‎ 设，，则，即，化简得：，‎ 又，易得：，‎ ‎∴此椭圆的方程是 故选：C ‎21.A 22.B 23.A ‎24.A ‎∵，∴,‎ 又，∴‎ 解得，即. ‎ ‎25.C 由得,,,‎ 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.‎ 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.‎ 如图所示,易知,‎ 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.‎ 故选C.‎ ‎26. 27.5 28. 29. 30. ‎ ‎31.‎ 如图所示，设，‎ 则，椭圆方程为，‎ 圆的方程为，‎ 直线与圆相切，则：，，‎ 直线是斜率为，直线方程为：，‎ 联立直线方程与椭圆方程：，‎ 整理可得：，‎ 即，‎ 由弦长公式可得：，‎ 在中，，‎ 故.‎ ‎32.‎ ‎“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．‎ 如图，设“黄金双曲线”的方程为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得或（舍去），‎ ‎∴黄金双曲线”的离心率e等于．‎ ‎33. 34.2‎ ‎35.‎ 易知抛物线的准线方程为，设，且的中点为，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，则，由抛物线定义，得（当且仅当三点共线时取等号），即中点到轴的最短距离为.‎ ‎36. ‎ ‎37.2‎ 由知是的中点，，又是的中点，所以为中位线且，所以，因此，又根据两渐近线对称，，所以，‎ ‎.‎ ‎38.‎ 已知椭圆可知，，，由为上一点且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐标为.‎ ‎39.‎ 方法1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，设可得，‎ 联立方程 可解得（舍），点在椭圆上且在轴的上方，‎ 求得，所以 方法2：焦半径公式应用 解析1：由题意可知，‎ 由中位线定理可得，即 求得，所以.‎ ‎40.1‎ ‎41.8‎ F（1，0）为抛物线C：y2=4x的焦点， E（-1，0）为其准线与x轴的交点， 设过F的直线为y=k（x-1）， 代入抛物线方程y2=4x，可得 k2x2-（2k2+4）x+k2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则中点 解得k2=1，则x1+x2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=8.‎