陕西省汉中龙岗学校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 含解析 17页

汉中市龙岗学校2022届高一上学期期末考试数学试题 时间:120分钟 满分:150分 命题人: 审核人: ‎ 一、选择题(每小题5分,共12小题60分)‎ ‎1、已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2、函数的定义域是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3、在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点，则＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、已知向量与向量共线，则实数x的值为（　　）‎ A． B．或‎0 ‎C．0 D．3‎ ‎5、函数的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、为了得到函数的图象,只要将的图象上所有的点( )‎ A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变 ‎7、下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”的是（　　）‎ A． B． C．f（x）＝lnx D．f（x）＝x3‎ ‎8、已知函数，则＝（　　）‎ A．5 B． C． D．‎ ‎9、如果函数的图像关于点中心对称,那么的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10、已知函数，若，则实数x的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11、若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（　　）‎ A．0＜a＜1 B． C． D．‎ ‎12、将函数的图象向右平移个单位,在向上平移一个单位,得到的图象,若,且,,则的最大值为( )‎ A. B. C. D .‎ 二、填空题(每小题5分,共4小题20分)‎ ‎13、已知向量，且，则实数m＝ ‎ ‎14、若扇形的周长是，面积,则扇形圆心角的弧度数的绝对值为__________.‎ ‎15、已知幂函数的图象经过点（4，2），则＝　 　.‎ ‎16、在△ABC中，角A为，角A的平分线AD交BC于点D，已知，且，则在方向上的投影是 .‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17、（本大题满分10分）‎ 计算(1);‎ ‎(2)解方程:‎ ‎18、已知向量 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎19、（本大题满分12分）‎ 已知函数在区间[2，3]上的最小值为1．‎ ‎（1）求a的值；‎ ‎（2）若存在x0使得不等式在成立，求实数k的取值范围．‎ ‎20、（本大题满分12分）‎ 已知函数,x∈R ‎(1)求函数的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(2)求函数在区间上的最小值和最大值,并求出取得最值时x的值.‎ ‎21、（本大题满分12分）‎ 已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度(米)可看作时间(单位:小时)的函数,记作,经过长期观测,的曲线可近似地看成是函数,下列是某日各时的浪高数据.‎ t/小时 ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y/米 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎(1)根据以上数据,求出的解析式;‎ ‎(2)为保证安全,比赛时的浪高不能高于米,则在一天中的哪些时间可以进行比赛.‎ ‎22、（本大题满分12分）‎ 已知函数是偶函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若方程有实数根，求的取值范围；‎ ‎（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.‎ 汉中市龙岗学校2022届高一上学期期末考试数学试题答案解析 一、CCABD ‎1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、A 7、B 8、A 9、A 10、A 11、C 12、A ‎13、±4‎ ‎14、 ‎ ‎15、‎ ‎16、‎ ‎17、(1)原式 ‎(2) ∴‎ ‎18、解：（Ⅰ）时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且α∈（0，π），∴sinα＞0，‎ ‎∴解得，，‎ ‎∴＝．‎ ‎19、解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+1﹣a2，‎ 当a＜2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a＝1，解得a＝1，‎ 当2≤a≤3时，f（x）min＝f（a）＝1﹣a2＝1，解得a＝0不符合题意，‎ 当a＞3时，f（x）min＝f（3）＝10﹣6a＝1，解得a＝，不符合题意．‎ 综上所述，a＝1．‎ ‎（2）因为⇒，‎ 可化为1+（）2﹣2•＜k，‎ 令t＝，则k＞t2﹣2t+1，‎ 因x∈[﹣1，1]，故t∈[，3]．故k＞t2﹣2t+1在t∈[，3]上有解，‎ 记h（t）＝t2﹣2t+1＝（t﹣1）2，t∈[，3]，故h（t）min＝h（1）＝0，‎ 所以k的取值范围是（0，+∞）．‎ ‎21、(1)由表中数据可以看到浪高最大值为,最小值为,‎ ‎∴,,‎ 又∵相隔小时达到一次最大值,说明周期为,‎ ‎∴,,‎ 即.‎ ‎(2)由题意知,当时,比赛才能进行,即,‎ ‎∴,,‎ 解得,‎ 又∵,∴当时,;当时,,‎ 故比赛安全进行的时间段为 ‎22、（1）∵为偶函数，∴，有，‎ ‎∴对恒成立.‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，∴.‎ ‎（2）由题意知，有实数根，即有解.‎ 令，则函数的图象与直线有交点，‎ ‎.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（3）由（1）知，，‎ ‎∴由题意知有且只有一个实数根.‎ 令，则，则关于的方程（*）有且只有一个正根.‎ 若，则，不合题意，舍去；‎ 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根.‎ 方程（*）有两相等正根等价于，可解得.‎ 方程（*）的两根异号等价于，可解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 汉中市龙岗学校2022届高一上学期期末考试数学试题答案解析 第1题答案 C 第1题解析 由,解得,故 .‎ 第2题答案 C 第2题解析 函数的定义域是,‎ 解得.‎ 第3题答案 A 第3题解析 解：由题意可得，P（），‎ 故cosα＝，‎ 则cos（π+α）＝﹣cosα＝．‎ 故选：A．‎ 第4题答案 B 第4题解析 向量＝（x+，1）与向量＝（x2，2x）共线，‎ 则2x（x+）﹣x2＝0，‎ 即x2+3x＝0，‎ 解得x＝0或x＝﹣3；‎ 所以实数x的值为﹣3或0．‎ 第5题答案 D 第5题解析 根据题意，函数f（x）＝，有ex﹣1﹣x≠0，则有x≠1，即函数的定义域为{x|x≠1}，‎ 设t＝ex﹣1﹣x，其导数t′＝ex﹣1﹣1，‎ 易得在区间（﹣∞，1）上，t′＜0，t＝ex﹣1﹣x为减函数，在区间（1，+∞）上，t′＞0，t＝ex﹣1﹣x为增函数，‎ 则t＝ex﹣1﹣x有最小值tx＝1＝e0﹣1＝0，则有t≥0，‎ 对于f（x）＝，必有f（x）＞0，‎ 则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}且f（x）＞0，‎ 第6题答案 A 第6题解析 将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为 ‎,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,‎ 所得到的函数图象对应的解析式为.‎ 第7题答案 B 第7题解析 ‎“对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2都有f（x1）＞f（x2）”，‎ ‎∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，‎ 结合选项可知，f（x）＝在（0，+∞）单调递增，不符合题意，‎ f（x）＝2﹣x＝在（0，+∞）单调递减，符合题意，‎ f（x）＝lnx在（0，+∞）单调递增，不符合题意，‎ f（x）＝x3在（0，+∞）单调递增，不符合题意，‎ 第8题答案 A 第8题解析 根据题意，函数，‎ 又由log2＝﹣log25，则﹣3＜log2＝﹣log25＜﹣2，‎ 则f（log2）＝f（﹣log25）＝f（2﹣log25）＝f（4﹣log25）＝f（log2）＝＝＝，‎ 第9题答案 A 第9题解析 ‎∵函数的图像关于点中心对称,‎ ‎∴∴由此易得.‎ 第10题答案 A 第10题解析 f（x）是R上的偶函数，‎ ‎∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，‎ ‎∴由f（2x﹣1）≥f（x）得，f（|2x﹣1|）≥f（|x|），‎ ‎∴|2x﹣1|≥|x|，‎ ‎∴（2x﹣1）2≥x2，解得或x≥1，‎ ‎∴实数x的取值范围为．‎ 第11题答案 C 第11题解析 解：函数在区间（1，e）上为增函数，‎ ‎∵f（1）＝ln1﹣1+a＜0，f（e）＝lne﹣+a＞0，‎ 可得＜a＜1‎ 故选：C．‎ 第12题答案 A 第12题解析 将函数的图象向右平移个单位,再向上平移一个单位,‎ 得到的图象,故的最大值为,最小值为,‎ 若,则或(舍去).‎ 故有,即,‎ 又,,则取得最大值为.‎ 第13题答案 ‎    ‎ ‎±4‎ 第13题解析 ‎    ‎ 解：∵，‎ ‎∴＝4+m2﹣16﹣4＝0，解得m＝±4．‎ 第14题答案 ‎ ‎ 第14题解析 设扇形的半径为，弧长，面积为,则 ‎，，，，‎ 第15题答案 第15题解析 函数y＝mxn（m，n∈R）为幂函数，则m＝1；‎ 又函数y的图象经过点（4，2），则4n＝2，解得n＝；‎ 所以m﹣n＝1﹣＝．‎ 故答案为：．‎ 第16题答案 第16题解析 由λ＝﹣可得：＝λ+，‎ ‎∵B，C，D三点共线，故λ+＝1，即λ＝．‎ ‎∴＝+．‎ 以A为原点，以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示，则D（3，），‎ 设B（m，0），C（n，n），‎ 由＝+得：，解得m＝3，n＝3．‎ 故B（3，0），‎ ‎∴在上的投影为|AB|cos30°＝．‎ 故选：D．‎ 第17题答案 见解析 第17题解析 ‎(1)原式 ‎ (2)‎ ‎∴‎ 第18题答案 见解析.‎ 第18题解析 解：（Ⅰ）时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，且α∈（0，π），∴sinα＞0，‎ ‎∴解得，，‎ ‎∴＝．‎ 第19题答案 见解析 第19题解析 解：（1）f（x）＝（x﹣a）2+1﹣a2，‎ 当a＜2时，f（x）min＝f（2）＝5﹣4a＝1，解得a＝1，‎ 当2≤a≤3时，f（x）min＝f（a）＝1﹣a2＝1，解得a＝0不符合题意，‎ 当a＞3时，f（x）min＝f（3）＝10﹣6a＝1，解得a＝，不符合题意．‎ 综上所述，a＝1．‎ ‎（2）因为⇒，‎ 可化为1+（）2﹣2•＜k，‎ 令t＝，则k＞t2﹣2t+1，‎ 因x∈[﹣1，1]，故t∈[，3]．故k＞t2﹣2t+1在t∈[，3]上有解，‎ 记h（t）＝t2﹣2t+1＝（t﹣1）2，t∈[，3]，故h（t）min＝h（1）＝0，‎ 所以k的取值范围是（0，+∞）．‎ 第20题答案 见解析 第20题解析 第21题答案 见解析 第21题解析 ‎(1)由表中数据可以看到浪高最大值为,最小值为,‎ ‎∴,,‎ 又∵相隔小时达到一次最大值,说明周期为,‎ ‎∴,,‎ 即.‎ ‎(2)由题意知,当时,比赛才能进行,即,‎ ‎∴,,‎ 解得,‎ 又∵,∴当时,;当时,,‎ 故比赛安全进行的时间段为.‎ 第22题答案 略 第22题解析 ‎（1）∵为偶函数，∴，有，‎ ‎∴对恒成立.‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴对恒成立，∴.‎ ‎（2）由题意知，有实数根，即有解.‎ 令，则函数的图象与直线有交点，‎ ‎.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴的取值范围是.‎ ‎（3）由（1）知，，‎ ‎∴由题意知有且只有一个实数根.‎ 令，则，则关于的方程（*）有且只有一个正根.‎ 若，则，不合题意，舍去；‎ 若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根.‎ 方程（*）有两相等正根等价于，可解得.‎ 方程（*）的两根异号等价于，可解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎