2020年高中数学 第三讲二维形式的柯西不等式 4页

‎3.1 二维形式的柯西不等式 ‎3.2 一般形式的柯西不等式 A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．函数y＝＋2的最大值是(　　)‎ A.　　　　　　 B. C．3 D．5‎ 解析：根据柯西不等式，知y＝1·＋2·≤·＝.‎ 答案：B ‎2．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为(　　)‎ A．24 B．30‎ C．36 D．48‎ 解析：(x＋y＋z)≥＝36，‎ 所以＋＋≥36.‎ 答案：C ‎3．已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)‎ A．2 B. C．6 D．12‎ 解析：(＋)2＝(1·＋1·)2≤(12＋12)·(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2(4×1＋2)＝12，‎ 当且仅当＝，即a＝b时等号成立．‎ 答案：D ‎4．已知a＋b＝1，则以下成立的是(　　)‎ A．a2＋b2＞1 B．a2＋b2＝1‎ C．a2＋b2＜1 D．a2b2＝1‎ 4‎ 解析：由柯西不等式，得1＝a＋b≤·＝1，‎ 当且仅当＝时，上式取等号，‎ 所以ab＝ ，‎ 即a2b2＝(1－a2)(1－b2)，‎ 于是a2＋b2＝1.‎ 答案：B ‎5．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．－1 D．不确定 解析：因为(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2≤(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)＝1×1＝1，‎ 当且仅当ai＝kxi(i＝1，2，…，n)时等号成立．‎ 所以a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值是1.‎ 答案：A 二、填空题 ‎6．函数y＝＋的最大值是________．‎ 解析：因为(＋)2≤(1＋1)(x－1＋5－x)＝8，‎ 当且仅当＝，即x＝3时，等号成立，所以＋≤2，函数y取得最大值2.‎ 答案：2 ‎7．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值为________．‎ 解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)×(x2＋y2＋z2)≥(1·x＋1·y＋1·z)2＝(x＋y＋z)2＝，当且仅当x＝y＝z时等号成立．‎ 答案： ‎8．若函数y＝a＋的最大值为2，则正数a的值为________．‎ 解析：(a＋)2＝≤(a2＋4)＝(a2＋4)，由已知得(a2＋4)＝20，解得a＝±2.‎ 又因为a＞0，所以a＝2.‎ 答案：2‎ 三、解答题 4‎ ‎9．已知m＞0，n＞0，m＋n＝p，求证：＋≥，指出等号成立的条件．‎ 证明：根据柯西不等式，得(m＋n)≥＝4.‎ 于是＋≥＝.‎ 当m＝n＝时等号成立．‎ ‎10．已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．‎ 解：由柯西不等式得 ‎(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2.‎ 因为x＋2y＋z＝1，‎ 所以3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.‎ 当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为.‎ B级　能力提升 ‎1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　)‎ A.，， B.，， C．1，， D．1，， 解析：当且仅当＝＝时，取到最小值，所以联立可得x＝，y＝，z＝.‎ 答案：B ‎2．已知4x2＋5y2＝1，则2x＋y的最大值是________．‎ 解析：因为2x＋y＝2x·1＋y·1≤·＝·＝，‎ 所以2x＋y的最大值为.‎ 答案： ‎3．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.‎ ‎(1)求证：＋＋≥；‎ ‎(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．‎ 4‎ ‎(1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，‎ 即3≥1，‎ 所以＋＋≥.‎ ‎(2)解：由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，‎ 因为x＋y＋z＝1，‎ 所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝＋≥，‎ 故4x＋4y＋4z2≥3＝3，‎ 当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，‎ 所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.‎ 4‎