河南省2020届高三6月大联考数学试卷文科8001C 14页

‎ ‎ 绝密★启用前 高三数学试卷（文科）‎ ‎（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3.是“”是“”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A.2 B. C. D.‎ ‎5.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读下图 ‎ ‎ 关于下列说法：‎ ‎①2022年我国5G用户规模年增长率最高；‎ ‎②2022年我国5G用户规模年增长户数最多；‎ ‎③从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降；‎ ‎④这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎6知函数若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为360，则框图中空格处应填入（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，，则角的大小为 ‎ ‎ ‎（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.函数的图象的一条对称轴方程为 A. B. C. D.‎ ‎11.饕餮（tāo tiè）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在正方体中，，分别为棱，的中点，过点，，作该正方体的截面，截面将正方体分成两部分，则较小部分与较大部分的体积的比值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.在中，已知，，，则________.‎ ‎14.已知函数，则曲线在点处的切线方程为________.‎ ‎15.长方体的底面是正方形，为正方形的中心，，，则异面直线与所成角的正弦值为_______.‎ ‎16.已知抛物线：，倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点，为坐标原点，，则的面积为_______.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎ ‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.（12分）‎ 已知等差数列满足，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（12分）‎ 新冠肺炎疫情期间，各地均响应“停课不停学，停课不停教”的号召，开展了网课学习.为了检查网课学习的效果，某机构对2000名学生进行了网上调查，发现有些学生上网课时有家长在旁督促，而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类，对应的人数如下表所示：‎ 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 ‎500‎ ‎300‎ ‎800‎ 没有家长督促的学生 ‎700‎ ‎500‎ ‎1200‎ 合计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ ‎（1）是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联？‎ ‎（2）从“成绩上升的学生中随机抽取了六人进行更详细的调查发现他们的进步幅度如下有两人进步幅度在内，有三人的进步幅度在内，另外一人进步幅度在内.如果从这六人中任选两人进行比较，求这两人的进步幅度之差在20分以内的概率.‎ 附：，其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.（12分）‎ 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，为的中点，，，.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面平面.‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20.（12分）‎ 已知椭圆：的左、右焦点分别为和，为上的任意一点，，且该椭圆的短轴长等于焦距.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程.‎ ‎（2）已知点，是上关于原点对称的两点，过的左顶点作直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，判断是否为定值.若是，求出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数，是的导函数.‎ ‎（1）求的极值；‎ ‎（2）当时，证明：. ‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设点在曲线：，点在曲线：上，且为正三角形.‎ ‎（1）分别求出点，的极坐标（其中，）；‎ ‎（2）若点为曲线上的动点，为线段的中点，求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ ‎ ‎ 设函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）对于实数，，若，，证明：.‎ 高三数学试卷参考答案（文科）‎ l.C【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力.‎ 因为，，所以.‎ ‎2.D【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.‎ 因为，所以.‎ ‎3.A【解析】本题考查常用逻辑用语，考查推理论证能力.‎ 若，则，当且仅当时取等号；若，则.‎ ‎4.C【解析】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力.‎ 因为渐近线经过点，所以，从而.‎ ‎5.B【解析】本题考查学生对柱形图和折线图的理解，考查数据处理能力.‎ 由图可以看出：2022年增长率最高，①正确；2022年比2021年增加用户20498.1万人，而2023年比2022年增加用户37499.9万人，②错误；从2023年起年增长率逐年下降，③正确；这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数大于前5年的平均数，但是方差小，④错误.‎ ‎6.D【解析】本题主要考查函数的单调性及不等式的解法，考查化归与转化的数学思想.‎ 函数在上为减函数，因此，不等式等价于，解得.‎ ‎7.B【解析】本题考查程序框图的知识，考查运算求解能力.‎ ‎，；，；，；，；，；，.所以填入“”，输出的结果为360.‎ ‎8.B【解析】本题考查函数的奇偶性，考查识图能力与推理论证能力.‎ 因为的定义域为，且为偶函数，排除A，C.又当时，，排除选项D，故选B.‎ ‎9.A【解析】本题考查解三角形的知识，考查运算求解能力.‎ ‎ ‎ 因为，所以，所以，即.又为锐角三角形，所以.‎ ‎10.C【解析】本题考查三角恒等变换，三角函数的对称性，考查运算求解能力.‎ 因为，所以其图象的对称轴方程为，解得，当时，.‎ ‎11.B【解析】本题考查数学文化与古典概型，考查数据处理能力.‎ 点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，则有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路），符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.‎ ‎12.D【解析】本题考查立体几何的截面及体积问题，考查空间想象能力.‎ 如图，可以作出截面，设正方体的棱长为6，则其体积为216，延长交的延长线于点，连接，延长交的延长线于点，连接.因为，分别为棱，的中点，，分别为两棱的三等分点，所以，，，，所以正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为，另外一部分的体积为，所以体积比值为.‎ ‎13.4【解析】本题考查向量的数量积，考查运算求解能力.‎ 因为，，所以.‎ ‎14.【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力.‎ ‎ ‎ 因为，所以，又，，所以切线方程为，即.‎ ‎15.【解析】本题考查异面直线所成的角，考查空间想象能力.‎ 如图因为，所以异面直线与所成角为.又，为的中点，所以.易知，所以.‎ ‎16.22【解析】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力.‎ 根据题意知，设直线的方程为，代入抛物线得，所以，解得，所以直线的方程为.又原点到直线的距离，所以.‎ ‎17.解：（1）设数列的公差为，因为 所以……………………………………………………………………………………2分 解得……………………………………………………………………………………………………4分 所以.………………………………………………………………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，………………………………………………………………………7分 因为，………………………………………………………………………………9分 ‎ ‎ 所以，…………………………………………………11分 即.………………………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（）第一问中，只要列出得2分，求出累计得4分，正确写出通项公式累计得6分；‎ ‎（2）第二问中，写到这一步累计得9分，写出累计得11分，最后结果写成不扣分；‎ ‎（3）其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎18.解：（1），……………………………………4分 因为.‎ 所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联. …………………………………6分 ‎（2）设，两人的进步幅度在内，，，三人的进步幅度在内，另外一人的进步幅度在内，则从这六人中任选两人，有、、、、、、、、、、、、、、，共15种不同选法，……………8分 其中符合两人的进步幅度之差在20分以内的有、、、、、、，共7种，…………………………………………………………………………………………………………10分 所以两人的进步幅度之差在20分以内的概率.………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中写成或3.4不扣分，计算正确，结论写错扣1分；‎ ‎（2）第二问中，写出抽取的所有可能结果共15个得2分，写出符合条件的7种结果得2分，写出所求概率得2分；‎ ‎ ‎ ‎（3）其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎19.（1）证明：因为是矩形，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面.…………………………………………………………………………………………1分 又平面，所以. ………………………………………………………………………2分 因为，所以，又为的中点，所以.…………………………3分 又，所以平面.…………………………………………………………………4分 由于平面，所以平面平面. ……………………………………………………5分 ‎（2）解：三棱锥的体积， ……………………………………………………6分 因为，，所以.………………………………………………………8分 由于，‎ 所以，……………………………………………………………………10分 从而，即三棱锥的体积为.……………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，严格按线面关系的判定与性质定理，每证出一个重要结论得1分，完整证出结论得5分；‎ ‎（2）第二问，写出，累计得6分，求出，累计得8分，求出，累计得10分，直到正确求出得满分.‎ ‎20.解：（1）因为，所以，解得.………………………………………………1分 设椭圆的焦距为，所以，即. ………………………………………………………………2分 由，解得，…………………………………………………………………………………3分 所以椭圆的方程为. ……………………………………………………………………………4分 ‎（2）为定值2，理由如下. …………………………………………………………………………5分 ‎ ‎ 由题意可知直线的斜率存在且不为0，设：，令，得，即，又易知，所以.…………………………………………………………………………6分 由得即，………………………………………………7分 所以.……………………………………………………………………………………………8分 因为，所以直线的方程为，‎ 由得……………………………………………………………………………9分 所以.…………………………………………………………………………………………10分 由，得，………………………………………………………………………11分 所以.‎ 故为定值2. …………………………………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，求出，得1分，写出，累计得2分，求出，累计得3分，正确求出标准方程累计得4分；‎ ‎（2第二问中，得出为定值2这个结论，累计得5分，求出累计得6分，求出 ‎ ‎ 累计得8分，依此类推，每写出一个重要结论得1分，直到全部正确得满分；‎ ‎（3）第二问中，用其他方法，参照上述步骤给分.‎ ‎21.（1）解：因为，所以.……………………………………………………1分 当时，；当时，.……………………………………………2分 所以在上单调递增，在上单调递减，………………………………………………3分 从而有极大值，极大值为，无极小值. ……………………………………………………4分 ‎（2）证明：令，‎ 则.…………………………5分 设，则.…………………………………………6分 因为，所以，‎ 所以在上单调递减.…………………………………………………………………………………7分 又，‎ 所以当时，；当时，，……………………………………………………8分 即当时，；当时，.………………………………………………………9分 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.……………………………………10分 所以，‎ 所以.………………………………………………………………………12分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，如果求导正确得1分，完整讨论与0的关系得1分，讨论一半不得分，正确写出单调区间得1分，正确写出结论得1分；‎ ‎（2）第二问中只要构造出函数并求导得1分，完整讨论导函数与0的关系得相应的1分，讨论一半不得分，严格按步骤给分，正确解完本题得满分；‎ ‎（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎ ‎ ‎22.解：（1）因为点在曲线：上，即点在直线上，……………………………2分 又点在曲线：上，且为正三角形，‎ 所以在极坐标系中，，.………………………………………………………………4分 ‎（2）由（1）知点的直角坐标为，……………………………………………………………5分 设点的直角坐标为，所以点.………………………………………………6分 因为曲线的参数方程为即为圆，………………………………………7分 所以，即点在上，…………………………8分 又点的直角坐标为，所以的最大值为.……………………………10分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，写出曲线的直角坐标方程得2分，正确写出，在指定范围内的极坐标方程累计得4分；‎ ‎（2）第二问中，求出点的直角坐标为，得1分，写出点，得1分，求出的标准方程，得1分，全部正确解完本题得满分；‎ ‎（3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎23.（1）解：设，则………………………………………2分 因为，‎ 所以或或…………………………………………………………3分 解得或或，即，………………………………………………4分 所以不等式的解集为.……………………………………………………………5分 ‎（2）证明：因为，，所以，.…………………………………6分 又， ……………………………………8分 ‎ ‎ 所以.………………………………………10分 评分细则：‎ ‎（1）第一问中，写出的解析式得2分，正确求出三个不等式组的解集累计得4分，写出不等式的解集为累计得5分；‎ ‎（2）第二问中，写出，累计得6分，会利用绝对值的性质求出累计得8分，最后证出累计得10分.‎