高考数学复习专题练习第6讲 空间向量及其运算 8页

第6讲 空间向量及其运算 一、选择题 ‎1．在下列命题中：‎ ‎①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；‎ ‎②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；‎ ‎③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c，共面；‎ ‎④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.‎ 其中正确命题的个数是 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ 解析　a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故②错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.‎ 答案　A ‎2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)‎ A．－1 B．0‎ C．1 D．不确定 解析 法一：如图，在空间四边形ABCD中，连接对角线AC，BD，得三棱锥A－BCD，不妨令其各棱长都相等，即为正四面体，∵正四面体的对棱互相垂直，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ·＝0.‎ ‎∴·＋·＋·＝0.‎ 法二：在法一的图中，选取不共面的向量，，为基底，‎ 则原式＝·(－)＋·(－)＋·(－)‎ ‎＝·－·＋·－·＋·－·＝0.‎ 答案 B ‎3．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析　若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ 答案　C ‎4. 如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 (　　)．‎ A．0 　　　　 B. ‎ C. 　　　　 D. 解析　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ 答案　A ‎5．以下四个命题中正确的是 (　　)．‎ A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向 量的另一组基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0‎ D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析　若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．‎ 答案　B ‎6．正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，点M在上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)‎ A. B. C. D. 解析 如图，设＝a，＝b，＝c，‎ 则a·b＝b·c＝c·a＝0.‎ 由条件知＝＋＋＝－(a＋b＋c)＋a＋c＝a－b＋c ‎∴2＝a2＋b2＋c2＝ ‎∴||＝.‎ 答案 A 二、填空题 ‎7．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．‎ ‎①＝2－－；②＝＋＋；‎ ‎③＋＋＝0；④＋＋＋＝0；‎ 解析　∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．‎ 答案　③‎ ‎8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z＝________.‎ 解析 ∵A，B，C，D四点共面，[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎∴＝m＋n＋p，且m＋n＋p＝1.‎ 由条件知＝－2x－3y－4z，‎ ‎∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1.‎ ‎∴2x＋3y＋4z＝－1.‎ 答案 －1‎ ‎9．已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB＝‎4 cm，AC＝‎6 cm，BD＝‎8 cm，则CD的长为________．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件|a|＝8，|b|＝4，|c|＝6，‎ ‎〈a，b〉＝90°，〈b，c〉＝90°，〈a，c〉＝60°‎ ‎||2＝|＋＋|2＝|－c＋b＋a|2‎ ‎＝a2＋b2＋c2＋‎2a·b－‎2a·c－2b·c＝68，‎ 则||＝2.‎ 答案　‎‎2 cm ‎10．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．‎ 解析　设＝a，＝b，＝c.‎ OA与BC所成的角为θ，‎ ·＝a(c－b)＝a·c－a·b＝a·(a＋)－a·(a＋)＝a2＋a·－a2－a·＝24－16‎ eq (2).‎ ‎∴cos θ＝＝＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．‎ ‎(1)判断、、三个向量是否共面；‎ ‎(2)判断点M是否在平面ABC内．‎ 解　(1)由已知＋＋＝3 ，‎ ‎∴－＝(－)＋(－)，‎ 即＝＋＝－－，‎ ‎∴，，共面．‎ ‎(2)由(1)知，，，共面且基线过同一点M，‎ ‎∴四点M，A，B，C共面，从而点M在平面ABC内．‎ ‎12．如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B‎1C1D1中，G为△BC1D的重心，‎ ‎(1)试证：A1、G、C三点共线；‎ ‎(2)试证：A‎1C⊥平面BC1D；‎ ‎(3)求点C到平面BC1D的距离．‎ ‎(1)证明　＝＋＋＝＋＋，‎ 可以证明：＝(＋＋)＝，‎ ‎∴∥，即A1、G、C三点共线．‎ ‎(2)证明　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，‎ 且a·b＝b·c＝c·a＝0，‎ ‎∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：CA1⊥BD，因此A‎1C⊥平面BC1D.‎ ‎(3)解　∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝‎3a2，‎ 即||＝a，因此||＝a.‎ 即C到平面BC1D的距离为a.‎ ‎13．如图，直三棱柱ABC－A1B‎1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A‎1A的中点．‎ ‎(1)求的模；‎ ‎(2)求cos〈，〉的值；‎ ‎(3)求证：A1B⊥C‎1M.‎ 解 如图，建立空间直角坐标系Oxyz，‎ ‎(1)依题意得B(0,1,0)、N(1,0,1)，‎ ‎∴||＝＝.‎ ‎(2)依题意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)，‎ ‎∴＝(1，－1,2)，‎ ＝(0,1,2)，·＝3，‎ ‎||＝，||＝，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝.‎ ‎(3)证明：依题意，得C1(0,0,2)、M，＝(－1,1，－2)，＝.‎ ·＝－＋＋0＝0，[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎∴⊥.∴A1B⊥C‎1M.‎ ‎14．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：‎ ‎(1)·；(2)·；(3)EG的长；‎ ‎(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．‎ 解　设＝a，＝b，＝c.‎ 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ ‎(1)＝＝c－a，＝－a，＝b－c，‎ ·＝·(－a)＝a2－a·c＝，‎ ‎(2)·＝(c－a)·(b－c)‎ ‎ ＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；‎ ‎(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b ‎ ＝－a＋b＋c，‎ ‎||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.‎ ‎(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，‎ cos〈，〉＝＝－，‎ 由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，‎ 所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.‎