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‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三 一、选择题(本题满分36分，每题6分)‎ ‎1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )‎ ‎ (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 ‎2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－,用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )‎ ‎ (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13‎ ‎3． 存在整数n,使+是整数的质数p( )‎ ‎ (A)不存在 (B)只有一个 ‎ (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 ‎4． 设x∈(－，0),以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( )‎ ‎ (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1‎ ‎5． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )‎ ‎ (A) 4++ (B) 4－+ ‎ (C) 1－+ (D)以上答案都不对 ‎6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )‎ ‎ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)‎ ‎1． 集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是 ．‎ ‎2． 复平面上，非零复数z1，z2在以i为圆心，1为半径的圆上，·z2的实部为零，z1‎ 的辐角主值为，则z2=_______．‎ ‎3． 曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是(2,0)，曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是_______．‎ 4． 已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．‎ 5． 从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每 面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有_______种．(注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同．)‎ ‎6． 在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．‎ ‎2013年全国高校自主招生数学模拟试卷十三 参考答案 一、选择题(本题满分36分，每题6分)‎ ‎1． 把圆x2+(y－1)2=1与椭圆9x2+(y+1)2=9的公共点，用线段连接起来所得到的图形为( )‎ ‎ (A)线段 (B)不等边三角形 (C)等边三角形 (D)四边形 解：9－9(y－1)2=9－(y+1)2，Þ8y2－20y+8=0，Þy=2或，相应的，x=0，或x=±．‎ 此三点连成一个正三角形．选C．‎ ‎2． 等比数列{an}的首项a1=1536,公比q=－，用πn表示它的前n项之积。则πn(n∈N*)最大的是( )‎ ‎ (A)π9 (B)π11 (C)π12 (D)π13‎ 解：πn=1536n×(－)，故π11<0，π9，π12，π13>0．作商比较：‎ 又，=15363´()66－36>1，=1536´()78－66<1．故选C．‎ ‎3． 存在整数n,使+是整数的质数( )‎ ‎ (A)不存在 (B)只有一个 ‎ (C)多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个 解：如果p为奇质数，p=2k+1，则存在n=k2(k∈N+)，使+=2k+1．故选D．‎ ‎4． 设x∈(－,0)，以下三个数α1=cos(sinxπ),α2=sin(cosxπ),α3=cos(x+1)π的大小关系是( )‎ ‎ (A)α3<α2<α1 (B)α1<α3<α2 (C)α3<α1<α2 (D)α2<α3<α1‎ 解：α1= cos(sin|x|π)>0，α2=sin(cos|x|π)>0，α3=cos(1－|x|)π<0，排除B、D．‎ ‎∵ sin|x|π+ cos|x|π=sin(|x|π+)<，于是cos|x|π<－sin|x|π，‎ ‎∴ sin(cos|x|π)α2．‎ ‎5． 如果在区间[1,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+在同一点取相同的最小值，那么f(x)‎ 在该区间上的最大值是( )‎ ‎ (A) 4++ (B) 4－+ ‎ (C) 1－+ (D)以上答案都不对 解：g(x)= x+=x+x+≥3=．当且仅当x=即x=时g(x)取得最小值．‎ ‎∴－=，=，Þp=－2，q=+．‎ 由于－1<2－．故在[1．2]上f(x)的最大值为f(2)=4－+．故选B．‎ ‎6． 高为8的圆台内有一个半径为2 的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是( )‎ ‎ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4‎ 解：O2与下底距离=3，与O1距离=2+3=5，与轴距离=4，问题转化为在以4为半径的圆周上，能放几个距离为6的点？‎ 右图中，由sin∠O2HC=3/4>0．707，即∠O2HO3>90°，即此圆上还可再放下2个满足要求的点．故选B．‎ 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)‎ ‎1． 集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是 ．‎ 解 由已知，得