【数学】2020届一轮复习人教A版 证明不等式的基本方法 课时作业 12页

‎2020届一轮复习人教A版 证明不等式的基本方法 课时作业 ‎ 1、已知函数,数列{}满足:证明:‎ ‎(1)；‎ ‎(2)。 2、已知数列的前n项和是(),且 ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎. 3、已知函数满足下列条件：对任意的实数1，2都有 和，其中是大于0的常数.设实数，，满足 和 ‎(Ⅰ)证明，并且不存在，使得；‎ ‎(Ⅱ)证明；‎ ‎(Ⅲ)证明. 4、已知函数f（x）=logax（a>0，且a≠1），x∈［0，+∞）．若、，判断与的大小，并加以证明． 5、已知；‎ ‎（1）判断的大小；‎ ‎（2）若，求证：中至少有一个的值小于2． 6、证明下列不等式：‎ ‎（1）（其中为实数）；‎ ‎（2）（其中均为正实数）． 7、设，且．求证：． ‎ ‎8、已知，求证： 9、在某两个正数之间，若插入一个正数，使成等比数列；若另插入两个正数，使成等差数列，求证：． 10、已知实数x，y满足：求证：． 11、已知,求证:. 12、设x>0,y>0且x≠y,求证 13、设x1、x2、y1、y2是实数，且满足x12+x22≤1，‎ 证明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）. 14、设求证 15、已知 的单调区间；‎ ‎（2）若 16、一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列，‎ 试求： ‎ ‎（1） ‎ ‎（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？‎ ‎（3）求数列的前 k项和并证明： 17、已知:‎ 求证: 18、证明不等式(n∈N*) 19、已知a＞0，b＞0，且a+b=1. 求证: (a+)(b+)≥. 20、已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，‎ 证明:x，y，z∈［0，］ ‎ 参考答案 ‎1、答案：先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,…‎ ‎ (1).当n=1时,由已知显然结论成立。‎ ‎(2).假设当n=k时结论成立,即。‎ 因为00成立。‎ 于是．故。 该题是数列知识和导数结合到一块。 ‎ ‎2、答案： 3、答案：证明：（I）任取 ①‎ 和 ②‎ 可知 ，‎ 从而 。假设有①式知 ‎，∴不存在。‎ ‎（II）由 ③‎ 可知 ④‎ 由①式，得 ⑤‎ 由和②式知， ⑥‎ 将⑤、⑥代入④式，得 。‎ ‎（III）由③式可知 ‎ （用②式）‎ ‎ （用①式）‎ ‎ 不等式的证明。‎ ‎（Ⅰ）要证明，并且不存在，使得，由已知条件和合并，可以直接得出。再假设有，使得，根据已知判断出矛盾即得到不存在，使得。‎ ‎（Ⅱ）要证明；把不等式两边和分别用题中的已知等式化为同一的函数值得形式，再证明不等式成立即可。‎ ‎（III）由已知和（Ⅱ）中的不等式逐步推导即可。‎ ‎4、答案：，‎ ‎∵x1>0，x2>0，∴（当且仅当x1=x2时取“=”号）‎ 当a>1时，，∴，‎ 即≤（当且仅当x1=x2时取“=”号）；‎ 当00,y>0且x≠y,要证明 只需 即 只需 由条件,显然成立.∴原不等式成立 13、答案：（1）当x12+x22=1时，原不等式成立.‎ ‎（2）当x12+x22＜1时，联想根的判别式，可构造函数f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1）‎ 其根的判别式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）‎ 由题意x12+x22＜1，函数f（x）的图象开口向下.‎ 又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，‎ 因此抛物线与x轴必有公共点.‎ ‎∴Δ≥0.‎ ‎∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，‎ 即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）. 14、答案：左边-右边=‎ ‎ =‎ ‎ = = ∴原不等式成立。‎ 证法二:左边>0，右边>0。‎ ‎ ∴原不等式成立。 15、答案：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,‎ ‎（2）首先证明任意 事实上,‎ ‎ 而 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ . 16、答案：（1），‎ ‎（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数个（3）证明 ‎ （1）由题意得：‎ ‎ （2） 在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个 ‎ 而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个 ‎ 故 ‎ ‎ 即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数个 ‎（3）‎ ‎ 17、答案：证明:‎ 由于 ‎=‎ ‎ ①‎ 由于 ‎ ②‎ 同理: ③‎ ‎①+②+③得: ‎ 即原不等式成立 18、答案：证法一: (1)当n等于1时，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立:‎ ‎(2)假设n=k(k≥1)时，不等式成立，即1+＜2，‎ ‎∴当n=k+1时，不等式成立. ‎ 综合(1)、(2)得:当n∈N*时，都有1+＜2. ‎ 另从k到k+1时的证明还有下列证法: ‎ 证法二: 对任意k∈N*，都有: ‎ ‎ ‎ 证法三:设f(n)= ‎ 那么对任意k∈N* 都有: ‎ ‎∴f(k+1)＞f(k)‎ 因此，对任意n∈N* 都有f(n)＞f(n－1)＞…＞f(1)=1＞0，‎ ‎∴ 19、答案：证法一:(分析综合法）‎ 欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，‎ 即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8. ‎ ‎∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立 ‎∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.‎ 证法二： (均值代换法)‎ 设a=+t1，b=+t2.‎ ‎∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜‎ 显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.‎ 证法三:(比较法）‎ ‎∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤‎ 证法四：(综合法)‎ ‎∵a+b=1， a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤. ‎ ‎ ‎ 证法五： (三角代换法）‎ ‎∵ a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)‎ ‎ 20、答案：证法一: 由x+y+z=1，x2+y2+z2=，得x2+y2+(1－x－y)2=，整理成关于y的一元二次方程得: ‎ ‎2y2－2(1－x)y+2x2－2x+=0，∵y∈R，故Δ≥0‎ ‎∴4(1－x)2－4×2(2x2－2x+)≥0，得0≤x≤，∴x∈［0，］‎ 同理可得y，z∈［0，］‎ 证法二: 设x=+x′，y=+y′，z=+z′，则x′+y′+z′=0，‎ 于是=(+x′)2+(+y′)2+(+z′)2‎ ‎=+x′2+y′2+z′2+ (x′+y′+z′)‎ ‎=+x′2+y′2+z′2≥+x′2+=+x′2‎ 故x′2≤，x′∈［－，］，x∈［0，］，同理y，z∈［0，］‎ 证法三: 设x、y、z三数中若有负数，不妨设x＜0，则x2＞0，‎ ‎=x2+y2+z2≥x2+＞，矛盾 ‎ x、y、z三数中若有最大者大于，不妨设x＞，‎ 则=x2+y2+z2≥x2+=x2+=x2－x+‎ ‎=x(x－)+＞ 矛盾 ‎ 故x、y、z∈［0，］ ‎