【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试56分类加法计数原理与分步乘法计数原理作业 10页

第八章　概率与统计 考点测试56　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 运用分类、分步计数原理解决实际或数学问题是高考热点，要注意与概率问题的结合 一、基础小题 ‎1．若x∈{1，2，3}，y∈{5，7，9}，则x·y的不同值的个数是(　　)‎ A．2 B．‎6 C．9 D．8‎ 答案　C 解析　求x·y需分两步取值：第一步，x的取值有3种；第二步，y的取值有3种，故有3×3＝9(个)不同的值．故选C．‎ ‎2．三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过3次传递后，毽子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(　　)‎ A．5种 B．2种 C．3种 D．4种 答案　B 解析　传递方式有：甲→乙→丙→甲；甲→丙→乙→甲．故选B．‎ ‎3．把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多有5个，则不同的分法共有(　　)‎ A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 答案　A 解析　分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5‎ 个，只有1种分法；若最少一堆是2个，则由3＋5＝4＋4知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，共1种，故共有分法1＋2＋1＝4种．‎ ‎4．已知5名同学报名参加2个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共有(　　)‎ A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 答案　D 解析　5名同学依次报名，每人均有2种不同的选择，所以共有2×2×2×2×2＝32(种)不同的报名方法．故选D．‎ ‎5．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种手机充值卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)‎ A．7种 B．8种 C．6种 D．9种 答案　A 解析　要完成的一件事是“至少买一张手机充值卡”，分三类完成：买1张卡，买2张卡，买3张卡．而每一类都能独立完成“至少买一张手机充值卡”这件事．买1张卡有2种方法，买2张卡有3种方法，买3张卡有2种方法，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．故选A．‎ ‎6．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有(　　)‎ A．4种 B．5种 C．6种 D．9种 答案　B 解析　记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112三种，共5种摆法，故选B．‎ ‎7．有四位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是(　　)‎ A．8种 B．9种 C．10种 D．11种 答案　B 解析　解法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9(种)‎ 不同的安排方法．‎ 解法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有3×3×1×1＝9(种)不同的安排方法．‎ ‎8．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(　　)‎ A．504 B．‎210 C．336 D．120‎ 答案　A 解析　分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．‎ ‎9．如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)‎ A．400种 B．460种 C．480种 D．496种 答案　C 解析　从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．故选C．‎ ‎10．某彩票公司每天开奖一次，从1，2，3，4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止．如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有(　　)‎ A．14种 B．21种 C．24种 D．35种 答案　B 解析　第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有3×1×3‎ ‎＋3×2×2＝21(种)．故选B．‎ ‎11．从数字1，2，3，4，5，6中取两个数相加，所得的和共有________个不同的偶数．‎ 答案　4‎ 解析　由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数，分两类：第一类，两个数都是偶数，2＋4＝6，2＋6＝8，4＋6＝10，共得3个偶数；第二类，两个数都是奇数，1＋3＝4，1＋5＝6，3＋5＝8，共得3个偶数．‎ ‎∵2＋6＝3＋5，2＋4＝1＋5，∴从数字1，2，3，4，5，6中取两个相加，所得的和中共有4个不同的偶数．‎ ‎12．从6个人中选4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．‎ 答案　240‎ 解析　根据题意，由排列公式可得，首先从6人中选4人分别到四个城市游览，有A＝360(种)不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有A＝60(种)，乙到巴黎游览的有A＝60(种)，故这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，不同的选择方案共有360－60－60＝240(种)．‎ 二、高考小题 ‎13．(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 答案　D 解析　由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，故选D．‎ ‎14．(2015·四川高考)用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有(　　)‎ A．144个 B．120个 C．96个 D．72个 答案　B 解析　当首位数字为4，个位数字为0或2时，满足条件的五位数有CA个；‎ 当首位数字为5，个位数字为0或2或4时，满足条件的五位数有CA个．‎ 故满足条件的五位数共有CA＋CA＝(2＋3)A＝5×4×3×2＝120(个)．故选B．‎ ‎15．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)‎ A．24 B．‎18 C．12 D．9‎ 答案　B 解析　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18(条)可以选择的最短路径．故选B．‎ ‎16．(2015·广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)‎ 答案　1560‎ 解析　∵同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，∴全班共写了40×39＝1560(条)毕业留言．‎ 三、模拟小题 ‎17．(2018·宁夏育才中学模拟)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式的种数为(　　)‎ A．24 B．‎14 C．10 D．9‎ 答案　B 解析　根据题目信息可得需要分两类：‎ 一类是衬衣＋裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，共有4×3＝12(种)；‎ 第二类是连衣裙，2种选择．故共有12＋2＝14(种)．故选B．‎ ‎18．(2018·广东中山一中第五次统测)从10名大学毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为(　　)‎ A．85 B．‎49 C．56 D．28‎ 答案　B 解析　∵丙没有入选，∴只要把丙去掉，把总的元素个数变为9个，∵甲、乙至少有1人入选，∴由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只选一个的选法有：C·C＝42，另一类是甲、乙都选的选法有：C·C＝7，根据分类计数原理知共有42＋7＝49(种)，故选B．‎ ‎19．(2019·天津市部分区县模拟)全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是(　　)‎ A．C B．A C．53 D．35‎ 答案　C 解析　全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是5×5×5＝53．故选C．‎ ‎20．(2018·江西吉安安福二中模拟)某校科技大楼电子阅览室在第8层，每层均有2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有(　　)‎ A．29种 B．28种 C．27种 D．82种 答案　C 解析　因为从一楼到二楼有2种走法，从二楼到三楼有2种走法，…，从一楼到八楼分7步进行，每步都有2种不同的走法，所以根据分步计数乘法原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有27种，故选C．‎ ‎21．(2018·安徽合肥三调)用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有(　　)‎ A．250个 B．249个 C．48个 D．24个 答案　C 解析　先考虑四位数的首位，当排数字4，3时，其他三个数位上可从剩余的4个数任选3个全排，得到的四位数都满足题设条件，‎ 因此依据分类计数原理可得，满足题设条件的四位数共有A＋A＝2×4×3×2＝48个．‎ ‎22．(2018·河南南阳六校第二次联考)某城市中关系要好的A，B，C，D四个家庭每家庭2个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车坐4人(乘同一辆车的4名小孩不考虑位置)，其中A户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 答案　B 解析　当A户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩是另外两个家庭的一个小孩，有2×C×22＝24种方法，故选B．‎ ‎23．(2018·玉林联考)若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”．例如：32是“开心数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“开心数”，因23＋24＋25产生进位现象，那么，小于100的“开心数”的个数为(　　)‎ A．9 B．‎10 C．11 D．12‎ 答案　D 解析　根据题意，个位数需要满足要求：∵n＋(n＋1)＋(n＋2)＜10，即n＜2．3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n＜10，∴n＜3．3，∴十位可以取0，1，2，3四个数，故四个数的“开心数”共有3×4＝12个．故选D．‎ ‎24．(2018·河北鸡泽一中模拟)从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为(　　)‎ A．18 B．‎200 C．2800 D．33600‎ 答案　C 解析　从5种主料中选2种，有C＝10种方法，从8种辅料中选3种，有C＝56种方法，根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10×56×5＝2800，选C．‎ ‎25．(2018·安徽安庆一中、山西省太原五中等五省六校联考)本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有(　　)‎ A．330种 B．420种 C．510种 D．600种 答案　A 解析　种类有(1)甲1，乙1，丙1——方法数有A＝60；(2)甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有3×CCC＝180；(3)甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有3×CC＝90．故总的方法数有60＋180＋90＝330种．‎ ‎26．(2018·安徽合肥三模)如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有(　　)‎ A．24 B．‎48 C．96 D．120‎ 答案　C 解析　若A，D颜色相同，先涂E有4种涂法，再涂A，D有3种涂法，再涂B有2种涂法，C只有一种涂法，共有4×3×2＝24种；若颜色A，D不同，先涂E有4种涂法，再涂A有3种涂法，再涂D有2种涂法，当B和D相同时，C有2种涂法，当B和D不同时，B，C只有1种涂法，共有4×3×2×(2＋1)＝72种，根据分类计数原理可得，共有24＋72＝96种，故选C．‎ ‎27．(2018·黑龙江大庆十中月考)数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci(斐波那契数列)：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是(　　)‎ A．20 B．‎34 C．42 D．55‎ 答案　B 解析　登上第1级：1种；登上第2级：2种；登上第3级：1＋2＝3种(前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来)；登上第4级：2＋3＝5种(前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来)；登上第5级：3＋5＝8种；登上第6级：5＋8＝13种；登上第7级：8＋13＝21种；登上第8级：13＋21＝34种，故选B．‎ ‎28．(2018·吉林长春外国语二模)在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有________种．‎ 答案　10‎ 解析　选择两门理科学科，一门文科学科，有CC＝9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．‎ ‎29．(2018·浙江杭州二中仿真模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是________．‎ 答案　60‎ 解析　根据题意，第一个可以从6个钉里任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号钉的时候，第二个可以选3，4，5号钉，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10×6＝60种方法，故答案是60．‎ ‎30．(2018·西藏拉萨10校联考)用5种不同颜色给图中的A，B，C，D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有________种不同的涂色方案．‎ 答案　180‎ 解析　由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C有3种涂法，D有3种涂法．∴共有5×4×3×3＝180种不同的涂色方案．‎ 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎