2019届二轮复习专题数列的概念与表示法学案（全国通用） 10页

‎1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)‎ ‎2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数 热点题型一 由数列的前几项归纳数列的通项公式 例1、根据下面各数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：‎ ‎(1)－1,7，－13,19，…；‎ ‎(2)，，，，，…；‎ ‎(3)，2，，8，，…；‎ ‎(4)5,55,555,5 555，…。‎ ‎【提分秘籍】‎ 用观察法求数列的通项公式的方法 ‎(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要遵循先整体—再局部—再整体的观察次序，以常见的基本数列为基础，如自然数列、奇数列、偶数列、变号数列((－1)n或(－1)n＋1)等，注意观察项与其项数n之间的关系，同时，可以采取诸如添项、通分、分割等办法转化为一些常见数列；‎ ‎(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想。‎ ‎ ‎ ‎【举一反三】 ‎ 下列公式可作为数列{an}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是(　　)‎ A．an＝1 B．an＝ C．an＝2－ D．an＝ ‎【解析】由an＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，…。 ‎ ‎【答案】C 热点题型二 由an与Sn的关系求通项an ‎ 例2、【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【变式探究】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求它们的通项公式an。‎ ‎(1)Sn＝2n2＋3n。‎ ‎(2)Sn＝3n＋1。‎ ‎【解析】(1)由题可知，当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1) ＝4n＋1。‎ 当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1，‎ 所以an＝4n＋1。‎ ‎(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，‎ 当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1。‎ 当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，‎ 所以an＝ ‎【提分秘籍】 ‎ 已知Sn求an的三个步骤 ‎(1)先利用a1＝S1求出a1。‎ ‎(2)用n－1替换Sn中n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式。‎ ‎(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为__________。‎ ‎【答案】an＝ 热点题型三 由递推关系式求通项公式 例3．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式。‎ ‎(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；‎ ‎(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；‎ ‎(3)已知数列{an}满足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an。‎ ‎【解析】(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，‎ ‎∴＝3，‎ ‎∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，‎ 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，‎ ‎∴an＝2·3n－1－1。‎ ‎(2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1。‎ 以上(n－1)个式子相乘得an＝a1···…·＝＝。‎ ‎(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，‎ ‎∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)。‎ 当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋。 ‎ ‎【提分秘籍】‎ 由递推关系式求通项公式的类型与方法 ‎①已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解。‎ ‎②当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现＝f(n)时，用累乘法求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ ‎(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)‎ A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n ‎(2)若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝__________。‎ ‎ ‎ ‎(2)由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，‎ 将这n－1个等式叠乘得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2。‎ ‎【答案】(1) A ‎ ‎(2) 2。‎ 热点题型四 数列的性质及其应用 ‎ 例4、 (1)已知an＝，那么数列{an}是(　　)‎ A．递减数列 B．递增数列 C．常数列 D．摆动数列 ‎(2) 数列{an}满足an＋1＝a1＝，则数列的第2 015项为________。‎ ‎ ‎ ‎(2)因为a1＝，所以a2＝2a1－1＝，所以a3＝2a2＝，‎ 所以a4＝2a3＝，a5＝2a4－1＝，a6＝2a5－1＝，…，‎ 所以该数列的周期T＝4。而2 015＝4×503＋3，‎ 所以a2 015＝a3＝。 ‎ ‎【答案】(1)B (2) ‎【提分秘籍】‎ ‎1．解决数列的单调性问题可用以下三种方法 ‎(1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列。‎ ‎(2)用作商比较法，根据(an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断。‎ ‎(3)结合相应函数的图象直观判断。 . .X.X. ‎ ‎2．解决数列周期性问题的方法 ‎ 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝1－，记数列{an}的前n项之积为Tr，则T2 014的值为(　　)‎ A．－ B．－1 C. D．－2‎ ‎【解析】由a2＝，a3＝－1，a4＝2可知，‎ 数列{an}是周期为3的周期数列，‎ 从而T2 014＝T2 013·a1＝(－1)671×2＝－2。‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎1. （2018年北京卷）“十二平均律” ‎ ‎ 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎1.【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则= ▲ .‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】当时，显然不符合题意；‎ 当时，，解得，则 ‎1.【2016高考浙江文数】如图，点列分别在某锐角的两边上，且 ‎，.(P≠Q表示点P与Q不重合)若，为的面积，则（ ）‎ A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列 ‎【答案】A ‎【2015高考安徽，文13】已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 .‎ ‎【答案】27‎ ‎【解析】∵时，‎ ‎∴为首项，为公差的等差数列 ‎∴‎ ‎1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N )满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. ‎ ‎(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】(1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N )，所以－＝2，即cn＋1－cn＝2，‎ 所以数列{cn}是以c1＝1为首项，d＝2为公差的等差数列，故cn＝2n－1. . ‎ ‎(2)由bn＝3n－1，知an＝(2n－1)3n－1，于是数列{an}的前n项和Sn＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n－1)×3n－1，3Sn＝1×31＋3×32＋…＋(2n－3)×3n－1＋(2n－1)×3n，将两式相减得－2Sn＝1＋2×(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)×3n＝－2－(2n－2)×3n，‎ 所以Sn＝(n－1)3n＋1. ‎ ‎2．（2014·新课标全国卷Ⅰ 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎3．（2014·新课标全国卷Ⅱ 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明＋＋…＋＜.‎ ‎【解析】(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.‎ 又a1＋＝，所以是首项为，公比为3的等比数列，所以an＋＝，因此数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)证明：由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤，即＝≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝<.‎ 所以＋＋…＋<.‎ ‎4．（2014·重庆卷）设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．‎ ‎(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2nf(a2 ＋1)>f(1)＝a2，即 ‎1>c>a2 ＋2>a2.‎ 再由f(x)在(－∞，1 上为减函数，得c＝f(c)f(a2 ＋1)＝a2 ＋2，‎ a2( ＋1)＝f(a2 ＋1)f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.‎ 所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④‎ 综上，由②③④知存在c＝使a2n