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  • 2021-06-15 发布

【数学】2020届浙江一轮复习通用版3-2-3导数与函数的综合问题作业

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‎[基础达标]‎ ‎1.(2019·台州市高考模拟)已知y=f(x)为R上的连续可导函数,且xf′(x)+f(x)>0,则函数g(x)=xf(x)+1(x>0)的零点个数为(  )‎ A.0 B.1‎ C.0或1 D.无数个 解析:选A.因为g(x)=xf(x)+1(x>0),g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为g(0)=1,y=f(x)为R上的连续可导函数,所以g(x)为(0,+∞)上的连续可导函数,g(x)>g(0)=1,所以g(x)在(0,+∞)上无零点.‎ ‎2.(2019·丽水模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为________.‎ 解析:(构造法)若x=0,则不论a取何值,f(x)≥0显然成立;‎ 当x>0时,即x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥-.‎ 设g(x)=-,则g′(x)=,‎ 所以g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此g(x)max=g=4,从而a≥4.‎ 当x<0时,即x∈[-1,0)时,同理a≤-.‎ g(x)在区间[-1,0)上单调递增,‎ 所以g(x)min=g(-1)=4,‎ 从而a≤4,综上可知a=4.‎ 答案:4‎ ‎3.已知函数f(x)=(2-a)(x-1)-2ln x(a∈R).‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数f(x)在上无零点,求a的取值范围.‎ 解:(1)当a=1时,f(x)=x-1-2ln x,‎ 则f′(x)=1-=,‎ 由f′(x)>0,得x>2,由f′(x)<0,得0<x<2,‎ 故f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).‎ ‎(2)因为f(x)<0在区间上恒成立不可能,‎ 故要使函数f(x)在上无零点,‎ 只要对任意的x∈,f(x)>0恒成立,‎ 即对x∈,a>2-恒成立.‎ 令h(x)=2-,x∈,‎ 则h′(x)=,‎ 再令m(x)=2ln x+-2,x∈,‎ 则m′(x)=<0,‎ 故m(x)在上为减函数,‎ 于是,m(x)>m=4-2ln 3>0,‎ 从而h′(x)>0,于是h(x)在上为增函数,‎ 所以h(x)<h=2-3ln 3,‎ 所以a的取值范围为[2-3ln 3,+∞).‎ ‎4.(2019·嵊州市第二次高考适应性考试)已知函数f(x)=x2+,x∈(0,1].‎ ‎(1)求f(x)的极值点;‎ ‎(2)证明:f(x)>+.‎ 解:(1)f′(x)=2x-.‎ 令f′(x)=0,解得x=∈(0,1].‎ 当0<x<时,f′(x)<0,此时f(x)单调递减;‎ 当<x≤1时,f′(x)>0,此时f(x)单调递增,‎ 所以,f(x)有极小值点x=,但不存在极大值点.‎ ‎(2)证明:设F(x)=f(x)-,x∈(0,1],则F′(x)=2x--=,‎ 设t=()3,则方程4x3-()3-2=4t2-t-2=0在区间t∈(0,1)内恰有一个实根.‎ 设方程4x3-()3-2=0在区间(0,1)内的实根为x0,即x=.‎ 所以,当0<x<x0时,F′(x)<0,此时F(x)单调递减;‎ 当x0<x≤1时,F′(x)>0,此时F(x)单调递增.‎ 所以[F(x)]min=F(x0)=x+-==-+.‎ 由y=-+在(0,1]上是减函数知,-+>-×1+=,故[F(x)]min>.‎ 综上:f(x)>+.‎ ‎5.‎ 函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R)的导函数的图象如图所示:‎ ‎(1)求a,b的值并写出f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若函数y=f(x)有三个零点,求c的取值范围.‎ 解:(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+c,‎ 所以f′(x)=x2+2ax+b.‎ 因为f′(x)=0的两个根为-1,2,‎ 所以解得a=-,b=-2,‎ 由导函数的图象可知,当-1<x<2时,f′(x)<0,函数单调递减,‎ 当x<-1或x>2时,f′(x)>0,函数单调递增,‎ 故函数f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)上单调递增,在(-1,2)上单调递减.‎ ‎(2)由(1)得f(x)=x3-x2-2x+c,‎ 函数f(x)在(-∞,-1),(2,+∞)上是增函数,在(-1,2)上是减函数,‎ 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=+c,‎ 极小值为f(2)=c-.‎ 而函数f(x)恰有三个零点,故必有 解得-<c<.‎ 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.‎ ‎6.(2019·浙江金华十校第二学期调研)设函数f(x)=ex-x,h(x)=-kx3+kx2-x+1.‎ ‎(1)求f(x)的最小值;‎ ‎(2)设h(x)≤f(x)对任意x∈[0,1]恒成立时k的最大值为λ,证明:4<λ<6.‎ 解:(1)因为f(x)=ex-x,所以f′(x)=ex-1,‎ 当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,‎ 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ 所以f(x)min=f(0)=1.‎ ‎(2)证明:由h(x)≤f(x),化简可得k(x2-x3)≤ex-1,‎ 当x=0,1时,k∈R,‎ 当x∈(0,1)时,k≤,‎ 要证:4<λ<6,则需证以下两个问题;‎ ‎①>4对任意x∈(0,1)恒成立;‎ ‎②存在x0∈(0,1),使得<6成立.‎ 先证:①>4,即证ex-1>4(x2-x3),‎ 由(1)可知,ex-x≥1恒成立,所以ex-1≥x,‎ 又x≠0,所以ex-1>x,‎ 即证x≥4(x2-x3)⇔1≥4(x-x2)⇔(2x-1)2≥0,‎ ‎(2x-1)2≥0,显然成立,‎ 所以>4对任意x∈(0,1)恒成立;‎ 再证②存在x0∈(0,1),使得<6成立.‎ 取x0=,=8(-1),因为<,‎ 所以8(-1)<8×=6,‎ 所以存在x0∈(0,1),使得<6,‎ 由①②可知,4<λ<6.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.(2019·杭州市学军中学高考模拟)已知函数f(x)=ax3-bx2+x(a,b∈R).‎ ‎(1)当a=2,b=3时,求函数f(x)极值;‎ ‎(2)设b=a+1,当0≤a≤1时,对任意x∈[0,2],都有m≥|f′(x)|恒成立,求m的最小值.‎ 解:(1)当a=2,b=3时,f(x)=x3-x2+x,‎ f′(x)=2x2-3x+1=(2x-1)(x-1),‎ 令f′(x)>0,解得:x>1或x<,‎ 令f′(x)<0,解得:<x<1,‎ 故f(x)在(-∞,)单调递增,在(,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增,‎ 故f(x)极大值=f()=,f(x)极小值=f(1)=.‎ ‎(2)当b=a+1时,f(x)=ax3-(a+1)x2+x,‎ f′(x)=ax2-(a+1)x+1,f′(x)恒过点(0,1).‎ 当a=0时,f′(x)=-x+1,‎ m≥|f′(x)|恒成立,所以m≥1;‎ ‎0<a≤1,开口向上,对称轴≥1,‎ f′(x)=ax2-(a+1)x+1=a(x-)2+1-,‎ ‎①当a=1时f′(x)=x2-2x+1,|f′(x)|在x∈[0,2]的值域为[0,1];‎ 要m≥|f′(x)|,则m≥1;‎ ‎②当0<a<1时,‎ 根据对称轴分类:‎ 当x=<2,即<a<1时,‎ Δ=(a-1)2>0,f′()=-(a+)∈(-,0),‎ 又f′(2)=2a-1<1,所以|f′(x)|≤1;‎ 当x=≥2,即0<a≤;‎ f′(x)在x∈[0,2]的最小值为f′(2)=2a-1;‎ ‎-1<2a-1≤-,所以|f′(x)|≤1,‎ 综上所述,要对任意x∈[0,2]都有m≥|f′(x)|恒成立,有m≥1.所以m的最小值为1.‎ ‎2.(2019·台州市高考模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).‎ ‎(1)若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点,求3a+b的取值范围;‎ ‎(2)当a=0,b≥-1时,求证:对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+恒成立.‎ 解:(1)f′(x)=x2+ax+b,‎ 由已知可得f′(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点,‎ 故有,即 令z=3a+b,‎ 如图所示:‎ 由图可知-8<z<0,‎ 故3a+b的取值范围(-8,0).‎ ‎(2)证明:f(x)=x3+bx(b≥-1,x∈[0,2]),所以f′(x)=x2+b,‎ 当b≥0时,f′(x)≥0在[0,2]上恒成立,则f(x)在[0,2]上单调递增,‎ 故0=f(0)≤f(x)≤f(2)=2b+,所以|f(x)|≤2b+;‎ 当-1≤b<0时,由f′(x)=0,解得x=∈(0,2),‎ 则f(x)在[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,所以f()≤f(x)≤max{f(0),f(2)}.‎ 因为f(0)=0,f(2)=2b+>0,f()=b<0,‎ 要证|f(x)|≤2b+,只需证-b≤2b+,‎ 即证-b(+3)≤4,‎ 因为-1≤b<0,所以0<-b≤1,3<+3≤4,‎ 所以-b(+3)≤4成立.‎ 综上所述,对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+恒成立.‎