【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第8章第9讲圆锥曲线的综合问题(理)第2课时最值、范围、证明问题作业 7页

对应学生用书[练案63理][练案58文]‎ 第二课时　最值、范围、证明问题 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·北京模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，离心率e∈[，2]，则两条渐近线的夹角θ的取值范围是(　B　)‎ A．[，]　 B．[，]‎ C．[，]　 D．[，π]‎ ‎[解析]　由≤e≤2，得≤≤2，≤≤2，∴1≤≤，故两条渐近线的夹角θ的取值范围为[，]．‎ ‎2．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是(　D　)‎ A．5　 B．＋ C．7＋　 D．6 ‎[解析]　设Q点坐标为(m，n)(－1≤n≤1)，因为圆心C(0，6)，故|QC|＝①，因为＋n2＝1②，联立①②，|QC|＝，因为－1≤n≤1，故当n＝－时，|QC|有最大值，最大值为5，所以|PQ|max＝|QC|max＋＝6.‎ ‎3．(2019·深圳模拟)M是抛物线y2＝x上的一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称圆⊙C上的一点，则|MN|的最小值是(　A　)‎ A．－1　 B．－1‎ C．－1　 D．－1‎ ‎[解析]　如图所示，设(－1,4)关于x－y＋1＝0的对称点是P(x0，y0)，‎ 则解得 故⊙C的方程是(x－3)2＋y2＝1.‎ 设M(x，y)，‎ 则|MP|2＝(x－3)2＋y2‎ ‎＝x2－5x＋9＝(x－)2＋，‎ ‎∴|MP|的最小值为，‎ ‎∴|MN|的最小值为－1.‎ ‎4．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是(　C　)‎ A．2　 B．　‎ C．4　 D．2 ‎[解析]　∵＝＋＝≥，即1≥，∴|AF|·|BF|≥4，(当且仅当|AF|＝|BF|时取等号)．故选C．‎ ‎5．(2020·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　B　)‎ A．　 B．6　‎ C．8　 D．12‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则·＝x2＋y2＋x＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，(－2≤x≤2)，显然当x＝2时，·取得最大值6，故选B．‎ 二、填空题 ‎6．(2020·甘肃诊断)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为A，其准线与x轴的交点为B，如果在直线3x＋4y＋25＝0上存在点M，使得∠AMB＝90°，则实数p的取值范围是[10，＋∞) .‎ ‎[解析]　由题意可知以O为圆心，为半径的圆与直线有公共点，即5≤，∴p≥10.‎ ‎7．(2019·河南安阳)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与椭圆＋＝1的焦点重合，离心率互为倒数，设F1，F2为双曲线C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为4 .‎ ‎[解析]　因为椭圆＋＝1的两焦点坐标分别为(－1，0)，(1,0)，离心率为，故双曲线C的离心率为2，c＝1，从而a＝，|PF2|≥，所以＝＝|PF2|＋＋‎4a＝|PF2|＋＋2≥2＋2＝4(当且仅当|PF2|＝1时，等号成立)．‎ ‎8．(2019·福建模拟)已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是[＋1，＋∞)　.‎ ‎[解析]　以AB的中点为坐标原点，AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，双曲线方程为－＝1(0b>0)的离心率为，且经过点M(，)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)与x轴不垂直的直线l经过N(0，)，且与椭圆C交于A，B两点，若坐标原点O在以AB为直径的圆内，求直线l斜率的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)由题意可得 解得a＝2，b＝1，‎ ‎∴椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程＋y2＝1整理可得 ‎(1＋4k2)x2＋8kx＋4＝0，‎ Δ＝(8k)2－16(1＋4k2)>0，‎ 解得k>或k<－，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 又x1＋x2＝－，x1·x2＝，‎ ‎∴y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋2，‎ ‎∵坐标原点O在以AB为直径的圆内，‎ ‎∴·<0，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋2‎ ‎＝(1＋k2)＋k(－)＋2<0，‎ 解得k<－或k>.‎ 故直线l斜率的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞)．‎ ‎10．(2019·山西模拟)设椭圆的一个顶点A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)∵椭圆的焦点在x轴上，A(0，－1)为顶点，故b＝1，‎ 右焦点(c,0)到直线x－y＋2＝0的距离为3，‎ 即＝3，c＝，则a2＝b2＋c2＝3，‎ 故椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由消去y整理得(1＋3k2)x2＋6kmx＋‎3m2‎－3＝0，‎ ‎∵直线与椭圆交于不同的两点，‎ 故Δ＝36k‎2m2‎－4(1＋3k2)(‎3m2‎－3)>0得3k2－m2＋1>0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点为Q(x0，y0)，‎ 则x1＋x2＝－，所以x0＝，y0＝，‎ ‎|AM|＝|AN|等价于AQ垂直平分MN，‎ ‎∴kAQ·k＝－1，即·k＝－1，‎ 化简得‎2m＝3k2＋1>1，解得m>.‎ 由解得00，f(x)在区间(，9]上单调递增．因此，函数f(x)的值域是[2－3，]，即·的取值范围为[2－3，]，选C．‎ ‎3．(2020·河北联考)如图，由抛物线y2＝8x与圆E：(x－2)2＋y2＝9的实线部分构成图形Ω，过点P(2,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点A、B，则|AB|的取值范围为(　D　)‎ A．[2,3]　 B．[3,4]　‎ C．[4,5]　 D．[5,6]‎ ‎[解析]　由题意可知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，圆(x－2)2＋y2＝9的圆心为E(2,0)，因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝3.设B(x0，y0)，则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋2，由得(x－2)2＋8x＝9，整理得x2＋4x－5＝0，解得x1＝1，x2＝－5(舍去)，设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝3＋x0＋2＝x0＋5，所以|AB|＝x0＋5∈[5,6]，故选D．‎ ‎4．(2020·河北衡中联考)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设直线l过点(1,0)且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)由题意知解得 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：y＝k(x－1)(k<0)．‎ 联立得方程组消去y，得(9k2＋1)x2－18k2x＋9k2－9＝0，‎ 故x1＋x2＝.‎ 设P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝k(x0－1)＝k(－1)＝－，‎ 所以直线OP的斜率kOP＝＝－.‎ 设直线l，OP的倾斜角分别为α，β，‎ 则∠OPB＝α－β，tan∠OPB＝tan(α－β)＝＝(k＋)．‎ 因为k<0，所以－(k＋)＝(－k)＋≥2＝，即k＋≤－，所以tan∠OPB≤－，当且仅当k＝－时，等号成立，‎ 所以当∠OPB最大时，直线l的斜率k＝－，此时直线l的方程为x＋3y－1＝0.‎